劉 成，李 芳

(1. 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094；2. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)，北京 100012)

1 概 述

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)定位誤差σu通常由精度因子(Dilution of Precision, DOP)及用戶等效偽距誤差(User Equivalent Range Error, UERE)共同刻畫(huà)，即[1-3]：

σu=DOP·σUERE，

(1)

對(duì)于某一顆給定衛(wèi)星而言，用戶等效偽距誤差被視為與該衛(wèi)星相關(guān)聯(lián)的各個(gè)誤差源產(chǎn)生影響的(統(tǒng)計(jì))和，包括偽距測(cè)量誤差、大氣時(shí)延誤差、衛(wèi)星原子鐘鐘差及衛(wèi)星軌道誤差等。

在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)建設(shè)與發(fā)展過(guò)程中，上述誤差評(píng)估方法發(fā)揮了重要的作用。它不僅是星座系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，也是用戶進(jìn)行星座優(yōu)選及定位精度預(yù)測(cè)和分析的重要指標(biāo)。根據(jù)精度因子參數(shù)類(lèi)型的不同，用戶能夠快速對(duì)各不同坐標(biāo)方向上的未知量以及接收機(jī)鐘差進(jìn)行解算精度評(píng)估。

其次，在各類(lèi)定位誤差源中，偽距測(cè)量誤差、大氣時(shí)延誤差及衛(wèi)星原子鐘鐘差等屬于一維矢量，即衛(wèi)星至用戶視線方向上的誤差，因而可以輕易將其換算至用戶等效偽距誤差中。然而，衛(wèi)星軌道誤差(一般認(rèn)為是衛(wèi)星廣播星歷誤差)屬于三維方向的誤差量，難以直接換算至用戶等效偽距誤差。為此，為評(píng)估衛(wèi)星軌道誤差對(duì)定位精度的影響，一般需將衛(wèi)星廣播星歷誤差從地心地固坐標(biāo)系(Earth-Centered Earth Fixed, ECEF)轉(zhuǎn)換至該時(shí)刻的軌道坐標(biāo)系下，得到衛(wèi)星軌道位置在徑向(R)、橫向(T)和法向(N)上的偏差[4-8]。在此基礎(chǔ)上，認(rèn)為徑向軌道誤差對(duì)用戶定位精度的影響最大，再利用相關(guān)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c參數(shù)計(jì)算得到衛(wèi)星用戶等效偽距誤差值，并納入用戶等效偽距誤差進(jìn)行綜合考量[9-10]。對(duì)于我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Beidou Navigation Satellite System, BDS)等由混合星座構(gòu)成的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)而言，還需要對(duì)中地球軌道(Medium Earth Orbit, MEO)、地球同步軌道(Geosynchronous Orbit, GEO)及傾斜地球同步軌道(Inclined Geosynchronous Satellite Orbit, IGSO)等不同軌道類(lèi)型的衛(wèi)星采用不同的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，這增加了精度分析與評(píng)估過(guò)程的困難和繁瑣性。

為此，本文提出采用矩陣攝動(dòng)數(shù)學(xué)理論研究和分析衛(wèi)星軌道誤差對(duì)定位觀測(cè)方程組解的影響，并利用基于譜范數(shù)的條件數(shù)對(duì)測(cè)量方程組的形態(tài)進(jìn)行刻畫(huà)(實(shí)際上，精度因子的數(shù)學(xué)本質(zhì)也即為矩陣范數(shù)中的Frobenius范數(shù))。仿真計(jì)算結(jié)果表明，基于矩陣攝動(dòng)理論能夠直接反映衛(wèi)星軌道誤差對(duì)定位精度的影響，無(wú)需進(jìn)行等效偽距誤差轉(zhuǎn)換，從而能夠更加直接和準(zhǔn)確地研究定位方程組性能及其解的誤差，以及衛(wèi)星軌道誤差對(duì)定位解精度的影響。

2 觀測(cè)方程與誤差方程

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)單點(diǎn)定位解的線性方程組矩陣形式可表示為

HΔX=Δρ，

(2)

其中，H為方向余弦矩陣：

(3)

其中，cosαi，cosβi和cosγi(i=1, 2, …,n)分別為用戶估計(jì)位置指向第i顆衛(wèi)星的單位矢量方向余弦。

ΔX為近似解與真解之間的改正向量：

(4)

Δρ為由用戶估計(jì)位置和鐘差估計(jì)值計(jì)算得到的幾何距離與觀測(cè)偽距之差：

(5)

當(dāng)n= 4時(shí)，(2)式為正定方程。其解為

ΔX=H-1Δρ.

(6)

當(dāng)n> 4時(shí)，(2)式為超定方程。采用最小二乘法獲得冗余解：

ΔX=(HTH)-1HTΔρ.

