郝兆寬

復(fù)旦大學(xué)哲學(xué)學(xué)院

zkhao@fudan.edu.cn

楊躍

新加坡國立大學(xué)數(shù)學(xué)系

matyangy@nus.edu.sg

本文打算討論這樣的一個(gè)問題：哥德爾所堅(jiān)持的柏拉圖主義如何影響著在他之后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究，特別是集合論的研究。一方面，將柏拉圖主義作為工作假設(shè)在很大程度上影響了集合論發(fā)展的走向，另一方面，這些研究的一些出人意料而又極具意義的重大進(jìn)展又在一定程度上為柏拉圖主義做出了有力的辯護(hù)。哲學(xué)和數(shù)學(xué)之間這樣顯明的關(guān)聯(lián)是不多見的，在我們看來對(duì)這類關(guān)聯(lián)的研究是數(shù)學(xué)哲學(xué)中最有意義的課題之一。

在討論正題之前，針對(duì)數(shù)學(xué)中的柏拉圖主義和數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的方法論問題，我們想先談一點(diǎn)看法，因?yàn)樵诂F(xiàn)有的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中，大家的出發(fā)點(diǎn)和研究問題方式是很不相同的。

首先，本文不打算就哥德爾本人的強(qiáng)實(shí)在論立場(chǎng)作深入的討論。哥德爾的柏拉圖主義，在他1944年的“羅素的數(shù)理邏輯”（[2]）中就有所顯示。在羅素篇中，哥德爾引用了羅素將邏輯學(xué)與自然科學(xué)在本體論上的類比，“邏輯學(xué)一如動(dòng)物學(xué)，它研究實(shí)在的世界，不過是研究其更抽象、更一般的特點(diǎn)而已”（[6]）；提到在認(rèn)識(shí)論上的類比，邏輯和數(shù)學(xué)的公理不必非得具有自在的顯明性不可，而是可以從如下事實(shí)獲得核證，它們的后承與數(shù)學(xué)史的發(fā)展中被發(fā)現(xiàn)為自明的東西相符合。哥德爾評(píng)論道：“這個(gè)觀點(diǎn)已然大體上為后續(xù)的發(fā)展所核證，而將來可望獲得更多的核證”。近些年集合論的發(fā)展，似乎為哥德爾的預(yù)言做了進(jìn)一步的核證。如同羅素（早期的）這種實(shí)在論觀點(diǎn)一樣，我們認(rèn)為對(duì)科學(xué)這個(gè)概念不能僅僅理解為實(shí)驗(yàn)科學(xué)或自然科學(xué)，而是要把數(shù)學(xué)這樣的以抽象概念為研究對(duì)象的科學(xué)包括在內(nèi)。因此，數(shù)學(xué)哲學(xué)與物理學(xué)哲學(xué)和生物學(xué)哲學(xué)一樣，是科學(xué)哲學(xué)這一大類中的一員，而不是分析哲學(xué)或者其他什么哲學(xué)的一個(gè)分支。

在方法論上，僅靠分析數(shù)學(xué)的語言只能把握數(shù)學(xué)思想（或是數(shù)學(xué)哲學(xué)思想）很小的一部分；而且通常是在該數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展成熟之后才可以進(jìn)行。元語言和對(duì)象語言的劃分特別能說明這一點(diǎn)。雖然，理論上我們?cè)跀?shù)學(xué)中可以使用嚴(yán)格化的形式語言作為對(duì)象語言，但是卻不可能有完全形式化的元語言。當(dāng)我們對(duì)形式化的數(shù)學(xué)做分析時(shí)，工作于其中的元理論是非形式化的，這個(gè)元理論的邊界十分模糊。雖然有哲學(xué)家認(rèn)為元理論包含了嚴(yán)格有窮的數(shù)學(xué)，但沒有證據(jù)表明，嚴(yán)格有窮的數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)的全部。即便是在形式系統(tǒng)內(nèi)部，數(shù)學(xué)家的工作也不是借助推理的規(guī)則推演出那些定理。更多的情況是通過對(duì)數(shù)學(xué)世界的某種直觀或認(rèn)知，猜想或者斷言某些事實(shí)是真的，然后再以證明的方式去驗(yàn)證。本文涉及的集合論中的一些最新的進(jìn)展特別表明了這一點(diǎn)。

