呂兆勇

[摘 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一種“真、善、美”的體現(xiàn)，它包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象以及數(shù)據(jù)分析六個方面，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)活動是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.教師在教學(xué)要明確學(xué)科素養(yǎng)的特點，將學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)有效落實到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；三角函數(shù)；周期性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是在數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程中，逐步讓學(xué)生形成適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力，是一種“真、善、美”的體現(xiàn).高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了一個明確的教育方向，而如何把對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有效落實到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，就成了一線教師迫切需要解決的問題.筆者根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容編寫執(zhí)教了“三角函數(shù)的周期性”這節(jié)概念課，并對這節(jié)課進行了教學(xué)反思，供大家討論.

教學(xué)設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境 啟發(fā)思考

情境一：在我們乘坐暨陽湖游樂園里的摩天輪的時候（所教學(xué)生的學(xué)校不遠處就有這樣一個游樂公園，學(xué)生都乘坐過這種游樂設(shè)施，所以會有同感），我們會發(fā)現(xiàn)，過一段相同的時間，我們就會在最高點看到最美的風(fēng)景.

情境二：我們教室后面鐘的時針、分針和秒針每經(jīng)過一定的時間就轉(zhuǎn)過一周.

師：你還能舉出一些這樣的例子嗎？

生：四季更替，課程表，地球公轉(zhuǎn).

師：這些現(xiàn)象都有一個什么樣的規(guī)律？

生：周而復(fù)始現(xiàn)象.

情境三：其實我們古人也發(fā)現(xiàn)了這種現(xiàn)象. （配樂詩朗誦（多媒體播放）《賦得古原草送別》：離離原上草，一歲一枯榮.野火燒不盡，春風(fēng)吹又生.）我國的“干支”記年法，即“天干地支”組合形成古代紀年歷法（教師給出“天干地支”相關(guān)知識的PPT.）

師：我們把這種周而復(fù)始現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象.（板書：周期.）

2. 合作交流 建構(gòu)數(shù)學(xué)

師：其中的“地支”就是十二屬相. 我們班里的同學(xué)是哪一年出生的？屬相是什么？哪些年份是本命年呢？

剛有同學(xué)說自己是2000年5月出生，今年17歲，屬龍. 即2000年出生的對應(yīng)屬相為龍，我們知道2001年出生的對應(yīng)屬相為蛇，2002年出生的對應(yīng)屬相為馬，……，那么這個對應(yīng)可以用數(shù)學(xué)的語言去描述嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能的回答是年份與屬相之間的對應(yīng)可以用函數(shù)的觀點去理解.教師在贊賞的同時，對這種觀點進行進一步設(shè)問出疑點（發(fā)現(xiàn)隨著年份的改變，屬相在改變，但函數(shù)的定義域和值域要求是非空數(shù)集），我們把屬相鼠、牛、虎、……、豬依次對應(yīng)實數(shù)1、2、3、…、12，其對應(yīng)法則記為f. 從而得到f（2000）=5，f（2001）=6，f（2002）=7，…. 可以很快得到一個結(jié)論，就是f（2000）=f（2000+12）=f（（2000+12）+12）=…=5. 所以，2012年，2024年以及2036年均是其本命年.

由2001年5月出生屬蛇的本命年我們可以得到f（2001）=f（2001+12）=f（（2001+12）+12）=….

設(shè)計立意：從生活中一類具有“周而復(fù)始”特點的現(xiàn)象出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，把生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，從而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去分析問題.

關(guān)于這節(jié)課的幾點思考

1. 以“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”為抓手，整體把握教學(xué)思路，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然生成.

數(shù)學(xué)課程標準修訂組組長史寧中教授把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)解讀為三句話，即：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.通過用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)；通過用數(shù)學(xué)的思維分析世界，來發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；通過用數(shù)學(xué)的語言表達世界，來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).這就需要教師在教學(xué)中，不僅要注重基本知識、基本技能的傳授，更要注重基本思想方法和基本活動經(jīng)驗的培養(yǎng)，從而增強學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力以及分析和解決問題的能力.

