張瑜

[摘? 要] 數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，初中數(shù)學(xué)亦是如此. 數(shù)學(xué)模型則是這關(guān)鍵要素中的核心要素，是數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的方法和思想之一.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型;初中數(shù)學(xué);函數(shù)模型;素養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)語言描繪現(xiàn)實(shí)問題，是基于建構(gòu)主義理論的一種主動(dòng)學(xué)習(xí)過程，是將某一對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行模擬和驗(yàn)證的一種模式化思維形式. 模型的建立在初等數(shù)學(xué)中對(duì)于實(shí)際問題的解決起著關(guān)鍵作用，也是發(fā)展建立數(shù)學(xué)思維的重要方法. 數(shù)學(xué)模型包括方程模型、函數(shù)模型、不等式模型、概率模型、幾何模型等. 而數(shù)學(xué)模型從經(jīng)歷實(shí)際問題的分析、實(shí)際問題的抽象、實(shí)際問題的建模、數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用、實(shí)際問題的解決，每種模型問題有相似之處，方法與思想也萬變不離其宗. 而如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題，提煉數(shù)學(xué)思想是教師需要重點(diǎn)思考與研究的關(guān)鍵所在. 為此，本文以初三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課“圖表信息類問題”中的教學(xué)片段為例，談?wù)労瘮?shù)模型在數(shù)學(xué)中的實(shí)踐性運(yùn)用及筆者對(duì)此的一些看法.

熱點(diǎn)再練，溫故知新

圖表信息類問題是近幾年中考的熱點(diǎn)問題，在中考試卷中所占的分?jǐn)?shù)也呈現(xiàn)出逐年上升的趨勢(shì)，這種上升是基于其價(jià)值與社會(huì)需要而形成的. 因?yàn)閳D表信息類問題以圖表的形式向?qū)W生呈現(xiàn)各種問題信息，而學(xué)生需要經(jīng)歷識(shí)圖識(shí)表、圖表轉(zhuǎn)換、問題建模、公式應(yīng)用等過程，每個(gè)過程都對(duì)學(xué)生在相應(yīng)環(huán)節(jié)所需要的能力提出了較高的要求. 因此，它的出現(xiàn)有其多重身份和價(jià)值的彰顯. 為此，我們?cè)诔跞啅?fù)習(xí)中需將此作為一個(gè)獨(dú)立專題精講精練，滲透其中的函數(shù)思想，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)函數(shù)思想，提高數(shù)學(xué)能力有著積極作用. 通過熱點(diǎn)再練對(duì)已學(xué)知識(shí)的再現(xiàn)和回憶，發(fā)現(xiàn)新的問題，達(dá)到新的高度，由“溫故”而“知新”.

1. 在一次國(guó)際馬拉松比賽中，一名34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同參加了比賽，記者對(duì)兩個(gè)孩子的年齡充滿好奇，圖1是兩個(gè)孩子的對(duì)話，你能據(jù)此幫記者推算出他們的年齡嗎？

3. 桌面上有甲、乙、丙三個(gè)圓柱形的杯子，杯深均為15厘米，表1記錄了甲、乙、丙三個(gè)杯子的底面積. 甲杯中裝有10厘米高的水，今小明將甲杯內(nèi)的水倒入乙杯或丙杯，在此過程中沒有水溢出，若不計(jì)杯子厚度，則乙杯、丙杯內(nèi)的水面高度為多少厘米？（）

A. 7、8? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. 7.5、8

C. 7、6? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. 7.5、6

4. 圖3反映的是爺爺早上起床后從家出發(fā)，先去玉米地澆水，再去菜地除草，然后回家吃早餐. 若玉米地和菜地的距離為a km，爺爺在菜地除草比在玉米地澆水多用了b min，則a，b的值分別為（? ? ? ）

A. 1、8? ? ? ? ? ? ? ? ?B. 0.5、12？搖？搖？搖

C. 1、12? ? ? ? ? ? ? ?D. 0.5、8

5. 為了解某市居民晚飯后的活動(dòng)方式，調(diào)查小組設(shè)計(jì)了“閱讀”“鍛煉”“看電視”和“其他”四個(gè)選項(xiàng)，用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了該市的部分居民，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖4的統(tǒng)計(jì)圖. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息，解答下列問題：

（1）本次共調(diào)查了______名市民;

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（3）該市共有800萬市民，估計(jì)該市晚飯后鍛煉的人數(shù).