(7)

根據(jù)文[1-3]中對(duì)最小二乘解算值協(xié)方差矩陣的推導(dǎo)，可得用戶坐標(biāo)位置誤差的協(xié)方差為

(8)

其中，E為期望算子；σu為用戶位置誤差均方差；Δρ為偽距觀測(cè)誤差向量；n為觀測(cè)衛(wèi)星數(shù)量。

在上述推導(dǎo)過(guò)程中，曾假設(shè)系統(tǒng)矩陣H無(wú)隨機(jī)分量，因此可被移到期望算子之外。再進(jìn)一步假設(shè)所有的用戶等效偽距誤差均有相同的方差σρ，且是互不相關(guān)的零均值，則(8)式中的期望算子可簡(jiǎn)化為

(9)

其中，I為4 × 4的單位矩陣。于是，(8)式中的兩個(gè)方程可簡(jiǎn)化為

(10)

其中，(HTH)-1為用戶等效偽距誤差換算至用戶位置誤差時(shí)的誤差放大因子，它與用戶至衛(wèi)星的單位矢量所勾勒的立體體積成反比。

根據(jù)用戶所在坐標(biāo)參考系的不同，精度因子可以表征不同方向上的位置誤差。當(dāng)用戶位于用戶等效偽距誤差坐標(biāo)系時(shí)，其實(shí)際含義為

(11)

其對(duì)角線元素的平方根分別對(duì)應(yīng)三維方向坐標(biāo)位置及接收機(jī)鐘差的誤差放大因子。

由于在精度因子的推導(dǎo)過(guò)程中，曾假設(shè)系數(shù)矩陣H無(wú)隨機(jī)分量，所以(11)式中矩陣(HTH)-1的協(xié)方差矩陣也被認(rèn)為是零值。由此可以發(fā)現(xiàn)，精度因子的定義與矩陣范數(shù)中的Frobenius范數(shù)(即F-范數(shù)，矩陣中各元素平方和的平方根)一致，其數(shù)學(xué)本質(zhì)即為矩陣F-范數(shù)。這也說(shuō)明，可以利用矩陣范數(shù)攝動(dòng)理論進(jìn)一步開(kāi)展對(duì)測(cè)量方程組定位誤差解的深入研究。

3 軌道誤差攝動(dòng)分析方法

從以上誤差方程推導(dǎo)可知，基于精度因子的分析方法對(duì)測(cè)量值的誤差統(tǒng)計(jì)情況及系數(shù)矩陣H的隨機(jī)分量情況均做了條件假設(shè)(假設(shè)測(cè)量值誤差均符合高斯分布且相互獨(dú)立，系統(tǒng)矩陣H無(wú)隨機(jī)分量)。而在實(shí)際情況下，衛(wèi)星導(dǎo)航定位的過(guò)程很難符合上述理想條件。相較之下，基于范數(shù)概念的攝動(dòng)分析理論可對(duì)測(cè)量方程組的實(shí)際形態(tài)進(jìn)行研究，并對(duì)衛(wèi)星軌道誤差的影響程度進(jìn)行更加直接和真實(shí)的評(píng)估。

當(dāng)考察衛(wèi)星軌道誤差對(duì)定位解的影響時(shí)，認(rèn)為對(duì)方程組左端系數(shù)矩陣H帶來(lái)攝動(dòng)誤差δH，并給坐標(biāo)及鐘差未知數(shù)向量ΔX造成攝動(dòng)δX。即有

(H+δH)(ΔX+δX)=Δρ，

(12)

可以證明， 由于矩陣H非奇異，而由衛(wèi)星軌道誤差等造成的攝動(dòng)誤差δH甚小，故矩陣H+δH仍然可以保持它的非奇異性。因此，將(12)式減去(2)式可得：

δX=-(H-1δHΔX+H-1δHδX)，

(13)

從而，對(duì)(12)式左右兩端進(jìn)行范數(shù)表達(dá)可得：

‖δX‖≤‖H-1‖‖δH‖‖ΔX‖+‖H-1‖‖δH‖‖δX‖，

(14)

進(jìn)一步地有

(15)

這里，‖H‖‖H-1‖是誤差放大率，即解的相對(duì)誤差為測(cè)量數(shù)據(jù)相對(duì)誤差的‖H‖‖H-1‖倍?！琀‖‖H-1‖又稱為矩陣的條件數(shù)，記為

cond(H)=‖H‖‖H-1‖，

(16)

因此，(15)式可記為

(17)

由于‖δH‖相對(duì)‖H‖而言一般已經(jīng)充分小，因此(17)式通常可以近似為

(18)

這說(shuō)明當(dāng)H具有擾動(dòng)δH時(shí)，引起的解的相對(duì)誤差不超過(guò)H的相對(duì)誤差的cond(H)倍[11-14]。

從上述分析可以看出，當(dāng)方程組中的H具有擾動(dòng)誤差時(shí)，方程組解的誤差可以由條件數(shù)cond(H)決定，其作用可視為誤差傳遞的放大因子，起到類(lèi)似于精度因子的作用。條件數(shù)與所取的矩陣范數(shù)有關(guān)，數(shù)學(xué)上一般采用譜范數(shù)(即2-范數(shù))進(jìn)行表征：