本節(jié)課，教師牢牢抓住這個教學(xué)理念構(gòu)建教學(xué)框架，整體把握教學(xué)思路，從觀察現(xiàn)實世界的周期現(xiàn)象，到能不能用數(shù)學(xué)的思維來分析這個問題、如何用數(shù)學(xué)的語言表達這個周期問題的教學(xué)過程，充分體現(xiàn)出教師的教學(xué)設(shè)想. 在學(xué)生參與教學(xué)活動的同時，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識來源于生活. 在對實際周期問題的抽象等教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模，對事例進行有效數(shù)學(xué)分析，得到事例所具有的共同特征，再進行概括、歸納、抽象，得到概念的本質(zhì)屬性后，把數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的權(quán)力還給學(xué)生，讓學(xué)生初步建立概念，再由教師做好教學(xué)的先行者，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念.在概念的建構(gòu)過程中，既討論了所建構(gòu)概念的完備性，進一步完善概念，又通過辨析，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析能力. 最后，通過對所學(xué)函數(shù)周期性的理性討論，進一步培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力. 教學(xué)中，逐步深入的“劇情”，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣油然而生，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在學(xué)生的身上自然生成.

2. 在“三個理解”的基礎(chǔ)上，大膽進行教材的重組，搭建適合學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的平臺.

章建躍先生在評價一節(jié)課時，提出了“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)”的三個理解. 在教學(xué)中，教師要以學(xué)生為主體，把知識的發(fā)生過程和發(fā)現(xiàn)的權(quán)力還給學(xué)生.這就需要教師對教材有一個充分的把握，了解教材的編寫意圖，知道知識的來龍去脈，清楚知識之間的聯(lián)系.然后，根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)及大綱要求，把教材所涉及的內(nèi)容有目的、有方法地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，從而搭建適合學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的平臺.

本節(jié)是蘇教版必修4第一章第3節(jié)第一課時內(nèi)容，教材呈現(xiàn)了通過對單位圓中三角函數(shù)線的討論，得到了三角函數(shù)的周期性，得出了函數(shù)周期性的相關(guān)知識，體現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性 .在教學(xué)中，如果教師把教學(xué)思路僅僅局限于三角函數(shù)的范疇內(nèi)，就會讓學(xué)生誤以為只有三角函數(shù)才存在周期性，即周期性問題是在三角函數(shù)內(nèi)部考查出來的.其實不然，在必修4《教參》第24頁中明確指出“本節(jié)的重點是周期函數(shù)的定義和正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性，周期的概念是本節(jié)的難點，解決難點的關(guān)鍵是通過實例分析來認識周期和周期函數(shù)”. 也就是說，三角函數(shù)周期性的考查是在考查出函數(shù)周期性這樣一個性質(zhì)以后，對具體函數(shù)再分析的結(jié)果.這樣的教學(xué)思路的產(chǎn)生，就要求教師對整章三角函數(shù)乃至所有函數(shù)內(nèi)容進行整體把握，從認識周期，到認識周期函數(shù)，到認識三角函數(shù)的周期性有一個連貫的思考. 如何把這些問題有順序地呈現(xiàn)給學(xué)生，需要教師對研究函數(shù)的性質(zhì)有一個基本的、明確的思路，且這個思路在認識函數(shù)的其他性質(zhì)的時候，能有一個指導(dǎo)作用，實現(xiàn)學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的可持續(xù)性探究.最終搭建了適合學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的平臺.

3. 從體系出發(fā)，通過對周期性的研究，進一步實現(xiàn)“前后一致，邏輯連貫”的概念構(gòu)建過程，實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”的培養(yǎng).

對函數(shù)性質(zhì)的探究，一直貫穿于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中. 從小學(xué)課本中的對實例函數(shù)（正比例和反比例函數(shù)）的初步認識到初中對二次函數(shù)的研究，再到高中對于函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的討論，都體現(xiàn)了“認識函數(shù)就是要認識函數(shù)的性質(zhì)”這一研究函數(shù)的抓手. 教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生把實例函數(shù)的性質(zhì)，抽象為數(shù)學(xué)語言. 這其中，如何把這些實例呈現(xiàn)給學(xué)生，如何把零散的函數(shù)性質(zhì)變成體系的存在，以什么樣的視角來研究函數(shù)，都需要學(xué)生有一定的發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼光，而學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼光正是教師在長期的數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出來的基本活動經(jīng)驗.

