陳國仙

最近，筆者參加了一次頗有特色的高中數(shù)學(xué)省市級課題研討教研活動，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中滲透數(shù)學(xué)文化的研究——基于《數(shù)系的擴充》（第1課時）教學(xué)案例設(shè)計與實踐.活動共分四次進行，首先是通過微型課的方式來進行《數(shù)系的擴充》這一課的教學(xué)設(shè)計，然后進行研究討論并提出修改方案，在第二次和第三次分別進行課堂模擬，最后總結(jié)得失，在課堂實踐中滲透數(shù)學(xué)文化，最終體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值.這樣的活動，不僅讓我們的課堂變得更加生動，也讓我們再次感受到數(shù)學(xué)文化對于目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要之處，筆者頗有感悟.

主題敘述

本研究報告立足于《數(shù)系的擴充》這節(jié)課，本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2-2第3.1節(jié)第一課時. 在此之前，學(xué)生已有的知識體系中，數(shù)集的范圍已擴充到了實數(shù)，而本課是把實數(shù)集再次擴充到復(fù)數(shù)集，完成中學(xué)課程的最后一次擴充. 從這個角度看本節(jié)課承載著建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的重要任務(wù).

本微課例的研究主要是對其中為什么以及如何從實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集的引入和講解作剖析. 復(fù)數(shù)是一個全新的概念，而且比較抽象，學(xué)生雖然對于實數(shù)比較了解，但對于實數(shù)的由來可能并不能系統(tǒng)的歸納，不了解事物的本質(zhì). 所以筆者試圖從整理所有的數(shù)開始，喚起學(xué)生對于數(shù)的再次認(rèn)識，從已有知識出發(fā)，溫故而知新，通過歸納類比，從而掌握新知，這樣才符合人的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價值.

第一次教學(xué)案例

問題情境：五百多年前的歐洲人尚未完全理解負(fù)數(shù)、無理數(shù)，然而他們的智力又面臨了一個新的“怪物”的挑戰(zhàn)，因為意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在所著的《重要的藝術(shù)》（1545）中提出了一個問題：把10分成兩部分，使其乘積為40. 你能做到嗎？

學(xué)生活動：列式x（10-x）=40，化簡得x2-10x+40=0，因為Δ=-60<0，所以方程無解.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生從一個具體的實例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題得不到解決，從而引發(fā)思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

教師引導(dǎo)：從數(shù)的發(fā)展的需要，或者說解方程的需要，回顧數(shù)系的擴充歷程：

設(shè)計意圖：喚起學(xué)生對于數(shù)的意識，對于數(shù)的發(fā)展的歷史的回顧，對于數(shù)學(xué)文化的了解和認(rèn)識，起到承上啟下的作用，為更好地掌握新知識做好鋪墊.

建構(gòu)新知：于是我們引入虛數(shù)單位i，并定義（略）.

設(shè)計意圖：回顧數(shù)的發(fā)展歷史，為解方程的需要，定義虛數(shù)單位，把數(shù)系再次擴充，讓學(xué)生加深對于新知的掌握.

課后反思及研究：這一次的教學(xué)設(shè)計主要是從數(shù)學(xué)史中的一個小故事出發(fā)，引發(fā)學(xué)生對于數(shù)的發(fā)展的一點思考，并從解方程的角度回顧了數(shù)的發(fā)展歷程，從課堂上學(xué)生的反映來看，還是比較容易接受的. 學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下完成數(shù)的發(fā)展歷程的回顧，從而想到把數(shù)系再次進行擴充. 但在如何擴充這一環(huán)節(jié)，學(xué)生的能力還達不到預(yù)想的效果，在實施過程中，并不能直接想到引入新數(shù)，當(dāng)然就更難把握這個新數(shù)的定義. 所以，回顧數(shù)系擴充的過程時要充分展示數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，數(shù)學(xué)來源于生活，最后運用于生活，所以如何在教學(xué)設(shè)計中滲透數(shù)學(xué)文化是筆者考慮的重點. 另外，在新知引入時，學(xué)生也有困難，所以在第二次備課時，筆者考慮結(jié)合前幾次擴充的特征設(shè)計幾個探究思考題，讓學(xué)生找到前行的方向，并且思考題的設(shè)計要層層推進，讓學(xué)生不斷地發(fā)現(xiàn)問題，升華思維.

