周國全

(武漢大學物理科學與技術學院,湖北 武漢 430072)

矩形腔的等傾干涉原理

周國全

(武漢大學物理科學與技術學院,湖北 武漢 430072)

依據(jù)波動光學關于光的干涉的原理, 具體而詳細地分析了一種能產(chǎn)生等傾干涉現(xiàn)象的矩形腔干涉裝置，推導并討論了該結(jié)構發(fā)生等傾干涉的條件及干涉條紋的分布規(guī)律。理論推導與實驗結(jié)果相互印證，文中討論了這一等傾干涉原理在光學技術的各領域，尤其是在二維微位移光學傳感方面的應用前景，并強調(diào)了其對光學干涉理論的教學實踐與教研內(nèi)容的擴充與輔助作用。

干涉；等傾干涉；光學干涉；干涉圓環(huán)；矩形腔；光學諧振腔

自從楊氏干涉實驗證明了光的波動本性之后，各種光學干涉儀應運而生，滿足了光學技術發(fā)展過程中的各種特殊要求，奠定了現(xiàn)代光學技術的基礎[1-4]。兩列或多列光波發(fā)生干涉有3個條件： (1)頻率相同；(2)振動方向相同；(3)相位差(或初相位差)恒定。不同的光學干涉裝置就是用不同的方式滿足以上條件尤其是第三個條件[1-9]。例如拙著文獻[5]闡述了兩種振幅分割式多光束等傾干涉結(jié)構――矩形腔與大頂角等腰劈干涉結(jié)構；文獻[6～9] 闡述了若干等厚干涉結(jié)構及其干涉理論。本文更為詳盡而深入地分析了文獻[5]的矩形腔等傾干涉結(jié)構。在擴展光源照射下，光波在矩形腔內(nèi)外的橫向傳播將發(fā)生振幅分割式多光束等傾干涉現(xiàn)象——產(chǎn)生不等間隔的同心圓環(huán)形條紋。本文還對矩形腔等傾干涉的約束條件與場強分布、半值寬度與反襯度，及其應用前景, 尤其是二維微位移光學傳感方面，作了具體而詳細的討論。

1 矩形腔的等傾干涉原理

1.1 矩形腔內(nèi)外光的橫向傳播規(guī)律

圖1 矩形腔光學干涉原理示意圖

圖2 透射光強It—相位差δ分布圖

基于幾何光學與波動光學的基本定律，我們可證明如下結(jié)論：腔內(nèi)的光線路徑PP1P2P3P4具有與入射點無關的不變長度，當腔內(nèi)同一反射回路的兩組相對而反向的光線分別平行于矩形橫截面兩條對角線時，所有反射回路將重合為同一個封閉平行四邊形回路，其周長為橫截面矩形對角線長度L的兩倍。

(1)

而光線在矩形腔內(nèi)的路徑PP1P2P3P4的長度H為

(2)

從P4點作反射光線I′的垂線，垂足為E, 由于△QPP4為一個等腰三角形，則有

(5)

及折射定理n1sini0=n2sini, 則I′,T1之間的表觀(幾何)光程差為

(6)

式(6)的推導過程中用到了式(5)及折射定理。表觀相位差δ為

(7)

(8)

1.2 干涉場光強的極值條件與條紋的分布規(guī)律

這些光波束的復振幅形成等比數(shù)列，在單色擴展光照射下，發(fā)生多光束等傾干涉。反射線集合之諸光束的復振幅的代數(shù)和為

(9a)

同理透射線集合之諸光束的復振幅的代數(shù)和為

(9b)

(10)

(11)

顯然當透射光場強式(11)極大(小)時，必致反射光場強極小(大)。由式(6)、式(7)及式(10、(11),當折射角i滿足cosδ=1, 即當

(12)

時，透射光干涉場強式(11)為第k級極大，即(It)max=I0, 此時相應的反射光干涉場強式(10)為第k級極小。當折射角i滿足cosδ=-1, 即當

(13)

時，透射光干涉場強式(11)為第k級極小，即

(14)

此時相應的反射光干涉場強式(10)為第k級極大。根據(jù)式(11)、(14)，可得如圖2所示的透射光光強It隨相位差δ而變化的分布圖形。

顯然由式(6)、(7)、(10)、(14)可知，這里發(fā)生的是等傾干涉，因為干涉場的光強分布及光程(相位)差公式隨入射角而變，同一極大環(huán)紋對應于同一入射角(折射角)。本文作者與文獻[5]的第二作者設計制作了具體的實驗裝置,使氦氖激光光束(波長為632.8nm)經(jīng)擴束鏡入射以代替擴展光源，雖然囿于經(jīng)費，裝置簡陋，但確實觀察到理論所預言的一些不等間隔、明暗相間的同心圓環(huán)，從而驗證了這一等傾干涉原理和技術。如圖3所示。但必須指出，觀察等傾干涉條紋所需選用的最佳光源當首選非相干的擴展光源[3，4]。

