摘 要：我們知道，等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中數(shù)列研究的主線，除了這兩種基本數(shù)列外，其他類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法也為大家所熟知，我們驚訝于這些方法的巧妙，卻不得不需要花費(fèi)大量時(shí)間來記憶、練習(xí)、掌握，因?yàn)槲覀兒苌偕罹吭趺磥淼模瑸槭裁匆@樣變形、整理，故本文試圖為讀者厘清其中的基本原理。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；通項(xiàng)公式；基本原理

一、 基本原理探析

首先，我們觀察等差數(shù)列定義式：an+1-an=d（n∈N+，d為常數(shù)）和等比數(shù)列定義式：an+1an=q（n∈N+，q為非零常數(shù)），從定義式中把握住它們的特征一個(gè)等差，一個(gè)等比。從這兩個(gè)最基本的遞推關(guān)系中，不難發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列是“加減關(guān)系”，an+1，an之間存在一個(gè)差值，這個(gè)差值d可以推廣至f（n），只要f（n）可求前n項(xiàng)和；等比數(shù)列是“乘除關(guān)系”，an+1，an之間存在一個(gè)比值q，這個(gè)比值可以推廣至g（n），只要g（n）可求前n項(xiàng)積。由此，這兩種基本數(shù)列形式便包含了“加、減、乘、除”四則運(yùn)算，若注意到遞推關(guān)系中an+1-an=f（n），f（n）它們的系數(shù)與次數(shù)，就為我們研究未知數(shù)列的通項(xiàng)或求和尋找到了一條思路，就是高中階段幾乎所有的遞推數(shù)列都可以朝著等差或等比數(shù)列的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化（比如降次，取對(duì)數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列等），其本質(zhì)是構(gòu)造，而后再按照熟悉的模型進(jìn)行處理。

二、 舉例說明

下面我們重點(diǎn)探究幾種常見的基本方法的處理依據(jù)。

類型一 待定系數(shù)法：將遞推公式an+1=qan+d（q，d為常數(shù)，q≠0，d≠0）構(gòu)造成（an+1+x）=q（an+x）的方法。其實(shí)質(zhì)是觀察遞推式an+1=qan+d中an+1，an系數(shù)不一致，存在一個(gè)倍數(shù){an}，繼而引導(dǎo)我們朝著等比數(shù)列構(gòu)造，得a1=1的數(shù)列形式。

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥2），求{an}的通項(xiàng)公式。

解：利用（an+x）=2（an-1+x），求得an+1=2（an-1+1）。

∴{an+1}是首項(xiàng)為a1+1=2，公比為2的等比數(shù)列，即an+1=2n，∴an=2n-1。

類型二 倒數(shù)變換法：將遞推數(shù)列an+1=canan+d（c≠0，d≠0），取倒數(shù)變成1an+1=dc1an+1c的形式的方法。其實(shí)質(zhì)是注意到遞推式兩側(cè)的結(jié)構(gòu)不一致，對(duì)于數(shù)列而言，我們最希望的是找到它們的結(jié)構(gòu)一致性，第一步右邊為分式結(jié)構(gòu)，左側(cè)為整式，要統(tǒng)一結(jié)構(gòu)就只能同時(shí)取倒數(shù)（分式倒數(shù)還是分式，整式倒數(shù)為分式）得到{an}的形式，此時(shí)將數(shù)列（n∈N*）看成一個(gè)新的數(shù)列，即再利用“待定系數(shù)法”來求解。

例2 已知數(shù)列{an}（n∈N*）中，a1=1，an+1=an2an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：將an+1=an2an+1取倒數(shù)得：1an+1=2+1an。

∵1an+1-1an=2，∴1an是以1a1=1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列。

則1an=1+2（n-1），∴an=12n-1。

類型三 取對(duì)數(shù)法：形如an+1=parn（p>0，an>0）等式兩邊取對(duì)數(shù)的方法。

這種類型數(shù)列的實(shí)質(zhì)是注意到an+1，an的次數(shù)不一致，要將次數(shù)調(diào)整成一樣就只能對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為an，此時(shí)將數(shù)列a1=1，an+1=1a·a2n看成一個(gè)新的數(shù)列再利用待定系數(shù)法求解即可。

例3 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=1a·a2n（a>0），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：由an+1=1a·a2n兩邊取對(duì)數(shù)得lgan+1=2lgan+lg1a。

令bn=lgan，則bn+1=2bn+lg1a，再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法），

解得：an=a1a2n-1。

本文些許舉例探析，只為說明數(shù)列求通項(xiàng)時(shí)體現(xiàn)出來的技巧性，其實(shí)是有章可循的，是有內(nèi)在必然的邏輯性的。掌握了推理的基本原理，我們的應(yīng)用便能得心應(yīng)手了。

作者簡(jiǎn)介：

李興波，四川省綿陽(yáng)市，綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校。endprint