本節(jié)課中，教師通過對自然現(xiàn)象的認識，再從我國古人創(chuàng)造的天干地支出發(fā)，引發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合學(xué)生屬相的研究，把學(xué)生的探究欲望引到最高點，如何把實際問題的規(guī)律抽象為數(shù)學(xué)問題中的規(guī)律，教師通過屬相與年份之間的對應(yīng)關(guān)系，引出了函數(shù)，從而抽象出函數(shù)的周期問題. 接下來，如何精確地表述函數(shù)周期性的定義是這節(jié)課的難點，教師在教學(xué)中，主動幫助學(xué)生回憶函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及研究方法，讓學(xué)生感受定義的構(gòu)建，體驗知識的生成過程，即“發(fā)現(xiàn)生活中的有規(guī)律的現(xiàn)象→抽象為數(shù)學(xué)問題→用數(shù)學(xué)的語言表達→用得到的規(guī)律考查已學(xué)過的函數(shù)，進一步挖掘內(nèi)涵→數(shù)學(xué)應(yīng)用”這一順序來探究函數(shù)的性質(zhì). 這個思路也是探究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和基本途徑.這個途徑的確立為學(xué)生的再次自我探究重獲了研究函數(shù)性質(zhì)的視角，奠定了方法基礎(chǔ). 從而為學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律、主動構(gòu)建概念創(chuàng)造了條件，也增加了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)研究方法的情感認同和方法儲備. 可以說，對函數(shù)周期性的研究，不僅僅是對函數(shù)性質(zhì)的一次認識，更是研究函數(shù)性質(zhì)的方法的一次螺旋上升，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”的培養(yǎng).

4. 以問題教學(xué)為引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)概念，有效落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升并不是空洞的，要以實際教學(xué)行為為載體，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)應(yīng)該是“數(shù)學(xué)育人”，“數(shù)學(xué)育人”就要求教師在把握教學(xué)內(nèi)容在教材中的地位和作用的基礎(chǔ)上，以師生對話為媒介，以學(xué)生為主體，互相提出構(gòu)建概念中的疑點和問題，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問題與提出問題，驅(qū)動問題情境的展開，讓學(xué)生更加深入地思考，帶動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而達到有效落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的教學(xué)目的[4].

本節(jié)課中，教師在不同教學(xué)環(huán)節(jié)都有意識地用問題串的形式展開教學(xué). 比如，在情境問題的引入中，“這些現(xiàn)象都有一個什么樣的規(guī)律”“你還能舉出一些這樣的例子嗎”這樣的問題提出，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建概念時，教師提出“那么這個對應(yīng)可以用數(shù)學(xué)的語言去描述嗎”“能不能嘗試給周期函數(shù)一個定義呢”這樣的問題，引導(dǎo)學(xué)生去生活化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在對常數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的周期性進行考查時，教師提問“①是周期函數(shù)嗎？為什么？②如果是，周期是多少？”在探究環(huán)節(jié)中，教師繼續(xù)深挖“函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω>0）的周期和哪些量有關(guān)”，引導(dǎo)學(xué)生運用概念解決問題、運用概念歸納結(jié)論，給學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界的空間，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 這些問題的設(shè)計，不僅讓學(xué)生學(xué)到了知識，更重要的是交給了學(xué)生研究問題的方法、探究問題的思路以及如何構(gòu)建知識體系的能力[5].

結(jié)束語

如何把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有效地落實到教學(xué)實踐中，這是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育對數(shù)學(xué)教師提出的新問題.教師只有在平時的教學(xué)工作中，不斷地進行學(xué)習(xí)，更新教學(xué)觀念，把握核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，才能在教學(xué)中，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為理論指導(dǎo)，自覺踐行新課程理念，著力于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)水平.

參考文獻：

[1] 張乃達，石志群. 刻畫周期性現(xiàn)象數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與研究[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2013（3）：6-11.

[2] 曹鳳山. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017（6）：26-27.

[3] 何睦. 聚焦“核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2017（1）：10-14.

[4] 王克亮. 課堂問題的設(shè)計與解決應(yīng)凸顯知識本質(zhì)—一次主題教研活動中“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的教學(xué)體會[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017（5）：10-14.

[5] 單墫. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書·數(shù)學(xué)4（必修）[M]. 南京：江蘇鳳凰教育出版社. 2012.