圖3 矩形腔等傾干涉條紋

1.3 干涉條紋的反襯度與半值寬度

正因為本文介紹的光學干涉裝置為多光束等傾干涉結(jié)構，理論上其干涉條紋明亮細銳，對比強烈，具有很高的反襯度η(contrast，即對照度)[ 3，4 ]。以透射光干涉場為例,其反襯度η的表達式如下

(15)

圖4 干涉條紋的半值寬度

因此,在兩種介質(zhì)分界面 (一般是光學玻璃與空氣的分界面) 上,反射率R越大(越趨近于1), 則反襯度η就越大(越趨近于1)。另一方面，透射光干涉條紋的細銳程度則由其半值寬度ε決定[3，4]。根據(jù)式(11)～(13)，可得如圖4所示的透射光的第k級極大條紋的光強It隨相位差δ分布的圖形。所謂半值寬度，即在其場強峰值I0處兩側(cè)的場強值It降到I0的一半時，兩點間的相位寬度ε=δ2-δ1；當δ1,2=2kπ±ε/2時，It/I0=1/2，此時

(16)

將上式及It/I0=1/2代入式(11)，可得半值寬度ε=δ2-δ1的表達式即

(17)

上式表明,界面反射率越高,則半值寬度越小,條紋越細銳,條紋分辨率越高,干涉效果越好。

由界面反射率的菲涅爾公式可知，當界面內(nèi)側(cè)折射角i滿足0≤i≤θc(全反射臨界角)，隨著折射角i增大，則平行于界面的S偏振的光強反射率將單調(diào)增加[3]；很顯然,矩形腔的界面(AB、DC)的反射率因為其入射角(折射角)較平行膜結(jié)構的入射角(折射角)大，因而理論上矩形腔結(jié)構的等傾干涉條紋具有更明亮細銳的特點，從而擁有更高的反襯度和分辨率。

2 約束條件與若干討論

為了保證每一個反射回路在內(nèi)側(cè)界面AD及BC發(fā)生全反射，并觀察到等傾干涉現(xiàn)象，至少恰能觀察到完整的中央干涉圓斑，基于這一要求,我們可推導出矩形腔的結(jié)構參數(shù)(即橫截面的長寬尺寸), 與內(nèi)外介質(zhì)的折射率所需滿足的約束條件,即相應于中央圓斑情形,此時腔內(nèi)反射線平行于對角線，i=arctan(a/b),腔內(nèi)界面AD處的入射角θ不小于全反射臨界角θc=arcsin(n1/n2),其中

(18)

(19)

最后可得，矩形腔橫截面的長寬尺寸之比與內(nèi)外折射率需滿足如下約束條件

(20)

另一方面，理論上當tani充分接近a/b時，亦即當腔內(nèi)光線分別近似地平行于兩條對角線時，反射回路數(shù)N將趨近于無窮，從而保證干涉的方式為理想的多光束等傾干涉，諸透射光與反射光束的復振幅的代數(shù)和式(9a-9b)便為一無窮級數(shù)。實際上由于來自于擴展光源或經(jīng)過擴束透鏡的激光光束具有一定的角寬度，由式(4)可知光線在腔內(nèi)形成完整反射回路的次數(shù)N為

(21)

(22)

(23)

其中Δ為兩者之相對誤差，Δ=RN(2cosNδ-RN)；相應地，條紋峰值的實際半值角寬度εN比理論的ε∞值有所增加，εN=ε∞(1+Δε)。我們可給出一組數(shù)據(jù)，使讀者對此有一粗略的定量概念：腔體長寬尺寸a:1cm；波長λ:632.8nm；為了使反射回路達到N:40個(即有限項數(shù)為40個),須使腔內(nèi)光束折射角的角度范圍在i:(45°-0.357°,45°+0.357°)；強度峰值相對偏差Δ:0.196，相應地半值角寬度較理論結(jié)果有所增加,而實際峰值強度較理論結(jié)果有所減弱。實驗中最多約觀察到7個較清晰的干涉圓環(huán)。

3 應用前景

矩形腔內(nèi)光的橫向傳播的等傾干涉原理，表明它不僅能作為一種諧振腔而運用于光學技術領域，還可應用于二維微位移(速度)的光學傳感測量技術。由于等傾干涉條紋具有高分辨率、高反襯度、細銳明亮等特點，所以測量的靈敏度和精度都很高，理論上精度可以達到10-6m～10-7m?；谄叫心ざ喙馐葍A干涉原理的F-P干涉儀，為微位移精密測量提供了技術基礎，但僅限于一維測量[1-4], 而基于矩形諧振腔的等傾干涉原理而設計的光學微位移傳感器, 則能實現(xiàn)二維微位移(速度)傳感[11,12]。這是因為，如圖5所示,a,b分別是矩形腔沿x、y軸方向的尺寸，根據(jù)式(7)、(9)與(11)、(12)，當矩形腔的兩條鄰邊分別沿x、y軸方向發(fā)生微小而緩慢的位移，則干涉場強將發(fā)生周期性變化。由中央亮斑吞吐或條紋移動的個數(shù)，即可計算腔壁沿x或y軸方向的位移大小，從而實現(xiàn)二維微位移(速度)傳感。實際上有兩種二維微位移(速度)的光學傳感方式。一種是分時分維模式：對x方向測位移時，固定y方向可移動部件不動；對y方向測位移時，固定x方向可移動部件不動。另一種模式較為復雜，以下給予具體而詳盡的分析。

