矩陣的廣義逆的求法及應用

劉浩翔

摘 要：矩形的廣義逆被廣泛應用于不同的學科領(lǐng)域，在理論和實踐中都起著十分關(guān)鍵的作用。矩陣的廣義逆在科學理論基礎(chǔ)上得到發(fā)展，應用最多的范圍有：數(shù)值代數(shù)、微積分、電網(wǎng)絡分析、最優(yōu)化以及測量學等方面。本文例舉了廣義逆矩陣在光學自動設計、OPDM系統(tǒng)等實際領(lǐng)域的應用。主要對矩形廣義逆的定義和其性質(zhì)進行分析，并從不同方面介紹廣義逆的應用。

關(guān)鍵詞：矩陣 廣義逆 求法 應用

中圖分類號：O15 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）11（a）-0224-02

矩陣廣義逆是一個具有很高應用價值的數(shù)學理論基礎(chǔ)，它是數(shù)學科學的一個分支理論。在處理一些有限維空間形式以及數(shù)量關(guān)系時，研究者們通常會采用廣義逆矩陣達到精確處理的目的。隨著信息時代的腳步越來越快，人們大量使用計算機處理技術(shù)問題，這也為矩陣廣義逆理論的發(fā)展和應用提供了機遇。矩陣廣義逆目前應用于系統(tǒng)辨識，控制論，規(guī)劃論，測量，計量學和統(tǒng)計學等多方面。

1 矩陣廣義逆的定義

（1）A是任意重復的矩陣，如果存在一個Y能夠滿足一個Moore—Penroce方程，且該方程滿足以下條件：AYA=A，YAY=Y，（AY）=YA，（YA）Y=A。

此時，我們把Y稱為A的一個Moore-Penroce廣義逆，也可以簡稱為A的加號逆，記為Y=A。

如果這個Y不能滿足以上所有條件，而只能夠滿足其中部分條件，就把它記作A的某幾條廣義逆。當該Y能夠滿足條件AYA=A時，我們把它稱作A的{1}廣義逆，也可以簡稱為A的減號逆；當該Y能夠同時滿足條件AYA=A和YAY=Y時，我們就把Y稱作A的{1，2}廣義逆，即Y=A{1，2}∈A{1，2}。

（2）我們把A設為一個m行n列的矩陣，如果Bij的級數(shù)等于Aij，就有A+B=（Aij+Bij）rxr。

（3）設A為一個m行n列的矩陣，如果/A/≠0，我們稱A為廣義非奇異矩陣，相反地，如果/A/=0，我們就說A是一個廣義奇異矩陣。

2 矩陣廣義逆的應用

矩陣廣義逆應解方程組的解題需要而出現(xiàn)，最早可以追溯到上世紀初，科學家學者在對于積分運算時研究得到積分算子的廣義逆，而后不斷有學者將其推廣和發(fā)展，在發(fā)展過程中，廣義逆矩陣的應用范圍也逐步擴展，到今天為止，廣義逆矩陣以廣泛應用于許多領(lǐng)域。

2.1 廣義逆矩陣應用于估計OPDM系統(tǒng)信道

OPDM系統(tǒng)是一種同時兼具時域和頻域兩種信號的多載波系統(tǒng)，時域和頻域這兩種信號在數(shù)學領(lǐng)域都可以用序列符號來表示，所以對于這種序列形式的處理，我們可以把它看成是對于數(shù)學矩陣的運算，也正是因為OPDM系統(tǒng)的這個特點，在處理OPDM系統(tǒng)問題時，可以使用矩陣廣義逆的相關(guān)理論基礎(chǔ)來進行研究和解答。在解決OPDM系統(tǒng)問題時，應用了矩形廣義逆的一個重要的理論作為基礎(chǔ)：時域的卷積可以用矩陣向量的乘積來表示，而此時的時域序列就成為了矩陣乘積，我們就可以通過對矩陣廣義逆的分析來進行對實際問題的解決。在對矩陣向量的推導過程中有以下公式：HT=H1TH2，通過上文我們得出的理論基礎(chǔ)與該公式相結(jié)合可以達到實際解決該問題的目的。矩陣廣義逆在OPDM系統(tǒng)中的應用，不僅方便了OPDM的運行，也為人們對信道和信號等領(lǐng)域的研究和新理論應用的研究開拓了新的方面，合理使用廣義逆對多領(lǐng)域有著很重要的輔助意義。

