■山東東營勝利第十三中學 張魯豫

概率統(tǒng)計求解中的“多種思維方法”

■山東東營勝利第十三中學 張魯豫

本文對概率統(tǒng)計中某些經(jīng)典試題進行多方位的審視,探究多種求解思維方法,希望能幫助同學們提高數(shù)據(jù)處理能力,以及應用計數(shù)方法和概率模型求解實際應用問題的能力。

一、統(tǒng)計圖表應用中的“多種思維方法”

例1 如圖1所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位:件)。若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為( )。

圖1

A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7

解法1：借助兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)利用選擇支去驗證。對于選項A,由題意,甲組數(shù)據(jù)為5 6,6 2,6 5,7 0+3,7 4,乙組數(shù)據(jù)為5 9,6 1,6 7,6 0+5,7 8。要使兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且為6 5,此時平均數(shù)相同,則故選A。

解法2：理解莖葉圖表示的數(shù)據(jù),構(gòu)建方程組求解,由題意,甲組數(shù)據(jù)為5 6,6 2,6 5,7 0+x,7 4,乙組數(shù)據(jù)為5 9,6 1,6 7,6 0+y,7 8。要使兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,有6 5=6 0+y,所以y=5。又因為兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同,所以解得x=3。故選A。

品味：莖葉圖是一種將樣本數(shù)據(jù)有條理地列出來,從中觀察樣本分布情況的圖。在莖葉圖中,“莖”表示數(shù)的高位部分,“葉”表示數(shù)的低位部分。從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù),沒有任何信息損失,且莖葉圖便于記錄和表示。

二、古典概型求解中的“多種思維方法”

例2 分別從寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( )。

表1

由表1知總計有2 5種情況,滿足橫坐標大于縱坐標的點的有1 0種,所以所求概率為P(A)

解法2：(基本事件空間法)容易知道,基本事件總數(shù)n=5×5=2 5,抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2)(5,3),(5,4),共1 0個基本事件,所以抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

解法3：(分類討論)根據(jù)題意,抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的情況有以下四種:(1)第一張抽到2,第二張抽到1,概率(2)第一張抽到3,第二張抽到1或2,概率

品味：構(gòu)建古典概型求概率,正確找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)n(A)和試驗中基本事件的總數(shù)n(Ω),代入公式可。明確所求事件本身含義,利用枚舉法、樹狀圖法和列表法計數(shù),或構(gòu)建基本事件空間計數(shù),利用對立事件簡化計數(shù)是求解的關(guān)鍵。有時還可以借助互斥事件分類計算概率。

三、隨機變量分布列和期望求解中的“多種思維方法”

例3 (2 0 1 7屆黑龍江省哈爾濱市高三二模)近年來,空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題,空氣質(zhì)量指數(shù)(A i rQ u a l i t y I n d e x,簡稱AQ I)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQ I的大小分為六級:0～5 0為優(yōu);5 1～1 0 0為良;1 0 1～1 5 0為輕度污染;1 5 1～2 0 0為中度污染;2 0 1～3 0 0為重度污染;大于3 0 0為嚴重污染。環(huán)保部門記錄了2 0 1 7年某月(這個月按3 0天計算)哈爾濱市1 0天的AQ I的莖葉圖,如圖2所示。

圖2

(1)利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(A Q I≤1 0 0)的天數(shù);

(2)現(xiàn)工作人員從這1 0天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機抽取2天進行某項研究,求抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率;

(3)將頻率視為概率,從本月中隨機抽取3天,記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學期望。

解析：(1)由莖葉圖知空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2,空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4,故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為,從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)3 0×

(2)解法1:利用對立事件間接法求概率。由題意可知,1 0天中有6天是優(yōu)良,其中2天優(yōu),所以

解法2:利用互斥事件直接分類求概率。由題意可知,1 0天中有6天是優(yōu)良,其中2天優(yōu),所以

(3)解法1:離散型隨機變量確定分布列求期望。由(1)估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,則故ξ的分布列為表2。

表2

解法2:構(gòu)建二項分布模型簡化求分布列和期望。由(1)估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為故ξ的分布列為表3。

表3

品味：概率計算中常?？梢越柚コ馐录苯臃诸惢蚶脤α⑹录喕蠼?對于特殊的離散型隨機變量的概率分布列和期望,可以構(gòu)建幾何分布或二項分布模型簡化求解,還可以確定離散型隨機變量的取值求概率,構(gòu)建分布列進而用公式求期望。

(責任編輯 王福華)