朱磊

[摘? 要] 猜測在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用，認(rèn)識到猜測的價值，可以發(fā)掘猜測在數(shù)學(xué)概念、規(guī)律以及問題解決中的作用. 猜測的應(yīng)用需要關(guān)注教學(xué)細(xì)節(jié)，同時應(yīng)作為數(shù)學(xué)教師的研究對象.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);猜測;應(yīng)用研究

猜測，猜度、揣測之意，指憑某線索推斷、猜度. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)常常需要猜測，但與其他教學(xué)要素相比，猜測又不是以非常明顯的形式存在著，因此其更多的需要滲透，需要潛移默化. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中建立猜測這一教學(xué)線索，并將之應(yīng)用到具體的數(shù)學(xué)知識教學(xué)中，有什么價值呢？應(yīng)當(dāng)遵循什么樣的途徑呢？又有哪些注意點(diǎn)呢？對于這些問題，筆者分別進(jìn)行了思考，同時基于教學(xué)實(shí)踐，進(jìn)行了總結(jié)與分析，下面分別對這三點(diǎn)進(jìn)行闡述.

初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行猜測的價值

猜測自然是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行的猜測. 根據(jù)猜測的定義，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的猜測肯定是基于某些線索來進(jìn)行的. 從這個角度來講，猜測具有建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論中“主動建構(gòu)”的價值，只是由于這個時候的建構(gòu)比較粗糙，因而并不像有效的建構(gòu)過程那樣能夠迅速地生成準(zhǔn)確的結(jié)論;但這個環(huán)節(jié)的價值不可忽視，因為猜測意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)之初將新舊知識進(jìn)行相互作用，對知識生成的方向做出了初步的判斷，對知識生成的結(jié)果進(jìn)行了猜測. 對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，這是思維基于經(jīng)驗與問題交織后的“土壤”（隱喻著學(xué)習(xí)基礎(chǔ)）上的萌芽.

雖說猜測在結(jié)果上不具有高度精確性，但由于其是學(xué)生在問題驅(qū)動之下根據(jù)自身直覺進(jìn)行的一種思維行為，因此其反映著學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺思維水平，對教師判斷學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)有重要的參考價值. 反過來，這種直覺思維水平也需要教師著力培養(yǎng)，因為在這個環(huán)節(jié)猜測得越準(zhǔn)，教學(xué)的效益就越高. 這里可以先通過一個簡單的例子來說明.

教學(xué)“平方根”這一內(nèi)容時，教師在引入平方根的時候常常會設(shè)置一個情境，以讓學(xué)生認(rèn)識到平方根實(shí)際上就是已知一個正數(shù)的平方而去求這個正數(shù)的問題. 那么在學(xué)生有了這個認(rèn)識之后再去提供“算術(shù)平方根”的概念，學(xué)生心中會有什么樣的想法呢？這里涉及對算術(shù)平方根的概念的理解. 根據(jù)筆者的調(diào)查與梳理，學(xué)生常常會出現(xiàn)至少兩種想法：一種是直接內(nèi)化概念，這類學(xué)生基礎(chǔ)通常較好，有了新的數(shù)學(xué)概念，就會從定義角度去理解并內(nèi)化;另一種則是揣摩概念——為什么叫平方根？為什么叫算術(shù)平方根？基于這樣的問題，他們會去猜測：已知正數(shù)的平方去求這個正數(shù)，這就是在尋找這個平方的根（大腦中常常會有植物的根莖表象）;至于為什么加入“算術(shù)”的概念，則可能是因為這是一個算術(shù)運(yùn)算，可能在計算的過程中要遵守一些規(guī)則……

應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到后一類學(xué)生這種思維的價值：對數(shù)學(xué)概念（包括規(guī)律或問題解決中的其他猜測思維）的猜測意味著對概念的理解已經(jīng)開始，意味著學(xué)生大腦中已有的概念已經(jīng)在猜測的作用之下被提取出來，這些前概念能夠發(fā)揮多大的作用，決定著猜測的結(jié)果的準(zhǔn)確程度. 而實(shí)際上教師在掌握了學(xué)生猜測的思維邏輯之后，就可以更多地依靠學(xué)生的這些思維活動來進(jìn)一步明確教學(xué)方向.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透猜測的實(shí)際應(yīng)用例析

下面從數(shù)學(xué)概念、規(guī)律與問題解決的教學(xué)角度，談?wù)劜聹y在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以及此過程中教師作用發(fā)揮的機(jī)制.

