溫亞男, 常 山

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230009)

廣義二面體群的Burnside環(huán)之增廣商群

溫亞男, 常 山

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230009)

設(shè)H是具有循環(huán)Sylow 2-子群的有限交換群,D是H的廣義二面體群。記D的Burnside環(huán)為Ω(D),Ω(D)的增廣理想為Δ(D)。文章對任意正整數(shù)n,具體構(gòu)造了Δn(D)作為自由交換群的一組基,并確定了商群Δn(D)/Δn+1(D)的結(jié)構(gòu), 其中Δn(D)表示Δ(D)的n次冪。

廣義二面體群;Burnside環(huán);增廣理想;增廣商群

0 引 言

設(shè)H是具有循環(huán)Sylow2-子群的有限交換群,D是H的廣義二面體群。本文對任意正整數(shù)n, 具體構(gòu)造了Δn(D)作為自由交換群的一組基, 并確定了Qn(D)的結(jié)構(gòu)。

1 預(yù)備知識

本文列出Ω(G)、Δn(G)、Qn(G)以及自由交換群的若干基本性質(zhì)。

設(shè)X是G-集,x,y∈X。若存在g∈G,使得gx=y,則稱x與y相關(guān)。易見相關(guān)關(guān)系是X上的等價關(guān)系, 其等價類稱為軌道, 顯然x所在的軌道為Gx={gx|g∈G}。若X只有一個軌道, 則稱X是傳遞G-集。顯然x所在的軌道Gx本身是一個傳遞G-集。此外, 若K是G的子群, 則K的左陪集類G/K在作用g(hK)=(gh)K下也是一個傳遞G-集。

引理1[1]設(shè)X是傳遞G-集,x∈X,則

Gx?G/Gx,

其中,Gx={g∈G|gx=x}是x的穩(wěn)定子群。

引理2[1]設(shè)K、L是G的子群, 則G/K?G/L當(dāng)且僅當(dāng)K與L在G中共軛,記作K～L。

其中,dK為X中同構(gòu)于G/K的軌道的個數(shù)。

由計算可知,|#(G/G)|=1且對G的任意真子群K總有|#(G/K)|=0, 于是立得如下推論。

引理3[5]設(shè)K是G的子群,L是G的正規(guī)子群, 則

引理4[5]對任意正整數(shù)n,Δn(G)的自由秩都等于Δ(G)的自由秩。

最后給出一個關(guān)于自由交換群的經(jīng)典結(jié)論。

引理5[16]設(shè)F是秩為r的自由交換群, 若F中有r個元可以生成F, 則這r個元構(gòu)成F的一組基。

2 D的子群及其共軛類

本文確定廣義二面體群的子群及其共軛類, 進(jìn)而給出廣義二面體群的Burnside環(huán)及其增廣理想作為自由交換群的基。

設(shè)H是有限交換群,H的廣義二面體群D是H與2階循環(huán)群的半直積。具體地,D可劃分為H與σH的不交并, 其中,σ為該2階循環(huán)群的生成元;D中運(yùn)算由等式σ-1hσ=h-1決定，h∈H。

引理6 設(shè)H是有限交換群,D是H的廣義二面體群,K是D的子群。

(1) 若K?H,則K是D的正規(guī)子群。

(2) 若K?H,則存在h∈H,使得K=N∪σhN, 其中N=K∩H。

證明(1)由D的定義直接可得。

(2) 注意到K=N∪(K∩σH),因此僅需證明存在h∈H,使得K∩σH=σhN。

由K?H可知,K∩σH≠?。于是存在h∈K,使得σh∈K∩σH, 立得σhN∈K∩σH。

另一方面,設(shè)σg∈K∩σH,其中h∈H。經(jīng)計算可知,σhσg=h-1g∈K∩H=N,從而σg=σh(h-1g)∈σhN,即得K∩σH=σhN。

設(shè)H的Sylow 2-子群是2m階循環(huán)群, 則H有直積分解H=〈τ〉×U,其中，τ的階為2m；U為奇數(shù)階交換群。設(shè)N是H的子群, 則N=〈τ2q〉×T,其中，0≤q≤m;T為U的子群。

引理7 設(shè)H、N如上定義,h=τru,u∈U,則在H的廣義二面體群D中,有

(1)N∪σhN～N∪στrN～

(2)N∪σN～N∪στN當(dāng)且僅當(dāng)q=0。

證明(1) 注意到u是奇數(shù)階元, 設(shè)u的階為2i+1,經(jīng)計算可得:

u-i(N∪σhN)ui=u-iNui∪u-iσhNui=

N∪σhu2iN=N∪στrN,

即得N∪σhN～N∪στrN。類似地, 對任意整數(shù)j, 經(jīng)計算可得:

τj(N∪στrN)τ-j=τjNτ-j∪τjστrNτ-j=

N∪στr-2jN,

立得結(jié)論。

(2) 易見,當(dāng)q=0時,τ∈N。于是τN=N, 從而N∪στN=N∪σN。反之, 假設(shè)存在g∈D,使得g-1(N∪σN)g=N∪στN,則

g-1(N∪σN)g=g-1Ng∪g-1στNg=

N∪g-1σgN。

再設(shè)g=σkτlv,其中,0≤k≤1;0≤l≤2m-1;v∈U。經(jīng)計算可得:

g-1σg=(σkτlv)-1σ(σkτlv)=

v-1τ-lσ-kσσkτlv=v-1τ-lστlv=στ2lv2,

于是τ2lv2N=τN, 故τ2l-1v2∈N, 立得τ2l-1∈〈τ2q〉。 注意到,當(dāng)q≥1時,〈τ2q〉中沒有τ的奇數(shù)次冪, 因此必有q=0。

應(yīng)用引理7可構(gòu)造Ω(D)和Δ(D)作為自由交換群的一組基。為了表達(dá)簡便起見, 約定如下記號:

(2) 簡記[q,U]0,[q,U]1,[q,U]2為[q]0,[q]1,[q]2。

(3) 對Ω(D)的任一子集Π,用ZΠ表示Π中元素的所有整系數(shù)線性組合構(gòu)成的集合。

定理3 設(shè)H=〈τ〉×U, 其中,τ的階為2m;U為奇數(shù)階交換群。D是H的廣義二面體群, 則Ω(D)在加法下是以{[q,T]0|0≤q≤m;T≤U}∪{[0,T]1|T≤U}∪{[q,T]t|1≤q≤m;T≤U;t=1,2}為基的自由交換群。

推論2 Δ(D)在加法下是以{[q,T]0|0≤q≤m;T≤U}∪{[0,T]1|T

3 Δn(D)與Qn(D)的結(jié)構(gòu)

本文先證明Ω(D)中的若干乘法等式, 進(jìn)而具體構(gòu)造Δn(D)作為自由交換群的一組基并確定Qn(D)的結(jié)構(gòu)。以下總假設(shè)H=〈τ〉×U, 其中,τ的階為2m;U為奇數(shù)階交換群;D為H的廣義二面體群。注意到,當(dāng)m=0時,H為奇數(shù)階交換群, 此情形文獻(xiàn)[5]已解決, 因此不妨假設(shè)m≥1。

引理8 設(shè)0≤p,q≤m,S、T是U的子群。

(1) 若p≤q,則

(2) 對t=1,2,總有

[p,S]0[q,T]t=

(3) 若p≤q,則對任意s,t∈{1,2},總有

[p,S]s[q,T]t∈Z{[q,S∩T]0,

[q,S∩T]1,[q,S∩T]2}。

證明(1)、(2)是引理3的直接推論。對于(3), 這里僅證明s=t=1的情形, 其他情形類似可證。記為：

M=〈τ2p〉×S,N=〈τ2q〉×T,

易見D/(M∪σM)中的元可表示為τiu(M∪σM),D/(N∪σN)中的元可表示為τjv(N∪σN)。其中,0≤i≤2p-1;0≤j≤2q-1；u,v∈U。令

x=(τiu(M∪σM),τjv(N∪σN))∈

D/(M∪σM)×D/(N∪σN)。

經(jīng)計算可得x的穩(wěn)定子群如下：

Dx=(τiu(M∪σM)τ-iu-1)∩

(τjv(N∪σN)τ-jv-1)=

(M∪στ-2iu-2M)∪(N∪στ-2jv-2N)=

(M∩N)∪σ(τ-2iu-2M∩τ-2jv-2N),

從而

Dx∩H=M∩N=

(〈τ2p〉×S)∩(〈τ2p〉×T)=

(〈τ2p〉∩〈τ2p〉)×(S∩T)=〈τ2p〉×(S∩T)。

由引理6和引理7可知,x所在軌道的同構(gòu)類為[q,S∩T]0、[q,S∩T]1或[q,S∩T]2,即得結(jié)論。

命題1 設(shè)0≤q≤m,T是U的子群,M=〈τ〉×T,N=〈τ2q〉×T,u,v∈U,j是任意整數(shù),則u-2M∩τ-2jv-2N≠?的充要條件是uT=vT。