新的教學(xué)案例

情境引入：從社會生活的角度來看數(shù)的發(fā)展：為了計數(shù)的需要，產(chǎn)生了自然數(shù);為了刻畫相反意義的量的需要，產(chǎn)生了負(fù)數(shù);為了滿足測量與分配的需要，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù);為了滿足度量正方形對角線長的需要，產(chǎn)生了無理數(shù). 這一切在今天看來是那么的自然，然而在數(shù)學(xué)史上，每一步的跨出都充滿了艱難與曲折. 如“0”這個自然數(shù)的出現(xiàn)就比其他自然數(shù)要晚很多年，而且有人還因此受了酷刑;如在無理數(shù)誕生之前，人們發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線長既不能用整數(shù)來表示，又不能用兩個整數(shù)的比來表示，這就與畢達哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”相矛盾，從而引發(fā)了一次數(shù)學(xué)危機，致使蘇帕薩斯被投入大海，為之獻出了生命.

設(shè)計意圖：這樣可以讓學(xué)生通過自己的回憶、歸納，體會出一次次數(shù)系擴充的根本原因，感受數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，數(shù)學(xué)文化滲透課堂，更能進一步強化對整個數(shù)系的理解.

從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要（同第一次設(shè)計）.

問題1：（1）研究了這么多，我們回頭看看這些數(shù)的發(fā)展歷程，能不能從中獲得一些啟發(fā)，總結(jié)出一些共性呢？

（2）為什么要對數(shù)集進行一次又一次的擴充？

（3）每一次對數(shù)集進行擴充時，是如何解決矛盾的？

（4）數(shù)集擴充后，有沒有影響到原有的運算性質(zhì)？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過對前幾次數(shù)系擴充的歸納與梳理，感受到數(shù)系擴充的合理性，并能提煉出數(shù)系擴充的一般原則，為數(shù)系的再一次擴充以及如何擴充打好堅實的基礎(chǔ);同時，有利于讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的美妙之處，培養(yǎng)學(xué)生堅忍不拔的數(shù)學(xué)品質(zhì).由此，突破本節(jié)課的一個難點.

問題2：（1）我們的數(shù)集擴充到實數(shù)集后，是不是對所有的方程都有解了呢？比如意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在所著的《重要的藝術(shù)》（1545）中提出一個問題：把10分成兩部分，使其乘積為40.

（2）還有像x2+1=0這種方程我們能解嗎？x2-2x+6=0這種方程我們會解嗎？

設(shè)計意圖：學(xué)生由此而想到，如果負(fù)數(shù)可以開根號，那么這類問題也就迎刃而解了. 同時又有數(shù)學(xué)家鮮活的實例，引發(fā)學(xué)生的興趣，并反映了數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分. 以上三個方程都可以轉(zhuǎn)化為一個平方等于負(fù)數(shù)的形式（x2=-1）而得解，根據(jù)數(shù)系擴充的原則，你認(rèn)為該怎么辦？引導(dǎo)學(xué)生給出定義.？搖

根據(jù)第二次方案實施的行動跟進

根據(jù)修改后的新教案，首先在學(xué)生活動這方面進行調(diào)整，筆者把學(xué)生按“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的規(guī)律對學(xué)生進行了分組，組內(nèi)合作、組間競爭為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個積極交往的課堂氛圍，并在講授新課之前，讓學(xué)生寫了一篇數(shù)學(xué)小論文《我對“數(shù)系擴充”的了解》，目的是為了讓學(xué)生課前先通過查資料了解數(shù)學(xué)的文化歷程，從而產(chǎn)生對于數(shù)學(xué)的興趣.在尋找數(shù)系擴充所遵循的共同原則時，讓學(xué)生分組討論，使學(xué)生能在討論中獲得新知，逐步培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新意識，對定理的印象也更為深刻，在不知不覺中，提高了數(shù)學(xué)修養(yǎng). 其次，教師講述這個定理時，盡量以學(xué)生為主體，教師起到輔助的作用即可，在學(xué)生遇到不能解決的問題時，給予一定的幫助，期望學(xué)生通過自己的探索來發(fā)現(xiàn)問題.