完成方式：學(xué)生獨(dú)立完成，后小組校對(duì)答案，而教師則是巡視整個(gè)課堂情況. 一是從巡視學(xué)生獨(dú)立作業(yè)的過程中，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，并鎖定解決問題的策略. 二是巡視學(xué)生小組合作交流的過程，通過私下詢問、觀察了解學(xué)生已有的思維動(dòng)態(tài)，發(fā)現(xiàn)問題、啟發(fā)問題、分析問題，并為自己如何進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的思維碰撞與融合做好充分準(zhǔn)備.

師：以上這5個(gè)問題分別代表了圖表信息哪些類型的問題呢？

生1：分別是圖片信息、圖形信息、表格信息、圖像信息、統(tǒng)計(jì)信息.

師：你歸納得非常完整. 針對(duì)這些問題，大家的解題思路是什么呢？

生2：先讀圖，再分析，接著建立數(shù)學(xué)模型，最后解決問題.

師：沒錯(cuò)，在這個(gè)過程中，讀懂題意，建立正確的數(shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵.

設(shè)計(jì)意圖? 上述5個(gè)問題幾乎囊括了初中階段圖表類問題的所有情形，題目難度不大，學(xué)生基本可以獨(dú)立解決，因此這環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)主要是讓學(xué)生對(duì)圖表類問題有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上展開難度較大的問題，滲透函數(shù)模型的用法.

典例剖析，提煉方法

二輪復(fù)習(xí)主要的目標(biāo)是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)方法，啟發(fā)學(xué)生站在更高的高度審視我們所學(xué)的內(nèi)容，并幫助學(xué)生在自己已有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)下，建構(gòu)成思路更清晰、脈絡(luò)更通暢的知識(shí)與技能網(wǎng)絡(luò). 因此，在二輪復(fù)習(xí)時(shí)的例題應(yīng)具有挑戰(zhàn)性和引領(lǐng)性，一方面是讓學(xué)生有提高的空間，讓學(xué)生的思維在訓(xùn)練中得以拓展，另一方面是這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)可以引領(lǐng)學(xué)生把關(guān)注點(diǎn)置于方法的提煉上，真正實(shí)現(xiàn)能力上的提升.

例1? 甲乙兩地相距300 km，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地. 如圖5，線段OA表示貨車離甲地的距離y（km）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，折線BCDE表示轎車離甲地的距離y（km）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）通過精準(zhǔn)讀圖，你得到了哪些信息？

（2）你可以提出哪些可供同學(xué)求解的問題？

（3）思考：這些問題的解決需要哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

完成方式：（1）以小組為單位，共同探討，（2）由小組間相互問答，（3）由師生共同總結(jié)歸納.

在問題（2）中，學(xué)生們集集體的智慧，提出并解答了如下問題：

生1：轎車多長(zhǎng)時(shí)間能追上貨車？

生2：在2.5≤x≤4.5范圍內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，兩車相距10 km？

生3：當(dāng)轎車到達(dá)目的地時(shí)，貨車離乙地有多遠(yuǎn)？

生4：求轎車的平均速度.

問題（3）師生共同總結(jié)：上述問題的解決需要用到根據(jù)實(shí)際問題結(jié)合坐標(biāo)解讀圖像的實(shí)際意義、待定系數(shù)法求解析式、函數(shù)值的求法等. 其中最主要的就是函數(shù)思想，即將實(shí)際問題抽象為函問題.