圖5 二維微位移傳感的光學干涉裝置

為了同時對兩個相互垂直方向的微位移進行測量, 我們對上述干涉結(jié)構加入了附加功能即利用矩形腔等傾干涉的裝置的AB與DC兩塊光學玻璃同時進行F-P干涉，實現(xiàn)聯(lián)合測量，可以同時精確地測量x、y軸兩個方向的微位移。具體裝置如圖5所示。干涉系統(tǒng)由兩個L型的直角板組成，y方向上的兩平板內(nèi)側(cè)為反射平面鏡，x方向的兩平板為光學半透膜，涂有能量反射率為R的薄膜，兩束平行入射光束I1與I2的入射角分別為i0與i′(零角度附近),在S1與S2處分別形成干涉圓斑。L1和L2構成矩形，當L1固定不動，而讓L2沿著x軸或y軸兩個方向移動(但不能轉(zhuǎn)動),S1和S2處形成極強干涉亮斑的相位差條件為

其中k1、k2為整數(shù)，i為腔內(nèi)折射角(等于腔外入射角i0)，n1,λ分別為空氣折射率與入射光真空波長。當L2直角板移動時，a,b將分別發(fā)生變化Δa、Δb，進而相位差δ1、δ2也分別發(fā)生變化Δδ1、Δδ2分別為

其中，Δa≡Δx,Δb≡Δy，為L2板分別在x和y方向的位移，Δk1和Δk2分別為干涉斑點S1和S2處明暗變化的周期數(shù)，并可通過檢數(shù)技術測定。聯(lián)立并求解上面兩式(26)和(27)，可得x和y方向的位移值Δx,Δy的表達式分別為

(28)

由于腔內(nèi)折射角i、i′、入射光波長λ、以及空氣折射率n1均為常數(shù)，因此方程組(28)給出了(Δx，Δy)與(Δk1，Δk2)之間的線性關系；通過實驗校定的方法即可測定式(28)中Δk1和Δk2前的線性系數(shù)，從而最終測得分別發(fā)生于在x和y軸方向的二維微位移ΔS=(Δx,Δy)。

4 結(jié)語

理論與實驗結(jié)果均表明，在單色/復色擴展光源照射下，我們將觀察到單色/彩色干涉圓環(huán)。文獻[5]及本文關于矩形腔內(nèi)等傾干涉原理的發(fā)現(xiàn)與研究，豐富了有關矩形光學諧振腔與等傾干涉的教學內(nèi)容，擴充了光學等傾干涉的實現(xiàn)方式。它不僅對于F-P干涉技術具有相似性、等效性, 而且具有補充性, 即一些新的特點。如果犧牲對于兩個豎直反射側(cè)面的全反射要求，則即可利用布斯特定律，獲得高偏振度的線偏輸出; 另一方面，利用這一干涉結(jié)構有可能實現(xiàn)二維微位移(速度)的光學傳感。對于矩形腔以及等腰劈等傾干涉結(jié)構的特點及其應用的研究, 尤其是在二維微位移光學傳感方面應用的研究, 已經(jīng)并將更深入地進行[11-14]。

鳴謝： 感謝鐘錫華教授對此文提出了寶貴的修改建議。

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PRINCIPLEOFEQUALINCLINATIONINTERFERENCEINARECTANGULARCAVITY

ZHOUGuoquan

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan Hubei 430072)

According to the theory of wave optics about optical interference, this paper concretely introduces and analyzes the rectangular cavity as a device of generating the equal inclination interference. The conditions of equal inclination interference and the distribution pattern of interference fringes are deduced and discussed, which are in accordance with the observed phenomena in a verification experiment. Meanwhile, the application possibilities of this interference principle in different fields of optical technology are discussed, especially for the field of two dimensional optical micro-displacement sensor. Its subsidiarity to our pedagogical practices about optical interference is emphasized. The content of the teaching research about the equal inclination interference is extended.

interference; equal inclination interference; optical interference; rectangular cavity; optical resonant cavity

2017-04-02;

2017-07-07

高校教指委電動力學教學研究項目. 項目編號:JZW-16-DD-15； 中央高校教育教學改革專向項目-武漢大學“351人才計劃”教學崗位資助項目。

周國全，男，副教授， 研究方向：電磁場與光電子技術；非線性方程與孤子理論,zgq@whu.edu.cn。

周國全. 矩形腔的等傾干涉原理[J]. 物理與工程，2017，27(6)：45-50,53.

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