證明經(jīng)計算可得:

u-2M=u-2(〈τ〉×T)=〈τ〉×(u-2T),

τ-2jv-2N=τ-2jv-2(〈τ2q〉×T)=

(τ-2j〈τ2q〉)×(v-2T)。

于是有：

u-2M∩τ-2jv-2N=(τ-2j〈τ2q〉)×

(u-2T∩v-2T)。

因此,u-2M∩τ-2jv-2N≠?。當(dāng)且僅當(dāng)u-2T∩v-2T≠?, 即u-2T=v-2T。當(dāng)uT=vT時,結(jié)論顯然成立。反之, 若u-2T=v-2T, 則u2v-2∈T。注意到U是奇數(shù)階交換群, 因此可假設(shè)uv-1的階為2t+1, 于是

uv-1=(u2v-2)-t∈T,

即得uT=vT。

引理9 設(shè)0≤q≤m，T是U的子群,t=1,2,則

證明這里僅證明t=1的情形,t=2的情形類似可證。設(shè)

M=〈τ〉×T,N=〈τ2q〉×T,

其中vl∈U,則

D/(M∪σM)=

同理,D/(N∪σN)可表示為:

令

z=(vk(M∪σM),τjvl(N∪σN))∈

D/(M∪σM)×D/(N∪σN),

經(jīng)計算可得z的穩(wěn)定子群:

注意到M∩N=N=〈τ2q〉×T,若

?,

則z所在軌道的同構(gòu)類為[q,T]0。若

?,

引理10 設(shè)1≤p,q≤m,則

[p]1[q]2=2min{p,q}-1[max{p,q}]0。

證明令

M=〈τ2p〉×U,N=〈τ2q〉×U,

易見D/(M∪σM)中的元可表示為τi(M∪σM),D/(N∪στN)中的元可表示為τj(N∪στN),其中,0≤i≤2p-1;0≤j≤2q-1。令

y=(τi(M∪σM),τj(N∪στN))∈

D/(M∪σM)×D/(N∪στN),

經(jīng)計算可得y的穩(wěn)定子群:

Dy=(M∩N)∪σ(τ-2iM∩τ1-2jN),

且

τ-2iM∩τ1-2jN=

τ-2i(〈τ2p〉×U)∩τ1-2j(〈τ2q〉×U)=

(τ-2i〈τ2p〉∩τ1-2j〈τ2q〉)×U。

由p≥1可知,τ-2i〈τ2p〉中全是τ的偶數(shù)次冪；由q≥1可知,τ1-2j〈τ2q〉中全是τ的奇數(shù)次冪, 因此

τ-2i〈τ2p〉∩τ1-2j〈τ2q〉=?。

于是Dy=〈τ2max{p,q}〉×U,故y所在軌道的同構(gòu)類為[max{p,q}]0。分別計算[p]1、[q]2和[max{p,q}]0的基數(shù)可知[p]1[q]2中的軌道個數(shù)恰為2max{p,q}-1, 立得結(jié)論。

引理11 設(shè)1≤p≤q≤m,t=1,2，則

[p]t[q]t=2[q]t+(2p-1-1)[q]0。

證明這里僅證明t=1的情形,t=2的情形類似可證。設(shè)M=〈τ2p〉×U,N=〈τ2q〉×U,則

D/(M∪σM)={τi(M∪σM)|0≤i≤2p-1},

D/(N∪σN)={τj(N∪σN)|0≤j≤2q-1}。

令

x=(τi(M∪σM),τj(N∪σN))∈

D/(M∪σM)×D/(N∪σN),

經(jīng)計算可得x的穩(wěn)定子群:

Dx=(M∩N)∩σ(τ-2iM∩τ-2jN)。

易見M∩N=N, 于是由引理9的證明可知, 如果τ-2iM∩τ-2jN=?,那么x所在軌道同構(gòu)類為[q]0, 否則為[q]1。計算可得：

τ-2iM∩τ-2jN=(τ-2i〈τ2p〉∩τ-2j〈τ2q〉)×U。

再由1≤p≤q可知:

τ-2i〈τ2p〉∩τ-2j〈τ2q〉≠? ?

〈τ2p〉∩τ2i-2j〈τ2q〉≠? ?

