蘇漢杰

從近幾年高考來看，解析幾何無論在文科還是理科中，占的分量都是比較重的，因此，應(yīng)該引起大家足夠的重視，下面我們來談?wù)劷馕鰩缀蔚膹?fù)習備考方法和策略.

一、形化數(shù)，數(shù)化形，數(shù)形結(jié)合是法寶

例1 （2016·北京理13）雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC的邊長為2，則a=_____.

解析 根據(jù)正方形的幾何性質(zhì)可知，雙曲線的半焦距為22，漸近線的方程為y=x，所以a=2.代數(shù)到幾何的準確轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

例2 （2017·北京文11）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則x2+y2的取值范圍是______.

解析 把本題的代數(shù)描述轉(zhuǎn)化為幾何直觀，是求直線x+y=1在x軸正半軸和y軸正半軸之間部分上的點到原點距離的平方的取值范圍，所以答案為12，1.本題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題來解決.但是，代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)化使得本題的解決變得更加容易和具有幾何意義.

例3 （2017·北京理11）在極坐標系中，點A在圓ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，點P的坐標為（1，2），則|AP|的最小值為______.

解析 把極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程：（x-1）2+（y-2）2=1，所以，圓心為（1，2），半徑為1的圓上的點到點P（1，0）的最小距離是1.熟練進行極坐標與直角坐標之間的轉(zhuǎn)化非常重要.

二、分“析”幾何特征，轉(zhuǎn)化代數(shù)求“解”

例3 （2015·北京理19）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，點P（0，1）和點A（m，n）（m≠0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M.

（Ⅰ）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）;

（Ⅱ）設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標;若不存在，說明理由.

分析 第（Ⅱ）問要先根據(jù)題目的敘述一步步將圖形完成（如圖所示），然后將兩個角相等轉(zhuǎn)化為兩個角的三角函數(shù)值相等或兩個三角形相似，最后就可以利用邊的關(guān)系來表示，利用代數(shù)方法就可以把問題解決了.

解 （Ⅰ）橢圓C的方程為x22+y2=1，直線PA的方程：y=n-1mx+1，令y=0，可得x=m1-n，所以點M的坐標是m1-n，0.

（Ⅱ）點B與A關(guān)于x軸對稱，所以B（m，-n），直線PB的方程：y=-n-1mx+1，令y=0，所以可得x=m1+n，則Nm1+n，0，

因為∠OQM=∠ONQ，所以tan∠OQM=tan∠ONQ，

所以|OM||OQ|=|OQ||ON|，即|OQ|2=|OM||ON|，

因為|OQ|2=|OM||ON|=m1-n2·m1+n=m21-n2，

又點A（m，n）（m≠0）在橢圓C上，所以m22+n2=1，

即1-n2=m22，所以|OQ|2=m2m22=2，得Q（0，±2）.

例4 （2017·海淀期末理18）已知A（0，2），B（3，1）是橢圓G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的兩點.

（Ⅰ）求橢圓G的離心率;

（Ⅱ）已知直線l過點B，且與橢圓G交于另一點C（不同于點A），若以BC為直徑的圓經(jīng)過點A，求直線l的方程.

分析 第（Ⅱ）問，對“以BC為直徑的圓經(jīng)過點A”認真分析，并將其轉(zhuǎn)化為幾何等式關(guān)系，最終用代數(shù)方程表示出來，進行代數(shù)運算，是解決這個問題的關(guān)鍵.

解 （Ⅰ）橢圓G的方程為x212+y24=1，

所以離心率是e=ca=63.

（Ⅱ）法1：因為以BC為直徑的圓經(jīng)過點A，

所以AB⊥AC，x212+y24=1，

由斜率公式和A（0，2），B（3，1）可得kAB=-13，

所以kAC=3，

設(shè)直線AC的方程為y=3x+2.

由y=3x+2，x212+y24=1， 得7x2+9x=0，

由題設(shè)條件可得xA=0，xC=-97，

所以C-97，-137，

所以直線BC的方程為y=23x-1.

法2：因為以BC為直徑的圓經(jīng)過點A，所以AB⊥AC，

由斜率公式和A（0，2），B（3，1）可得kAB=-13，

所以kAC=3，

設(shè)C（xC，yC），則kAC=yC-2xC=3，即yC=3xC+2.①

由點C在橢圓上可得x2C12+y2C4=1.②

將①代入②得7x2C+9xC=0，

因為點C不同于點A，所以xC=-97，

所以C-97，-137，

所以直線BC的方程為y=23x-1.

法3：當直線l過點B且斜率不存在時，可得點C（3，-1），不滿足條件.

設(shè)直線BC的方程為y-1=k（x-3），點C（xC，yC）.

由y=kx+1-3k，x212+y24=1，

可得（3k2+1）x2+6k（1-3k）x+3（1-3k）2-12=0，

顯然Δ>0，此方程兩個根是點B和點C的橫坐標，

所以3xC=3（1-3k）2-123k2+1，即xC=（1-3k）2-43k2+1，

所以yC=-3k2-6k+13k2+1，

因為以BC為直徑的圓經(jīng)過點A，所以AB⊥AC，

即AB·AC=0.AB·AC=36k2-12k-83k2+1=0，

即（3k-2）（3k+1）=0，k1=23，k2=-13，

當k2=-13時，即直線AB，與已知點C不同于點A矛盾，

所以k1=kBC=23，所以直線BC的方程為y=23x-1.

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高中解析幾何的重點，也是高考的熱點，主要涉及位置關(guān)系的判定、弦長問題、中點弦問題、最值問題等知識點，突出考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，要求同學們具有較高的分析問題、解決問題的能力，在充分分析幾何條件的基礎(chǔ)上，將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)計算得出結(jié)果，最后再將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.