和陽，王蓉華，徐曉嶺

（1.上海師范大學數(shù)理學院 上海 200234；

2.上海對外經(jīng)貿(mào)大學統(tǒng)計與信息學院 上海 201620）

0 引言

Abd Ellah，A H在文獻 [1]中將Lomax分布稱為第二型的Pareto分布，該分布的失效函數(shù)具有單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的性質(zhì)，在分析醫(yī)學、生物科學和工程科學等方面有重要的貢獻。關(guān)于該分布的統(tǒng)計推斷理論引起了很多統(tǒng)計學者的興趣，并在此之前做了大量的相關(guān)研究工作。例如：文獻 [2]研究了損傷失效率下兩參數(shù)Lomax分布在步進應(yīng)力加速壽試驗下參數(shù)的極大似然估計和近似區(qū)間估計；文獻 [3]研究了在累積損傷模型下兩參數(shù)Lomax分布產(chǎn)品在序進應(yīng)力加速壽命試驗下參數(shù)的極大似然估計和近似區(qū)間估計；文獻 [4]在熵損失下，已知兩參數(shù)Lomax分布中的尺度參數(shù)時，得到了形狀參數(shù)的Bayes估計；文獻 [5]在研究了在累積損傷模型下，Lomax分布在簡單步進應(yīng)力加速壽命試驗下參數(shù)的極大似然估計，同時還討論了參數(shù)的漸進方差-協(xié)方差矩陣，給出了基于漸進正態(tài)性的近似區(qū)間估計，通過似然比的方法得到了參數(shù)的假設(shè)檢驗；文獻 [6]討論了在Linex損失函數(shù)下，Lomax分布中形狀參數(shù)的E-Bayes點估計，運用Monte Carlo方法模擬數(shù)據(jù)，比較了不同的估計值；文獻 [7]討論了Lomax分布的參數(shù)的區(qū)間估計和對應(yīng)的假設(shè)檢驗；文獻 [8]討論了服從Lomax分布的產(chǎn)品的次序失效時間的性質(zhì)和漸進分布；文獻 [9]討論了在Linex損失函數(shù)下，Lomax分布中已知尺度參數(shù)的前提條件下，形狀參數(shù)的Bayes估計和多層Bayes估計。本文討論了累積損傷模型下，Lomax分布在序進—恒定應(yīng)力 （V1=0）加速壽命試驗的失效模式以及參數(shù)的極大似然估計和近似區(qū)間估計。

設(shè)某產(chǎn)品的壽命T服從Lomax分布，其分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為：

式（1）-（2）中：β——尺度參數(shù)；

λ——形狀參數(shù)。

1 逆冪律模型、Nelson假定和漸進正態(tài)性

逆冪律模型是指在加速壽命試驗過程中，以電壓作為加速應(yīng)力時，根據(jù)物理原理和試驗的經(jīng)驗總結(jié)，發(fā)現(xiàn)有些產(chǎn)品 （例如：絕緣材料、電容器、微型電機和某些電子器件等）的刻度參數(shù)β（單位：h）和電壓 （單位：V）之間有如下關(guān)系 （稱為逆冪律關(guān)系）：

式（3）中：d、c——常數(shù)，且d＞0，c＞0。

當產(chǎn)品是電子元器件時，物理實驗表明c僅與元器件的類型有關(guān)，而與其規(guī)格無關(guān)。

對上式兩邊同時取對數(shù)后可得，β滿足對數(shù)線性關(guān)系：

其中，a=-lnd，b=-c，φ（V）=lnV是應(yīng)力V的函數(shù)。

關(guān)于步進應(yīng)力或序進應(yīng)力加速壽命試驗的統(tǒng)計分析大多是建立在Nelson假定 （簡稱CE模型）基礎(chǔ)上的。

Nelson假定[11]：產(chǎn)品的殘余壽命僅依賴于當時已積累失效的部分和當時的應(yīng)力水平， 而與積累方式無關(guān)。

Nelson假定其實就是一種 “時間折算”，即如果持續(xù)在一個恒定應(yīng)力下，未失效的產(chǎn)品會根據(jù)該應(yīng)力下的分布函數(shù)來失效， 但是要從以前累積失效的部分開始算起。

設(shè)在恒定應(yīng)力Vi，i=1，2下產(chǎn)品的壽命Ti服從Lomax分布，其分布函數(shù)為：

由Nelson假定知：

即

上式可以解釋為：產(chǎn)品在恒定加速應(yīng)力V2下工作t2時間，相當于在恒定加速應(yīng)力V1下工作t1=時間。

定理[12]：假設(shè)Θ為開區(qū)間，概率密度函數(shù)f（x； θ）， θ∈Θ滿足以下條件。

1） 在參數(shù)真值 θ0的領(lǐng)域內(nèi)，對所有的t都存在；

2）在參數(shù)真值θ0的領(lǐng)域內(nèi)H （t）， 且 EH （t） ＜∞；

3）在參數(shù)真值θ0處，

其中，撇號表示對θ的微分，記θ?n為n→∞時似然方程的相合解，則：

2 Lomax分布的產(chǎn)品在序進-恒定應(yīng)力加速壽命試驗下的失效模式

考慮序進-恒定應(yīng)力加速壽命試驗，在這個試驗中，n個產(chǎn)品在序進應(yīng)力V （t）=Kt+V1，V1≥0下做加速壽命試驗，同時考慮到應(yīng)力過大有可能會改變產(chǎn)品的失效機理，因此產(chǎn)品在序進應(yīng)力V（t）=Kt+V1下試驗持續(xù)到時間τ時 （其間共有r個產(chǎn)品失效），將試驗應(yīng)力穩(wěn)定在Kτ+V1繼續(xù)試驗，直至產(chǎn)品全部失效，試驗終止。