第二次上課后的反思、研究和提升

通過這樣的兩次備課和實踐，才能發(fā)現(xiàn)在講解時的問題所在. 對于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很多學(xué)生都有這樣的感覺，“懂而不會”即聽得懂，但是不會做，而這個問題的歸因就是在新授課和習(xí)題的講解中，我們灌輸?shù)谋容^多，缺乏讓學(xué)生考慮、探索的一個過程，導(dǎo)致學(xué)生不能把所學(xué)到的知識很好的內(nèi)化，進而進行靈活的應(yīng)用. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中倡導(dǎo)“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢;數(shù)學(xué)的社會需求;社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用;數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系;數(shù)學(xué)的美學(xué)價值;數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.我們的數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.

在這兩次備課的過程中，筆者深入研究了三個問題.

1. 滲透數(shù)學(xué)文化，學(xué)會分組討論，合作學(xué)習(xí)

合作學(xué)習(xí)是一種古老的教育理念和實踐，我國古典教育名著《學(xué)記》中就有“獨學(xué)而無友，則孤陋而寡聞”這一說，主要強調(diào)在學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)者要相互合作. 合作教學(xué)理論認(rèn)為個體由于智力水平、興趣愛好、發(fā)展水平的不同，對同一事物的理解、認(rèn)識有著一定的差異，而這種差異可以通過學(xué)生之間的討論、合作學(xué)習(xí)來互相彌補，筆者在第二次備課后就運用了這個理論，讓學(xué)生分組后合作學(xué)習(xí).

2. 滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)堅忍不拔的意志品質(zhì)

在整節(jié)課的過程中，筆者穿插了許多數(shù)學(xué)家的故事. 在人類文明發(fā)展的歷史長河中，這些數(shù)學(xué)家用他們的堅持，做了許許多多我們常人無法想象的努力和奮斗，甚至有人為了這份執(zhí)著而付出了寶貴的生命，他們在鋪滿荊棘的探索道路上一步步走到了今天，為人類社會的進步做出了貢獻. 而今天，我們更應(yīng)注重對學(xué)生的數(shù)學(xué)意志品質(zhì)的培養(yǎng)，要學(xué)習(xí)并體會到科學(xué)家的這種精神，運用到實際生活中，遇到難題時要盡自己最大的努力去完成，不退縮，不放棄，這也是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn).

3. 滲透數(shù)學(xué)文化，努力提升學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”

維果斯基將學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，借助成人的幫助所能達到解決問題的水平與在獨立活動中所達到的解決問題的水平之間的差異稱為“最近發(fā)展區(qū)”. 我們要清楚地認(rèn)識到，更重要的并不是已有的，到今天為止已經(jīng)發(fā)展好的智力水平，而是那些剛剛開始萌芽，正渴望發(fā)展的智力水平，但是這種發(fā)展是有前提的，必須借助于一定的外力. 作為教師，我們要做的就是給學(xué)生創(chuàng)造一定的情境，讓他們一步步慢慢接近目標(biāo)，跳一跳便能夠著.

在本次微課例研究中，筆者進行了兩次備課，在這個過程中不僅發(fā)現(xiàn)了教學(xué)中存在的一些問題，還進行了教學(xué)理論的研究，從而來改進筆者的教學(xué)實踐，這樣不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握知識的能力，同時也提升了筆者的個人專業(yè)素養(yǎng)，受益匪淺.