在方法論的另一方面，我們認(rèn)為把數(shù)學(xué)實(shí)踐統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)到大腦神經(jīng)元的活動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究作用不大。就像物理學(xué)哲學(xué)不會(huì)把物理學(xué)家的大腦作為研究對(duì)象一樣，分析數(shù)學(xué)家的大腦也無助于數(shù)學(xué)真理的獲得。有眾多的哲學(xué)理論試圖將數(shù)學(xué)語言中有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象，特別是無窮對(duì)象的存在斷言進(jìn)行重新解釋，使其本質(zhì)上成為談?wù)撃承┯懈F的物理對(duì)象，如符號(hào)，或大腦內(nèi)部某種狀態(tài)的言語。但是，迄今為止，沒有任何哲學(xué)理論能如其聲稱的那樣完成這種解釋。盡管我們相信腦科學(xué)的發(fā)展會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)產(chǎn)生根本性的影響，但今天的腦科學(xué)知識(shí)距離分析人的思維活動(dòng)還差得很遠(yuǎn)?，F(xiàn)在就期待腦神經(jīng)科學(xué)家來給數(shù)學(xué)哲學(xué)問題提供答案是對(duì)問題的過度簡(jiǎn)化。在這種簡(jiǎn)化下，人類的所有思維，無論是物理學(xué)、數(shù)學(xué)還是文學(xué)都（在當(dāng)今的科技條件下）毫無區(qū)別。一種健全的數(shù)學(xué)哲學(xué)最起碼要與數(shù)學(xué)實(shí)踐密切相關(guān)，否則只能成為文字游戲。

抱著這樣的信念，我們就不可避免地要密切關(guān)注當(dāng)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展。任何有關(guān)哲學(xué)的論斷，都要盡可能地在已有或正在取得的數(shù)學(xué)成果中尋找相關(guān)的“證據(jù)”。這里的情形可以與物理學(xué)哲學(xué)做一個(gè)比較。一大部分的物理學(xué)哲學(xué)研究，如果不是全部的話，與近百年來物理學(xué)在一些基礎(chǔ)問題上的重要理論和進(jìn)展密切相關(guān)。但正如科納（P.Koellner）所指出的，數(shù)學(xué)哲學(xué)中絕大多數(shù)工作卻相反，它們與當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展幾乎毫無關(guān)系。（[5]）造成這種局面的原因十分復(fù)雜，不屬于本文討論的范圍。但是，十分確定的是：加強(qiáng)這個(gè)方向的研究，保持?jǐn)?shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)的最新進(jìn)展的密切聯(lián)系，應(yīng)該能期待巨大的收獲。當(dāng)然，這也不可避免地使得這類數(shù)學(xué)哲學(xué)研究更為數(shù)學(xué)化。

最后，文章中的數(shù)學(xué)定義和定理，從某種意義上，是我們?yōu)檎撟C而搜集的證據(jù)。借助這些定理，讀者可以更好地把握概念間的關(guān)系，大致看出當(dāng)今集合論發(fā)展的脈絡(luò)，從而體會(huì)出其中的哲學(xué)意蘊(yùn)。

1 獨(dú)立性現(xiàn)象與數(shù)學(xué)真理

集合論中充滿了獨(dú)立性現(xiàn)象。在這些現(xiàn)象背后的是有關(guān)集合論真理的哲學(xué)問題，即：

一個(gè)集合論語言中的語句σ是真的，這是什么意思？

有一派觀點(diǎn)認(rèn)為σ是真的當(dāng)且僅當(dāng)σ在ZFC中可證。

我的感覺是，除了那些一致性命題，ZFC窮盡了我們的直觀，所以，證明意味著在ZFC內(nèi)證明。（[7]，第3頁）

而這就意味著那些獨(dú)立于ZFC的語句沒有真假可言。

這是一個(gè)有重大影響的選擇。其中最重要的影響就是承認(rèn)CH本身是無意義的，而CH也許是我們對(duì)不可數(shù)集合所能提出的第一個(gè)重要問題。（[1]，第13頁）