例2? 如圖6，A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AD=4 cm，AB=d cm. 動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，B出發(fā)，點(diǎn)E以1 cm/s的速度沿DA邊由D向A移動(dòng)，點(diǎn)F以1 cm/s的速度沿BC邊由B向C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng). 以EF為邊作正方形EFGH，點(diǎn)F出發(fā)x s時(shí)，正方形EFGH的面積為y cm2. 已知y與x的函數(shù)圖像是拋物線的一部分，如圖7所示. 請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）自變量x的取值范圍是______;

（2）d=_____，m=_____，n=______;

（3）求點(diǎn)F出發(fā)幾秒時(shí)，正方形EFGH的面積最大？最大面積為多少？

完成方式：學(xué)生獨(dú)立完成，后全班交流展示，師生共同歸納思想方法.

在此問題中，（1）（2）是對(duì)圖形的解讀，（3）的思路是依據(jù)函數(shù)的最值求解.

師生共同總結(jié)：解決圖表信息類問題的基本思路是讀圖→分析→建立模型→解決問題. 在這個(gè)過程中，讀圖、用圖、建模是關(guān)鍵.

設(shè)計(jì)意圖? 兩個(gè)例題分別是開放型問題和非開放型問題，開放型問題最能提高學(xué)生能力和激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力. 在二輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生已具備一定基礎(chǔ)，讓其對(duì)開放型問題進(jìn)行探究，可以將問題的容量擴(kuò)大. 用函數(shù)思想解決最值問題是初中數(shù)學(xué)中的常見題型，讓學(xué)生獨(dú)立完成更有利于其建模意識(shí)的形成.

■挑戰(zhàn)新高，提升能力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，提高解題能力的方法之一就是不斷挑戰(zhàn)更高水平層次的問題，“拔尖”也是二輪復(fù)習(xí)的重要任務(wù)之一，因此，給學(xué)生提供對(duì)應(yīng)的資源，讓學(xué)生有探索的對(duì)象，是促進(jìn)學(xué)生提升能力的有效方法.

拓展延伸：如圖8，在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2 cm/s的速度沿邊AB，BC，CD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，點(diǎn)Q從A與P同時(shí)出發(fā)，沿邊AD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）. △APQ的面積S（cm2）與t（s）之間函數(shù)關(guān)系的圖像由圖9中的曲線段OE與線段EF，F(xiàn)G給出.

（1）求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度;

（2）求圖9中線段FG的函數(shù)關(guān)系式;

（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分為1 ∶ 5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

完成方式：課上學(xué)生獨(dú)立思考，如有疑惑留至課后和同學(xué)一起交流解決問題.

設(shè)計(jì)意圖? 該題需要就動(dòng)點(diǎn)的不同位置所形成的不同問題進(jìn)行分類討論，有一定的難度，在課上留有一定的時(shí)間讓學(xué)生思考，可以培養(yǎng)他們的思維，將問題留至課后讓學(xué)生之間借助集體的智慧共同解決，有利于增強(qiáng)班級(jí)的凝聚力和學(xué)生之間形成相互學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

圖表信息類問題實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)模型思想的直接呈現(xiàn)，其中大部分問題是通過函數(shù)模型思想來解答的. 因此借助該專題，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)模型思想的認(rèn)識(shí)及用法，對(duì)進(jìn)一步體會(huì)其他類型的模型思想也有促進(jìn)作用.

“模型”對(duì)學(xué)生來說是較為抽象的概念，在實(shí)際問題中滲透模型思想的含義及用法，學(xué)生更易于接受. 函數(shù)模型是重要的數(shù)學(xué)模型之一，建立函數(shù)模型求解問題也是解決初中代數(shù)綜合問題的重要思想方法，數(shù)學(xué)模型能讓問題更簡(jiǎn)單.