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，猜測主要存在于對概念的理解. 上面所舉的“平方根”例子已對其進(jìn)行了初步說明. 關(guān)于教師在學(xué)生猜測過程中應(yīng)當(dāng)發(fā)揮的作用，筆者以為，關(guān)鍵是以下兩點(diǎn).

一是教師要通過問題的提出，讓學(xué)生將他們的猜測依據(jù)做一個說明. 如教師提出的問題可以是“你是怎么理解這個概念的”“你在理解這個概念的時候想到了什么”……這些問題的提出，往往可以讓教師準(zhǔn)確地把握學(xué)生猜測背后的思維依據(jù)，從而為學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念校準(zhǔn)方向. 如對“平方根”概念的理解，有些學(xué)生的猜測思路是不準(zhǔn)確的，他們認(rèn)為“平方根就是去平方一個數(shù)的根”，其認(rèn)為“平方”是一種計算方式，這顯然是對此前所學(xué)的平方概念理解得不透徹. 在這里，教師可以從“正數(shù)——正數(shù)的平方”“正數(shù)的平方——正數(shù)”兩個維度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，這樣就可以很好地校正猜測思維的錯誤，同時讓學(xué)生厘清此前模糊的認(rèn)識.

二是要充分激活學(xué)生的原有概念，讓他們的猜測更具準(zhǔn)確性. 雖然猜測更多的是依靠直覺思維去加工原有概念，但由于原有概念未必能及時、全面地出現(xiàn)，因此一定程度上需要教師做一些鋪墊工作.

比如在“平方根”的概念建構(gòu)中，教師在創(chuàng)設(shè)情境的時候可以多花點(diǎn)時間，讓學(xué)生認(rèn)識到其中的平方與平方根的存在. 如給出25 dm2的正方形畫布，讓學(xué)生求其邊長. 教師在學(xué)生算出之后進(jìn)行多次變式——變換畫布的面積，讓學(xué)生形成良好的根據(jù)平方求正數(shù)值的直覺，然后提供一個反例：如果這塊畫布不是一個正方形，而是一個長方形，那剛才的運(yùn)算規(guī)則還適用嗎？學(xué)生稍作思考便可發(fā)現(xiàn)“不可以”，這實(shí)際上是從反面強(qiáng)化了平方根的特征，從而將學(xué)生對平方根的認(rèn)識向正確方向引導(dǎo)，這就意味著其后的猜測準(zhǔn)確度會更高.

在數(shù)學(xué)規(guī)律的教學(xué)中，猜測所發(fā)揮的作用更多的是對規(guī)律的理解. 教學(xué)經(jīng)驗表明，對于有些規(guī)律的理解，絕大多數(shù)的學(xué)生是順利的，而有些規(guī)律尤其是一些約定俗成的規(guī)律，理解起來往往就有一些困難，而這些困難的直接表現(xiàn)，就是學(xué)生的猜測空間很大，猜測結(jié)果多元. 教師在此過程中發(fā)揮作用的關(guān)鍵則在于讓學(xué)生的猜測結(jié)果進(jìn)行充分比較，進(jìn)而得出對數(shù)學(xué)規(guī)律的共同的、準(zhǔn)確的認(rèn)識.

例如，“0的算術(shù)平方根是0”在教材中是以“規(guī)定”的形式出現(xiàn)的，初中生會下意識地思考：為什么做這樣的規(guī)定？按理說在教學(xué)中可以忽視這個環(huán)節(jié)，告訴學(xué)生這就是規(guī)定，不需要想太多，但這樣的教學(xué)不能化解學(xué)生的疑惑，反而有可能在學(xué)生的思維中形成一個障礙，影響學(xué)生對這個規(guī)律的理解. 實(shí)際上，規(guī)定的背后存在著規(guī)律，讓學(xué)生猜測也未必找不到對這個規(guī)律的理解.