2.2 矩陣廣義逆應用在光學自動設計

光學自動設計是建立在物理科學基礎(chǔ)上的，在光學的應用方面發(fā)展起來的一個新型物理技術(shù)設計概念。光學自動設計對光學系統(tǒng)有兩方面的要求：（1）光學特性；（2）成像品質(zhì)。作為光學理論的衍生設計，光學設計問題從數(shù)學角度來看就是要建立和求解一個像差方程組，這個過程就是根據(jù)系統(tǒng)要求的像差值從像差方程組：f1（x1，.......xn）=F1 fm（x1........xm）=Fm中找出所要求的解：x1.......xn，這就是我們要求得結(jié)構(gòu)參數(shù)。在實際上，找不到函數(shù)的具體形式，只有在給出了系統(tǒng)參數(shù)時才能夠用計算數(shù)值的方法求得所要的函數(shù)值。

在光學透鏡的自動設計過程中，研究者發(fā)現(xiàn)了其中存在的兩方面的問題：（1）如何處理解決病態(tài)矩陣；（2）怎樣消除和消退像差對透鏡自動設計的影響。這兩個問題使用其他數(shù)學方法都很難有效解決，這時候矩陣的廣義逆的使用就能夠?qū)@兩方面的問題統(tǒng)一進行處理，無需分開下手，能夠高效解決問題。在實際處理光學自動設計問題時，我們常將廣義逆矩陣與阻尼最小二乘法以及正交化法等數(shù)學方法進行合理地結(jié)合，使問題處理事半功倍。除了這兩種結(jié)合方式，適當?shù)厥褂靡恍?shù)學算法，計算程序以及邏輯關(guān)系，可以使我們在處理過程中減少一些不必要的計算和轉(zhuǎn)化，能夠更加高效、科學地對光學自動設計問題進行處理。這也增強了矩陣廣義逆的實用性。

2.3 矩陣廣義逆應用在嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)中的應用

眾所周知，大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)是一種對大氣數(shù)據(jù)進行綜合的、高精度的提供的信息系統(tǒng)。嵌入式大氣系統(tǒng)的使用對大氣觀測和人類生活有十分重要的意義。而一個大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)由多個軟件和結(jié)構(gòu)組成，對數(shù)據(jù)的運算就顯得非常重要了。矩陣的廣義逆在嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)中的應用十分必要。矩陣的廣義逆可以處理嵌入式大氣處理系統(tǒng)的數(shù)據(jù)算法，可以對系統(tǒng)算法進行合理的改進和設計，以此達到實現(xiàn)系統(tǒng)簡化，減少系統(tǒng)運行負擔的目的。系統(tǒng)處理人員將系統(tǒng)的靜壓、參數(shù)等方面的問題進行算法改進，這些都必須要以Moore-Penrose廣義逆矩陣作為運算和改進的基礎(chǔ)。使用矩陣的廣義逆還可以對大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)進行收斂性分析，運算過程精簡，算法明晰。得到的數(shù)值可以通過其他軟件進行數(shù)字的檢驗，通過對大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)的矩陣的廣義逆和數(shù)字檢測軟件的聯(lián)合應用，可以發(fā)現(xiàn)，這種算法改進具有積極意義和高實現(xiàn)性，一些矩陣的廣義逆的求解過程可以被省略，這種方式大大減少了實際計算量。矩陣的廣義逆的選代過程被減少，實際操作起來也可以大大節(jié)省計算時間。在相同的計算時間下，可以完成更多的任務，同樣的，在保證相同精確度計算的同時，所用的時間相對較少。這一發(fā)現(xiàn)也為我們將廣義逆應用在其他領(lǐng)域開發(fā)了新道路，即可以將廣義逆理論與其他算法和軟件相結(jié)合，以達到高速、高效的目的。

3 結(jié)語

綜上所述，廣義逆作為一種數(shù)學算法，具有很高的應用性，除了對數(shù)學矩陣的計算還可以對其他應用領(lǐng)域的一些系統(tǒng)和數(shù)值進行方程運算，廣義逆矩陣的求解過程有很多種，廣義逆的類型也不盡相同，本文列舉了其中幾個命題和推論過程，并舉例說明在一些實際應用領(lǐng)域?qū)V義逆矩陣的使用，以及廣義逆矩陣在應用中所能達到的運算目的。除了本文列舉的幾個應用領(lǐng)域，廣義逆矩陣還常被應用在一些方案修改、線性方程組的研究、離散型動態(tài)投入產(chǎn)出模型的求解、PADE的pfaftan的計算公式的推導等方面。這些方面的應用體現(xiàn)了廣義逆矩陣所蘊含的數(shù)學理論和科學性以及數(shù)學美的體現(xiàn)。

參考文獻

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