這樣的立場(chǎng)被稱為“形式主義”。與之相對(duì)應(yīng)的立場(chǎng)是“柏拉圖主義”，它認(rèn)為一個(gè)集合論語句為真當(dāng)且僅當(dāng)它描述了集合宇宙中的一個(gè)客觀事實(shí)。獨(dú)立性命題產(chǎn)生的原因是我們對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)不夠完備。但這不意味著這些命題本身是沒有真假的無意義命題，相反隨著對(duì)集合宇宙認(rèn)識(shí)的不斷深入，我們最終會(huì)決定它們的真假。

……基于此處采取的立場(chǎng)，從已接受的集合論公理出發(fā)，一個(gè)有關(guān)康托猜想的不可判定性的證明（與一個(gè)對(duì)π的超越性的證明完全不同）決不是問題的解決。……集合論概念和定理描述了一個(gè)完全確定的實(shí)在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的對(duì)它的不可判定性，只能意味著這些公理沒有完備地描述那個(gè)實(shí)在。這一信念絕非空想，因?yàn)橛锌赡苤赋鲆恍┓较?，在其中能得到?duì)一些問題的判定，而這些問題對(duì)于通常的公理是不可判定的。（[4]，第260頁）

把所有獨(dú)立于ZFC的命題都看作無意義的，這種觀點(diǎn)有一個(gè)困難就是這些命題在認(rèn)識(shí)論地位上不是完全等價(jià)的。例如，有人認(rèn)為CH無意義，因?yàn)椤叭我鈱?shí)數(shù)的子集”這個(gè)概念模糊不清。但是，幾乎不會(huì)有人認(rèn)為“所有投影集都是可決定的（PD）”無意義，因?yàn)檫@其中并不涉及“任意實(shí)數(shù)子集”的概念，而只是談?wù)摿送队凹@樣的具體可定義的數(shù)學(xué)對(duì)象。但PD與CH一樣，是獨(dú)立于ZFC的。因此，武?。℉.Woodin）向形式主義提出了如下挑戰(zhàn)：

……（形式主義）這種立場(chǎng)要站得住腳，那就或者集合論中類似的不可解問題也必須被看作是無意義的，或者必須解釋為什么連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的問題是與那些問題不同的。我指的是那些描述集合論的經(jīng)典問題，它們?cè)谶B續(xù)統(tǒng)假設(shè)提出不久也被提了出來。（[8]，第29頁）

這要求人們進(jìn)一步仔細(xì)分析PD與CH：

定義1.1 無窮基數(shù)δ是武丁基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意函數(shù)f:δ→δ，存在初等嵌入

j:V→M，如果κ=crt(j)，則f[κ]?κ并且Vj(f)(κ)?M。我們用

表示全體武丁基數(shù)的類。

1985年武丁證明了以下定理：

定理1.2(武丁,1985)如果M是ZFC的傳遞模型，并且M?“W是真類”，則對(duì)任意M脫殊濾G，

定理1.3(馬丁、斯蒂爾，1985)如果存在無窮多武丁基數(shù)，則PD成立。進(jìn)而：

推論1.4對(duì)任意傳遞模型M，如果M?ZFC+“W是真類”，則對(duì)任意M脫殊濾G，都有M[G]?PD。

反觀CH，列維（Levy）和索洛維（Solovay）1967年證明了：

定理1.5(列維、索洛維，1967)令σL為任意一條已知的大基數(shù)公理，假設(shè)M是ZFC的傳遞模型并且M?σL，則存在M脫殊濾G和H，M[G]?σL+CH而M[H]?σL+?CH。

比較推論1.4和定理1.5，我們看到：在PD與CH之間確實(shí)存在著帶有根本意義的差別。與PD不同，大基數(shù)公理對(duì)CH的獨(dú)立性無能為力。這種差別是否可以幫助形式主義回應(yīng)以上挑戰(zhàn)呢？