于是筆者讓學(xué)生自己去猜：你覺得這樣規(guī)定的理由是什么？有學(xué)生認(rèn)為：這樣的規(guī)定沒有必要，原本就是0×0=0. 立即就有學(xué)生提出反駁：0乘任何一個數(shù)，結(jié)果都是0. 于是更多學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題：難怪要做規(guī)定呢，原來0不像其他正數(shù)一樣可以由唯一的兩個相同的數(shù)相乘得到. 接著又有學(xué)生提出：為什么不讓0的算術(shù)平方根變成0和別的任何一個正數(shù)呢？有人反駁：如果這樣的話就亂套了，而且不好計算啊！這時第一個學(xué)生理直氣壯地說：我的說法是正確的，因為一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個值，0不是正數(shù)，所以要另外規(guī)定，更重要的是，如果用0和其他數(shù)作為0的算術(shù)平方根，那不就亂套了嗎……縱觀學(xué)生的這些猜測，粗看有些雜亂，細(xì)析則發(fā)現(xiàn)每一個回答的背后都是學(xué)生依據(jù)一定的線索在判斷、推理，而“真理”也往往在這種猜測、碰撞中得到明確：為了讓平方根包含的對象更完整，又由于0的特殊性，所以必須加以規(guī)定. 盡管這樣的理解在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系中并不準(zhǔn)確，但在此時的學(xué)習(xí)中，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解而言，已經(jīng)是一個重要的補(bǔ)充了. 毫無疑問，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，這樣的猜測是有意義的.

問題解決是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中綜合運(yùn)用知識的重要過程，問題解決的最大困惑往往在于第一步，即判斷解題方向. 尤其是數(shù)學(xué)證明題，這個時候需要猜測的高度參與. 筆者以為，在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)能力的時候，充分讓學(xué)生猜測，然后判斷每種猜測可能走多遠(yuǎn)，是幫學(xué)生積累解題經(jīng)驗的重要途徑.

例如，如圖1，四邊形ABCO是正方形，連接正方形ABCO的對角線AC，OB交于點(diǎn)Q，點(diǎn)F為線段BC上一點(diǎn)，以O(shè)F為直角邊向上構(gòu)造等腰直角三角形EOF，且∠EOF=90°，EF交AC于點(diǎn)P. 若PQ=1，求CF的長.

對于這道題解題方向的確立，學(xué)生的猜測是多元的，有學(xué)生猜測通過證全等的方式進(jìn)行，但感覺PQ=1用不上;有學(xué)生猜測可能要用勾股定理去解，但無法知曉另兩條邊的長度;還有學(xué)生猜測是不是應(yīng)該借助直角坐標(biāo)系中的某些坐標(biāo)關(guān)系去求解……種種猜測不一而足，教師引導(dǎo)學(xué)生分析每一個猜測，并在逐步走入“死胡同”之后，“倒逼”學(xué)生尋找新思路，從而開拓學(xué)生的思維，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗. 如果直接講授，則肯定沒有這種效果.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透猜測需要注意的若干細(xì)節(jié)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用猜測，也有一些注意點(diǎn)：一，重視猜測但不能過度闡釋猜測，通常只需要抓住有效的猜測進(jìn)行分析即可;二，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有據(jù)猜測，不能無緣由地瞎猜，盡管我們不拒絕直覺，但其與胡思亂想還是有區(qū)別的;三，猜測需要教師的點(diǎn)評才能發(fā)揮其促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的作用，即面對學(xué)生的猜測，教師要做點(diǎn)評.

注意到上述三點(diǎn)，猜測就能發(fā)揮其正面作用，從而讓學(xué)生依靠原有認(rèn)知基礎(chǔ)，活躍自身思維，進(jìn)而為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的理解與問題解決提供鋪墊性作用. 當(dāng)然，此過程中必須認(rèn)識到的是，猜測同時也應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，學(xué)生的猜測能力越強(qiáng)，那數(shù)學(xué)理解與問題解決往往更高效，而這也是筆者研究猜測的初衷.