此時應(yīng)力水平有如下表示：

首先，考慮產(chǎn)品在序進應(yīng)力V（t）=Kt+V1，V1≥0下的加速壽命試驗，試驗持續(xù)到時間τ時共有r個產(chǎn)品失效，假定在應(yīng)力V1下產(chǎn)品的壽命分布服從Lomax分布，而尺度參數(shù)β1滿足逆冪律模型：

由文獻 [13]可知：在應(yīng)力V（t）=Kt+V1，V1≥0下工作了t時間，相當于在恒定應(yīng)力V1下工作的時間為：

則由Nelson假定知，產(chǎn)品在在序進應(yīng)力V（t）=Kt+V1，V1≥0下的壽命分布為：

特別地，當V1=0時，即產(chǎn)品在序進應(yīng)力V（t）=Kt下的壽命分布為：

其次，產(chǎn)品在序進應(yīng)力V（t）=Kt+V1下試驗持續(xù)到時間τ后，為了防止改變產(chǎn)品的失效機理，未失效的產(chǎn)品在恒定應(yīng)力Kτ+V1下繼續(xù)試驗，直到剩余的產(chǎn)品全部失效，試驗終止。

在恒定應(yīng)力Kτ+V1下產(chǎn)品工作的時間記為t-τ（都是從時刻0算起），其相當于在應(yīng)力V1下工作的時間為

因此，在時刻τ之前未失效的產(chǎn)品，其工作至t時刻的工作時間相當于在恒定應(yīng)力V1下的工作時間為：

此時，在逆冪律模型下，產(chǎn)品的壽命分布為：FV（t）（t）=

特別地，當V1=0時，產(chǎn)品的壽命分布為：

3 Lomax分布的產(chǎn)品在序進-恒定應(yīng)力 （V1=0）加速壽命試驗下的可靠性統(tǒng)計分析

考慮序進-恒定應(yīng)力加速壽命試驗，在這個試驗中，將n個產(chǎn)品在序進應(yīng)力V （t）=Kt下做加速壽命試驗，當試驗持續(xù)到時間τ時 （其間共有r個產(chǎn)品失效， 其次序失效時間記為： t（1）， t（2）， …，t（r）），為了防止改變產(chǎn)品的失效機理，此后將試驗應(yīng)力穩(wěn)定在Kτ，繼續(xù)對未失效的產(chǎn)品做加速壽命試驗，直至產(chǎn)品全部失效，試驗終止，其次序失效時間記為： t（r+1）， t（r+2）， …， t（n））。

密度函數(shù)為：

當t≥τ時，產(chǎn)品服從如下的分布函數(shù)：

密度函數(shù)為：

則似然函數(shù)為：

對數(shù)似然函數(shù)為：

分別求lnL（λ，m，c）對λ、m、c的偏導(dǎo)數(shù)：

分別求lnL對λ、m、c的二階偏導(dǎo)數(shù)：

由此可得fisher信息陣為：

取置信度為1-α，則d的置信區(qū)間為： （d0-同理，c的置信區(qū)間為：λ 的置信區(qū)間為： （λ0-

4 Monte Carlo算例

0.175 2 0.180 3 0.189 7 0.193 9 0.237 60.282 4 0.282 7 0.300 9 0.307 5 0.350 80.406 3 0.421 9 0.434 9 0.497 1

在恒定應(yīng)力Kτ下的失效時間為： 0.537 0 0.556 7 0.658 3 0.886 7 0.911 4 0.930 7

由上面的結(jié)論，得到fisher信息陣為：

取置信區(qū)間為95%，從而得到參數(shù)m的區(qū)間估計為： （0.391 7，1.608 3），參數(shù)c的區(qū)間估計為： （0.292，1.708），參數(shù)λ的區(qū)間估計為：（1.410 7， 4.589 3）。

5 結(jié)束語

為了提高試驗效率，減少成本，人們需要盡可能地利用有限的資源得到產(chǎn)品的壽命信息。本文討論了在累積損傷模型下，服從Lomax分布的產(chǎn)品在序進-恒定應(yīng)力加速壽命試驗下的參數(shù)極大似然估計和基于漸進正態(tài)性的近似區(qū)間估計，并用Monte-Carlo法模擬數(shù)據(jù)，計算了參數(shù)的極大似然估計和近似區(qū)間估計。得到如下結(jié)論：

1）序進-恒定應(yīng)力加速壽命試驗確實可以提高試驗效率，縮短試驗時間；

2）在序進-恒定應(yīng)力加速壽命試驗下得到的參數(shù)估計仍然能夠反映真實的產(chǎn)品信息；

3）基于漸進正態(tài)性的近似區(qū)間估計能夠很好的包含極大似然估計。

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