2 多宇宙真理觀與Ω猜想

我們首先將形式主義可能的回應(yīng)嚴(yán)格描述出來，這需要一系列的定義。

定義2.1令M為ZFC的可數(shù)傳遞模型，則由M生成的脫殊多宇宙VM為滿足以下條件的最小模型類：

1.M∈VM；

2.如果N∈VM，而N′=N[G]是N的脫殊擴(kuò)張，則N′∈VM；

3.如果N∈VM，而N=N′[G]是N′的脫殊擴(kuò)張，則N′∈VM。

簡(jiǎn)單說，VM是包含M并且對(duì)脫殊擴(kuò)張和脫殊收縮封閉的最小模型類。由V生成的脫殊多宇宙記作V。

定義2.2(脫殊多宇宙的真)對(duì)任意ZFC的可數(shù)傳遞模型M，和對(duì)任意集合論語言中的語句σ，我們稱

·σ是M-脫殊多宇宙真的，當(dāng)且僅當(dāng)它在VM的每個(gè)模型中都真，記作VM?σ；

·σ是M-脫殊多宇宙假的當(dāng)且僅當(dāng)VM??σ；

·σ是M-脫殊多宇宙無意義的當(dāng)且僅當(dāng)VM/?σ并且VM/??σ。

特別地，如果σ在由V生成的脫殊多宇宙中為真，則稱σ是脫殊多宇宙真的，記作V?σ。其他概念類似。

根據(jù)推論1.4，如果VM的每個(gè)模型都滿足“W是真類”，則PD是M脫殊多宇宙真的；根據(jù)定理1.5，對(duì)任意M，CH都是脫殊多宇宙無意義的。這看起來使得脫殊多宇宙立場(chǎng)比形式主義更精致，也更合理。似乎也在一定程度上回應(yīng)了武丁的挑戰(zhàn)。但是，武丁又通過一系列的數(shù)學(xué)工作論證了脫殊多宇宙立場(chǎng)難以成立，這需要定義武丁的Ω邏輯以及Ω猜想。

回憶一下，對(duì)任給結(jié)構(gòu)A，A的理論定義為：

仿此，我們定義任意結(jié)構(gòu)A在脫殊多宇宙真理觀下的理論為：

對(duì)任意語句σ，形如“對(duì)任意無窮序數(shù)α，Vα?σ”的斷言是Π2斷言。事實(shí)上，脫殊多宇宙的真理概念只適用于Π2語句，這是因?yàn)槲覀冊(cè)诙x脫殊多宇宙真理概念時(shí)只允許使用集合力迫。令δ0是最小的武丁基數(shù)，則H(δ+0)?σ和H(δ+0)/?σ都是Π2斷言。因此，如果令

為所有Π2多宇宙真語句的集合，則在集合MΠ2中是遞歸的。但是，仿照塔斯基的真理不可定義性，相反的方向應(yīng)該不能成立，人們把它總結(jié)成：

第一多宇宙定律所有Π2多宇宙真語句的集合MΠ2在的脫殊多宇宙理論中不是遞歸的。

這一定律要求不能把整個(gè)集合宇宙中的所有Π2真理，更不必說所有真理，歸結(jié)

稱一個(gè)集合Y?Vω是借助多宇宙在中可定義的，如果Y在多宇宙模型類的每個(gè)模型中都是在中可定義的。出于同樣的哲學(xué)考量，還可以有：

第二多宇宙定律所有Π2多宇宙真語句的集合MΠ2不是借助多宇宙能在中可定義的。如果脫殊多宇宙的真理觀不能滿足以上兩條定律，那它與形式主義在根本哲學(xué)立場(chǎng)上就是一致的，即:

把整個(gè)集合宇宙的真歸結(jié)為這個(gè)宇宙的某個(gè)清晰片段的真。

形式主義者把集合宇宙的真理歸結(jié)為ZFC的定理，也就是歸結(jié)為數(shù)論中的真，而脫殊多宇宙立場(chǎng)則是把集合宇宙的（Π2）真理歸結(jié)為全體基數(shù)不超過最小武丁基數(shù)的集合。哥德爾借用他的不完全性定理，曾對(duì)形式主義的這一立場(chǎng)做過令人信服的反對(duì)。[3]）而武丁則同樣令人信服地證明，以上形式的脫殊多宇宙立場(chǎng)必然違反這兩個(gè)定律，所以與形式主義的真理觀并無根本差別。

定義2.3(武丁，1999)假設(shè)T是集合論語言中的可數(shù)理論，σ是集合論語言中的語句，我們定義σ是T的Ω-邏輯后承，記作T?Ωσ，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意完全布爾代數(shù)B，對(duì)任意序數(shù)α，如果則

定理2.4(武丁，1999)假設(shè)W是真類，并且假設(shè)T是可數(shù)理論，σ是語句，則對(duì)任意完全布爾代數(shù)B，

這就是說，假設(shè)存在武丁基數(shù)的真類，Ω-邏輯后承關(guān)系是脫殊絕對(duì)的。特別地，全體Ω-邏輯有效式的集合VΩ={σ|?Ωσ}不能被任何力迫改變。

還注意到，假設(shè)W是真類，則MΠ2與VΩ具有同樣的圖靈復(fù)雜度，即，每個(gè)集合都在另一個(gè)集合中是遞歸的。同樣，假設(shè)W是真類，則集合恰好就是

為了定義Ω邏輯的證明，我們需要回憶一些概念。一個(gè)拓?fù)淇臻g是緊致的當(dāng)且僅當(dāng)它的任意覆蓋都有有窮子覆蓋；它是豪斯道夫（Hausdorff）空間當(dāng)且僅當(dāng)它的任意兩個(gè)不同點(diǎn)都有不相交的鄰域。令S為緊致的豪斯道夫空間，稱X?S在S中有貝爾性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)存在開集O?S使得對(duì)稱差X△O在S中是貧乏集（meager set）。

定義2.5(馮琦、麥基道、武丁，1992)一個(gè)實(shí)數(shù)的子集A具有通用貝爾性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意緊致豪斯道夫空間S，任意連續(xù)映射f:S→R，A在S下的原象具有貝爾性質(zhì)。

定義2.6(武丁，1999)假設(shè)A?R具有通用貝爾性質(zhì)，M是ZFC的傳遞模型。稱M是強(qiáng)A-封閉的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意N，如果N是傳遞的且是M的脫殊擴(kuò)張，則A∩N∈N。

定義2.7(武丁，1999)假設(shè)W是真類。假設(shè)T是可數(shù)理論，σ是語句，則T?Ωσ當(dāng)且僅當(dāng)存在A?R：

1.A是通用貝爾集；

2.對(duì)任意可數(shù)傳遞模型M，若M是強(qiáng)A-封閉的且T∈M，則M?“T?Ωσ”。

定理2.8(武丁，1999)假設(shè)W是真類，并且假設(shè)T是可數(shù)理論，σ是語句，則對(duì)任意完全布爾代數(shù)B，

定理2.9(武丁，1999)假設(shè)W是真類。如果T?Ωσ，則T?Ωσ。

Ω猜想假設(shè)W是真類。對(duì)任意語句σ，?Ωσ當(dāng)且僅當(dāng)?Ωσ。

敘述了什么是Ω猜想，我們就可以回到武丁的回應(yīng)上了：

定理2.10假設(shè)W是真類且Ω猜想成立，則VΩ在集合VΩ(H(δ+0))中是遞歸的。

根絕前面的分析，這實(shí)際上是說脫殊多宇宙立場(chǎng)違反了第一多宇宙定律。而下面的定理則是說，這一立場(chǎng)同樣違反第二多宇宙定律。

定理2.11假設(shè)W是真類并且Ω猜想成立，則VΩ在集合H(δ+0)中可定義。

所以，脫殊多宇宙真理觀不過是一種更為精致的形式主義。當(dāng)然，這種站在柏拉圖主義立場(chǎng)上的挑戰(zhàn)要依賴于Ω猜想的成立與否。接下來我們討論一些更新的進(jìn)展，它們似乎在某種意義上暗示這個(gè)猜想是真的。