τ2(i-j)∈〈τ2p〉 ? 2p-1|(i-j)。

因此,在D/(M∪σM)×D/(N∪σN)中,共有2p+1個元所在軌道的同構(gòu)類為[q]1, 這些元恰好組成2個軌道。余下的元所在軌道的同構(gòu)類均為[q]0, 計算相關(guān)D-集的基數(shù)可知,余下元組成軌道的個數(shù)恰為2p-1-1, 立得結(jié)論。

推論3 設(shè)

Λ={[q,T]0|0≤q≤m;T

{[0,T]1|T

{[q,T]t|1≤q≤m;T

則

(1) 對任意正整數(shù)n,總有Λ?Δn(D)。

(2)Λ·Δ(D)?ZΛ。

證明(1) 對n歸納。當(dāng)n=1時, 由定理3的推論即得。假設(shè)n≥2且Λ?Δn-1(D), 由引理8可知:

[q,T]0=[0]0[q,T]1∈Δ(D)Δn-1(D)=Δn(D)。

再由引理9可知,對s=1,2,總有:

[q,T]t=[0,T]t[q,T]t-

立得Λ?Δn(D)。

(2) 由引理8即得。

定理4 對任意n≥2,Δn(D)在加法下是以Λ∪Γn為基的自由交換群, 其中,

Γn={2n-1[0]0}∪{2n-2[q]0|1≤q≤m}∪

{2n-1[q]t|1≤q≤m;t=1,2}。

證明由引理4和定理3的推論知,當(dāng)n≥2時,Δn(D)的自由秩總是等于Λ∪Γn的基數(shù)。因此由引理5可知,僅需證明Λ∪Γn是Δn(D)的生成元集。

對n歸納。當(dāng)n=2時, 由定理3的推論可知,Δ(D)在加法下是以

Λ∪{[q]0|0≤q≤m}∪

{[q]t|1≤q≤m;t=1,2}

為基的自由交換群。再應(yīng)用引理8、引理10、引理11及其推論,經(jīng)計算可得:

Δ2(D)=Δ(D)Δ(D)=

ZΛ+Z{[p]0[q]0|0≤p≤q≤m}+

Z{[p]0[q]t|0≤p≤m;1≤q≤m;t=1,2}+

Z{[p]t[q]t|1≤p≤q≤m;t=1,2}+

Z{[p]1[q]2|1≤p,q≤m}=

ZΛ+Z{2p+1[q]0|0≤p≤q≤m}+

Z{2min{p,q}[max{p,q}]0|0≤p≤m;

1≤q≤m}+Z{2[q]t+

(2p-1-1)[q]0|1≤p≤q≤m;t=1,2}+

Z{2min{p,q}-1[max{p,q}]0|1≤p,q≤m}=

ZΛ+Z{2[q]0|0≤q≤m}+Z{[q]0|1≤

q≤m}+Z{2[q]t+(2p-1-1)[q]0|1≤p≤

q≤m;t=1,2}+Z{[q]0|1≤q≤m}=

ZΛ+Z{2[0]0}+Z{[q]0|1≤q≤m}+

Z{2[q]t|1≤q≤m;t=1,2},

即Λ∪Γ2是Δ2(D)的生成元集。假設(shè)結(jié)論對n成立, 即Λ∪Γn是Δn(D)的生成元集, 經(jīng)計算可得:

Δn+1(D)=Δ(D)Δn(D)=

ZΛ+Z{2n-1[p]0[0]0|0≤p≤m}+

Z{2n-2[p]0[q]0|0≤p≤m;1≤q≤m}+

Z{2n-1[p]0[q]t|0≤p≤m;

1≤q≤m;t=1,2}+

Z{2n-1[p]s[0]0|1≤p≤m;s=1,2}+

Z{2n-2[p]s[q]0|1≤p,q≤m;s=1,2}+

Z{2n-1[p]s[q]t|1≤p,q≤m;

s,t∈{1,2}}=

ZΛ+Z{2n[p]0|0≤p≤m}+

Z{2n+min{p,q}-1[max{p,q}]0|0≤p≤m;1≤

q≤m}+Z{2n+min{p,q}-1[max{p,q}]0|0≤p≤m;