(19)

此時(shí)，cond(H)又稱為矩陣的譜條件數(shù)[11-12,14]。

條件數(shù)cond(H)同時(shí)刻畫(huà)了方程組的形態(tài)，反映了方程組解對(duì)誤差的敏感程度。當(dāng)cond(H)相對(duì)較大時(shí)，稱測(cè)量方程組為病態(tài)方程；當(dāng)cond(H)相對(duì)較小時(shí)，則稱為良態(tài)方程。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為分析和驗(yàn)證基于范數(shù)的攝動(dòng)分析方法的可行性，采用了實(shí)測(cè)與仿真相結(jié)合的方法。首先，利用全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)接收機(jī)在某一已知坐標(biāo)的固定位置測(cè)量了一段歷元時(shí)長(zhǎng)的全球定位系統(tǒng)衛(wèi)星軌道坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并且為了便于分離和控制誤差，仿真生成了對(duì)應(yīng)的全球定位系統(tǒng)偽距數(shù)據(jù)，其中含有1σ=3 m的偽距誤差。其次，為考察衛(wèi)星軌道誤差對(duì)定位精度的影響，在衛(wèi)星位置的X、Y、Z三維坐標(biāo)方向又分別生成和添加了1σ=3 m的軌道坐標(biāo)均方誤差(因此軌道的三維誤差為1σ=5.196 m)。通過(guò)計(jì)算添加軌道誤差前后的定位結(jié)果，得到由衛(wèi)星軌道誤差造成的實(shí)際解算誤差，并與基于范數(shù)的攝動(dòng)分析方法估計(jì)得到的誤差進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1。

圖1 攝動(dòng)分析方法誤差估計(jì)值與實(shí)際解算誤差值對(duì)比
Fig.1 Comparison between the estimated error by perturbation analysis and the actual calculated error

可以看出，基于矩陣范數(shù)攝動(dòng)分析理論，能夠不依賴誤差分布假設(shè)條件，不通過(guò)軌道坐標(biāo)分解與轉(zhuǎn)換，直接評(píng)估和分析衛(wèi)星軌道誤差對(duì)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位解的影響。并且，由范數(shù)攝動(dòng)分析方法計(jì)算得到的誤差上限均恰好位于實(shí)際解算誤差之上，兩者吻合情況良好(之間差異保持在數(shù)米以內(nèi))，說(shuō)明范數(shù)攝動(dòng)分析方法能夠準(zhǔn)確、可靠地對(duì)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位解算誤差情況進(jìn)行刻畫(huà)和評(píng)估。

5 總 結(jié)

基于精度因子與用戶等效偽距誤差的精度表征方法在星座優(yōu)選、定位精度預(yù)測(cè)與分析等方面發(fā)揮了重要作用。但是，精度因子與用戶等效偽距誤差的精度表征公式基于若干假設(shè)條件推導(dǎo)得到，因此嚴(yán)格意義上只能作為近似評(píng)估手段，在理論上仍欠嚴(yán)謹(jǐn)。同時(shí)，將所有定位誤差源折算至用戶等效偽距誤差概念中進(jìn)行評(píng)估，也為衛(wèi)星軌道誤差對(duì)用戶定位精度影響的評(píng)估工作帶來(lái)了一定的困難，增加了評(píng)估過(guò)程的繁瑣性。

本文提出基于范數(shù)數(shù)學(xué)概念，采用矩陣攝動(dòng)分析方法對(duì)衛(wèi)星軌道誤差影響進(jìn)行研究，提供了一種新的理論和實(shí)用方法，以豐富和彌補(bǔ)傳統(tǒng)的基于精度因子與用戶等效偽距誤差的精度表征方法。當(dāng)已知衛(wèi)星軌道誤差先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息時(shí)，即可利用本方法對(duì)衛(wèi)星軌道誤差影響程度進(jìn)行預(yù)測(cè)和評(píng)估，或在利用事后精密星歷計(jì)算得到真實(shí)衛(wèi)星軌道誤差后，對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)星座性能進(jìn)行更加準(zhǔn)確和便捷的分析。該方法能夠避免對(duì)測(cè)量值誤差統(tǒng)計(jì)情況及觀測(cè)方程組系數(shù)矩陣隨機(jī)分量情況的條件假設(shè)，無(wú)需進(jìn)行衛(wèi)星軌道誤差的解析與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，并且不依賴統(tǒng)計(jì)意義，能夠?qū)未味ㄎ唤獾恼`差攝動(dòng)進(jìn)行細(xì)致描述。因此，能夠更加全面和直接地評(píng)估與分析衛(wèi)星軌道誤差對(duì)用戶定位精度的影響。仿真實(shí)驗(yàn)與分析表明，基于矩陣范數(shù)的攝動(dòng)分析方法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔，評(píng)估結(jié)果準(zhǔn)確可靠，具有理論意義與應(yīng)用價(jià)值。

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