3 終極L理論

Ω猜想如果不成立，那一定是因?yàn)槟硞€(gè)大基數(shù)公理，而且這個(gè)大基數(shù)公理超出了現(xiàn)有內(nèi)模型計(jì)劃。所謂“內(nèi)模型計(jì)劃”指的是構(gòu)造一個(gè)類似于L的模型，在其中某個(gè)大基數(shù)公理成立。這項(xiàng)研究計(jì)劃的動(dòng)機(jī)源自于斯科特（D.Scott）的以下定理：

定理3.1(斯科特，1961)假設(shè)存在一個(gè)可測(cè)基數(shù)，則V/=L。

也就是說，哥德爾的L不能容納可測(cè)基數(shù)，當(dāng)然也不能容納更大的基數(shù)。所以，這樣的問題自然就被提了出來：

是否存在一個(gè)類似于L的模型，它能容納可測(cè)基數(shù)或更大的基數(shù)？

很快，庫能（K.Kunen）證明了

定理3.2(庫能，1970)假設(shè)U是κ上的κ完全的正則非主超濾，則在L[U]中，κ是一個(gè)可測(cè)基數(shù)，并且是唯一的可測(cè)基數(shù)。

這實(shí)際地開啟了內(nèi)模型的研究計(jì)劃，并且在隨后的年代里，這個(gè)計(jì)劃取得了相當(dāng)?shù)某晒?。目前人們已?jīng)能夠構(gòu)造可以容納強(qiáng)基數(shù)的內(nèi)模型。

但是，Ω猜想與已有的具有內(nèi)模型的大基數(shù)都是相容的，所以要證明它不成立，我們需要容納更大無窮的內(nèi)模型。不唯如此，能證明Ω猜想不成立的大基數(shù)公理一定在大基數(shù)層譜中處于一個(gè)十分關(guān)鍵的位置，這一位置必定會(huì)有“來自內(nèi)模型理論的證據(jù)”。（參見[9]）

另一方面，如果Ω猜想在所有已知的大基數(shù)公理下都成立，那就是Ω猜想在V中成立的強(qiáng)烈依據(jù)。而武丁有關(guān)終極L的研究表明，所有的證據(jù)都顯示，沒有任何已知的大基數(shù)公理會(huì)否證Ω猜想。我們以下簡(jiǎn)述這一重要的思想。（在以下的討論中，所有未注明的定理和定義都屬于武丁。）

如果存在可測(cè)基數(shù)，則V/=L，所以L雖然具有很好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，并且V=L可以解決包括CH在內(nèi)的獨(dú)立性問題，但它不可能是新公理的候選，L與V相差太遠(yuǎn)了。庫能的L[U]可以容納可測(cè)基數(shù)，在這個(gè)意義上比L更接近V。但是，L[U]中只有一個(gè)可測(cè)基數(shù)，它甚至不能容納第二個(gè)可測(cè)基數(shù)，更不必說更大的基數(shù)了。所以，最終的任務(wù)就成了構(gòu)造一個(gè)可以容納所有大基數(shù)的類L結(jié)構(gòu)，人們將這樣的結(jié)構(gòu)稱為“終極L”。這看起來是不能完成的任務(wù)，因?yàn)樵跇?gòu)造容納大基數(shù)的內(nèi)模型的過程中，人們發(fā)現(xiàn)每向上一步，都只能得到僅僅包含一個(gè)相應(yīng)大基數(shù)的模型，要想容納所有的大基數(shù)，我們有無窮多個(gè)內(nèi)模型需要構(gòu)造。但是，武丁的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)徹底改變了這種情形，這又需要一些新的數(shù)學(xué)定義：

定義3.3假設(shè)N是一個(gè)ZFC的模型，δ是一個(gè)超緊基數(shù)，如果對(duì)任意λ＞δ，存在Pδ(λ)一個(gè)δ-完全的正則精良超濾U滿足：