1≤q≤m}+Z{2n[p]0|1≤p≤m}+

Z{2n+min{p,q}-2[max{p,q}]0|1≤p,q≤m}+

Z{2n-1[p]t[q]t|1≤p≤q≤m;t=1,2}+

Z{2n-1[p]1[q]2|1≤p,q≤m}=

ZΛ+Z{2n[p]0|0≤p≤m}+

Z{2n-1[q]0|1≤q≤m}+Z{2n-1[q]0|1≤

q≤m}+Z{2n-1(2[q]t+(2p-1-1)[q]0)|1≤

p≤q≤m;t=1,2}+

Z{2n+min{p,q}-2[max{p,q}]0|1≤

p,q≤m}=

ZΛ+Z{2n[0]0}+Z{2n-1[q]0|1≤

q≤m}+Z{2n[q]t|1≤q≤m;t=1,2}+

Z{2n-1[q]0|1≤q≤m}=

ZΛ+Z{2n[0]0}+Z{2n-1[q]0|1≤q≤m}+

Z{2n[q]t|1≤q≤m;t=1,2},

立得Λ∪Γn+1是Δn+1(D)的生成元集, 定理得證。

定理5 對任意正整數(shù)n,

其中,C2表示2階循環(huán)群。

證明由定理3的推論和定理4即得。

[1] MAGURN B A.An algebraic introduction to K-theory [M].Cambridge：Cambridge University Press，2002：135-141.

[2] 武海波，唐國平.有限交換群的Burnside環(huán)的增廣理想的連續(xù)商群的結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2007，36(5)：627-630.

[3] WU H B,TANG G P.The structure of powers of the augmentation ideal and their quotients for the Burnside ring of a dihedral group [J].Adv Math (China)，2017，46(3)：380-386.

[4] 武海波，唐國平.循環(huán)群的極大子群作用下的Burnside環(huán)的連續(xù)商群[J].中國科學(xué)院大學(xué)學(xué)報，2016，33(2)：302-305.

[5] CHANG S.Augmentation quotients for Burnside rings of generalized dihedral groups[J].Czechoslovak Mathematical Journal，2016，66(4)：1165-1175.

[6] TANG G H，LI Y，WU Y S.On the consecutive quotients for Burnside ring of some nonabelian 2-groups [J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，33(2)：1-7.

[7] PARMENTER M M.A basis for powers of the augmentation ideal[J].Algebra Colloq，2001，8(2)：121-128.

[8] TANG G P.Presenting powers of augmentation ideals of elementary p-groups [J].K-Theory，2001，23(1)：31-39.

[9] TANG G P.On a question of Karpilovsky [J].Algebra Colloq,2003，10(1)：11-16.

[10] BAK A，TANG G P.Solutions to the presentation problem for powers of the augmentation ideal of torsion free and torsion abelian groups [J].Adv Math，2004，189(1)：1-37.

[11] TANG G P.Structure of augmentation quotients of nite homocyclic abelian groups [J].Sci China Ser A，2007，50 (9)：1280-1288.

[12] CHANG S，TANG G P.A basis for augmentation quotients of nite abelian groups [J].Journal of Algebra，2011，327:466-488.

[13] CHANG S，CHEN H，TANG G P，Augmentation quotients for complex representation rings of dihedral groups [J].Front Math China，2012，7(1)：1-18.

[14] 常山.點群的復(fù)表示環(huán)之增廣商群[J].安徽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，38(4)：13-19.

[15] CHANG S，Augmentation quotients for complex representation rings of generalized quaternion groups [J].Chinese Annals of Mathematics Ser B，2016，37(4)：571-584.

[16] LANG S.Algebra [M].3 rd.New York：Springer，2005：42-46.

AugmentationquotientsforBurnsideringsofsomegeneralizeddihedralgroups

WEN Yanan, CHANG Shan

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

LetHbe a finite abelian group whose Sylow 2-subgroup is cyclic,Dbe its generalized dihedral group. Denote the Burnside ring ofDand its augmentation ideal byΩ(D) andΔ(D), respectively. This paper constructs an explicit basis ofΔn(D) as a free abelian group and determines the isomorphism class of then-th quotient groupΔn(D)/Δn+1(D) for each positive integern, whereΔn(D) is then-th power ofΔ(D).

generalized dihedral group; Burnside ring; augmentation ideal; augmentation quotient

2016-08-24；

2017-04-20

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項目(11401155)；安徽省自然科學(xué)基金青年資助項目(1308085QA01)

溫亞男(1993-),女,安徽淮北人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

常 山(1983-),男,安徽合肥人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副研究員,碩士生導(dǎo)師，通訊作者,Email:changshan@hfut.edu.cn.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.12.026

O152.1

A

1003-5060(2017)12-1719-06

(責(zé)任編輯朱曉臨)