(1)Pδ(λ)∩N∈U；

(2)U∩N∈N，

就稱N是關(guān)于δ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型（weak extender model）。

弱擴(kuò)張子模型之所以重要，是因?yàn)樗形覀冃枰男再|(zhì)。首先，它十分接近V。就我們目前的問題而言，這意味著它有正確的基數(shù)概念。

定理3.4假設(shè)N是關(guān)于δ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型，并且在N中，λ＞δ是正則基數(shù)，則在V中，cf(λ)=|λ|。特別地，如果λ在V中依然是基數(shù)，則它在V中是正則的。

推論3.5假設(shè)N是關(guān)于δ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型，并且在V中，γ＞δ是奇異基數(shù)，則

(1)λ在N中是奇異基數(shù)；

(2)(γ+)N=γ+，即N能正確地計(jì)算奇異基數(shù)的后繼。

不僅如此，與以往的內(nèi)模型不同，弱擴(kuò)張子模型可以容納任意多的可測(cè)基數(shù)。

推論3.6假設(shè)N是關(guān)于δ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型，并且在V中，κ＞δ是奇異基數(shù)，則κ在N中是可測(cè)基數(shù)。

事實(shí)上，弱擴(kuò)張子模型可以容納δ以上的所有大基數(shù)！

定理3.7(普遍性)假設(shè)N是關(guān)于δ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型，并且在V中，γ＞δ是正則基數(shù)，并且

是一個(gè)初等嵌入，并且crt(π)＞δ，則π∈N。

也就是說，V中δ以上的大基數(shù)都在N中保持為δ以上的大基數(shù)。這不能不說是一個(gè)令人驚奇的結(jié)果。

但是，弱擴(kuò)張子模型是否存在呢？到目前為止它只是一個(gè)抽象的概念。但有一些數(shù)學(xué)“證據(jù)”暗示其存在。

定理3.8(詹森，1974)L或者非常接近V或者離V很遠(yuǎn)。即以下二者必居其一：

(1)對(duì)任意V中的奇異基數(shù)γ，γ在L中是奇異基數(shù)，并且(γ+)L=γ+；（L非常接近V。）

(2)每個(gè)不可數(shù)基數(shù)在L中都是不可達(dá)的。（L與V相差很遠(yuǎn)。）

武丁則得到了關(guān)于HOD的類似結(jié)果。

定理3.9假設(shè)κ是可擴(kuò)張基數(shù)，則HOD或者非常接近V，或者（在κ以上）離V很遠(yuǎn)。即以下二者必居其一：

(1)對(duì)任意V中的奇異基數(shù)γ，γ在HOD中是奇異基數(shù)，并且(γ+)HOD=γ+；

(2)所有大于κ的正則基數(shù)在HOD中都是ω-強(qiáng)可測(cè)基數(shù)。

假設(shè)存在可擴(kuò)張基數(shù)，則無論哪種情況成立，HOD中都存在一個(gè)可測(cè)基數(shù)。因?yàn)槿绻?1)成立，則HOD是κ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型，κ顯然是HOD中的可測(cè)基數(shù)。而如果(2)成立，則更是顯然。

HOD猜想HOD接近V，或者說，在ZFC內(nèi)可以證明：在HOD中，{δ|δ是正則基數(shù)

但不是ω-可測(cè)基數(shù)}是一個(gè)真類。

如果HOD猜想成立，則HOD是一個(gè)弱擴(kuò)張子模型，反之亦然。

定理3.10假設(shè)κ是一個(gè)可擴(kuò)張基數(shù)，則以下命題等價(jià)：

1.HOD猜想成立；

2.HOD是κ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型。

那么，HOD猜想是否成立呢？它會(huì)不會(huì)像CH本身一樣是獨(dú)立的呢？從目前的證據(jù)來看，這似乎不可能。因?yàn)槲涠∽C明，HOD猜想是脫殊絕對(duì)的：如果HOD猜想在V中成立，則它在V的所有脫殊擴(kuò)張中都成立。所以不可能用力迫法證明HOD猜想的獨(dú)立性，而力迫法又幾乎是唯一證明獨(dú)立性的手段。

還有一些支持HOD猜想的證據(jù)，目前已經(jīng)知道的是以下這點(diǎn)與ZFC一致：ω1和ω2在HOD中是ω-強(qiáng)可測(cè)基數(shù)。但是，我們甚至不知道HOD中是否能夠容納4個(gè)ω-強(qiáng)可測(cè)的正則基數(shù)；也不知道對(duì)任意奇異基數(shù)γ，γ+是否是HOD中的ω-強(qiáng)可測(cè)基數(shù)；更不知道是否存在超緊基數(shù)以上的ω-強(qiáng)可測(cè)的正則基數(shù)。

如果HOD猜想成立，則HOD包含了一個(gè)弱擴(kuò)張子模型，而這樣的模型可容納所有已知的大基數(shù)，因此是某種意義上的“終極L”模型。武丁還提出了這樣一種設(shè)想，即，在不知道如何構(gòu)造“終極L”的情況下，我們?nèi)钥梢詳⑹龉恚骸癡=終極L”。

V=終極L公理公理“V=終極L”包括以下命題：

(1)存在武丁基數(shù)的真類W；

(2)對(duì)任意Σ3-語句φ，若φ在V中成立，則存在一個(gè)通用貝爾集A?R，使得

終極L猜想假設(shè)κ是可擴(kuò)張基數(shù)，則存在模型N滿足：

(1)N是κ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張子模型；

(2)N?HOD；

(3)N|=“V=終極L”。

定理3.11假設(shè)終極L猜想成立，則：

1.CH成立；

2.V=HOD；

3.Ω猜想成立。

這樣，我們可以合理地認(rèn)為，如果終極L猜想成立，那它一定會(huì)在兩個(gè)方向上為數(shù)學(xué)中的柏拉圖主義辯護(hù)。首先，它證明Ω猜想成立，而根據(jù)第二節(jié)的分析，這從根本上拒絕了多宇宙的真理觀。因?yàn)?，在Ω猜想成立的情況下，脫殊多宇宙真就可歸結(jié)為中的真，這本質(zhì)上與形式主義將真歸結(jié)為在ZFC中可證是一樣的。正如我們已經(jīng)指出的，這種對(duì)真理的看法無法說明這樣的問題：為何一些獨(dú)立性命題是無意義的而另一些不是？

其次，如果終極L存在，那ZFC的眾多模型中就有一個(gè)非常特殊的。它不僅可以容納所有已知的大基數(shù)，而且具有很好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)從而解決所有的自然的獨(dú)立性問題。同時(shí)，在“終極L中為真”對(duì)于集合力迫又是免疫的，從而不能用通常的力迫證明其獨(dú)立性。終極L的這種特殊性自然需要哲學(xué)上的解釋。武丁多次強(qiáng)調(diào)，這種特殊性源自它十分接近V，那個(gè)真實(shí)的集合論宇宙。除了這種柏拉圖主義的解釋，我們暫時(shí)看不到任何其他的哲學(xué)立場(chǎng)能夠做到這一點(diǎn)。

[1]P.Cohen,1970,“Commentsonthefoundationsofsettheory”,inD.Scott(ed.),AxiomaticSetTheory,pp.9-16,Proceedings of the Symposiumin Pure Mathematicsofthe AmericanMathematical Society.

[2]K.G?del,1990,“Russell’s mathematical logic”,Collected Works,II:264-270.

[3]K.G?del,1990,“Some basic theorems on the foundation of mathematics and their implications”,Collected Works,II:304-323.

[4]K.G?del,1990,“What is Cantor’s continuum problem?”,Collected Works,II:264-270.

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[8]W.H.Woodin,2004,“Set theory after russell:The journey back to Eden”,in G.Link(ed.),pp.29-48.

[9]W.H.Woodin,2010,“The continuum hypothesis,the generic-multiverse of sets,and the Ω conjecture”,in J.Kennedy and R.Kossak(eds.),Set Theory,Arithmetic and Foundations of Mathematics:Theorems,Philosophies,pp.13-42.