楊前華

（南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 通信學(xué)院，江蘇 南京 210023）

0 引 言

隨著無(wú)線通信應(yīng)用的增多，人們對(duì)無(wú)線通信的需求不斷提高。移動(dòng)通信與互聯(lián)網(wǎng)融合使人們希望在任何地點(diǎn)都有無(wú)縫﹑高速的網(wǎng)絡(luò)接入。目前，4G網(wǎng)絡(luò)速率已經(jīng)達(dá)到了100 Mb/s，能支持實(shí)時(shí)視頻通訊及多媒體業(yè)務(wù)，而MIMO多天線陣列是在有限的頻帶中實(shí)現(xiàn)最大的傳輸容量及速率的關(guān)鍵技術(shù)之一，但針對(duì)MIMO容量域的研究一直缺乏有效的理論分析方法。文獻(xiàn)[1-2]首先研究了單用戶高斯MIMO信道的容量，文獻(xiàn)[2-3]研究了MIMO多接入信道（MAC）的容量域。雖然已證明，臟紙編碼（DPC）是獲取BC信道容量域的有效方法[4-6]，但直接計(jì)算BC信道的DPC容量域非常困難，原因在于DPC技術(shù)應(yīng)用需要一個(gè)苛刻的前提——發(fā)送端具有完全非因果的關(guān)于信道的加性干擾（包括其他用戶干擾）信息，則信道容量等于沒(méi)有加性干擾的信道容量，或等效接收端獲知干擾的信道容量（接收端具有可合作性）。

本文通過(guò)研究基礎(chǔ)信息論，分析MIMO系統(tǒng)的容量域，建立了高斯廣播信道與多接入信道的二元性，并使用DPC編碼來(lái)確定MIMO廣播信道速率域，以期為研究MIMO系統(tǒng)的最大容量提供理論支持。

1 廣播信道與多址信道容量域

信道容量的概念最早由克勞德·香農(nóng)在1948年的論文“數(shù)學(xué)通訊理論”中提出。信道容量被定義為在任意小的錯(cuò)誤概率下可達(dá)到的最大通信速率。

1.1 離散無(wú)記憶信道

通信系統(tǒng)通常有一個(gè)信息的發(fā)送端與多個(gè)接收端。為了簡(jiǎn)化，本文用兩個(gè)接收端來(lái)建立系統(tǒng)模型。兩個(gè)用戶的離散無(wú)記憶信道由有限集合(x, y, z)組成，每一個(gè)在Y×Z上的概率分布記為p( y, z|x)。

目前，許多廣播信道容量域是未知的。但是，某些特殊類(lèi)別的廣播信道已經(jīng)通過(guò)研究得到其容量域，其中退化廣播信道是已知容量域的信道之一。退化廣播信道的定義為：如果存在一個(gè)信道概率函數(shù)p(z|y)，使得p(z|x)=∑y∈Yp(y|x)p(z|y)，則該廣播信道稱(chēng)為退化廣播信道。

退化廣播信道的容量域首先由Gallager發(fā)現(xiàn)。它等于滿足式（1）﹑式（2）的所有(R1,R2)封閉集合的凸包。

多址接入信道由多個(gè)發(fā)送端與一個(gè)接收端組成。假設(shè)信道的兩個(gè)發(fā)送端為(x1, x2)，接收端為y，其概率分布函數(shù)為p(y|x1, x2)。在文獻(xiàn)[6-9]中，該多址接入信道的容量域等于滿足式（3）﹑式（4）和式（5）中所有(R1, R2)封閉集合的凸包。

1.2 高斯信道

下面將通信系統(tǒng)仿真中典型的高斯信道作為模型，對(duì)高斯廣播信道與高斯多址接入信道的容量域進(jìn)行研究。

1.2.1 AWGN廣播信道

假設(shè)在AWGN廣播信道中，發(fā)送端同時(shí)發(fā)送復(fù)合信號(hào)x[i]到k個(gè)不同的接收端，其中i代表時(shí)間節(jié)點(diǎn)。每個(gè)接收端接收信號(hào)的信道響應(yīng)為h，噪聲為n[i]。設(shè)H=(h1,h2,…h(huán)k)，且信道響應(yīng)H在所有時(shí)間都保持不變。理論上，接收端在廣播信道中接收到的信號(hào)可以表示為如果發(fā)送端的平均功率為P，文獻(xiàn)[10]中，Bergmans證明上述條件下的信道容量域CBC(h,P—)滿足：

文獻(xiàn)[11]中，該容量域可以通過(guò)DPC（Dirty-Paper Coding）編碼方式達(dá)到。該編碼方式采用發(fā)送端進(jìn)行“預(yù)編碼”的方式，針對(duì)某個(gè)接收端預(yù)先“減去”其他接收端信息后再進(jìn)行編碼，以減少信息間的干擾，達(dá)到系統(tǒng)的最大容量。

1.2.2 AWGN多址接入信道

與AWGN廣播信道相反，AWGN多址接入信道的發(fā)送端同時(shí)發(fā)送信號(hào)Xi到接收端，其中j代表第j個(gè)接收端。每個(gè)發(fā)送端的信道響應(yīng)為h，噪聲為n[i]。設(shè)H=(h1,h2,…h(huán)k)且信道響應(yīng)H在所有時(shí)間都保持不變。理論上，接收端在廣播信道中接收到的信號(hào)可以表示為：

設(shè)每個(gè)發(fā)送端的平均功率為P，文獻(xiàn)[7]中，上述條件下的AWGN多址接入信道容量域CMAC(h,P—)為：

1.2.3 衰落廣播信道

在衰落廣播信道中，信道響應(yīng)hj[i]隨時(shí)間的變化而改變。它的系統(tǒng)模型可以表示成：

它與上述AWGN廣播信道的唯一區(qū)別，是衰落信道的響應(yīng)hj[i]是時(shí)變的。假設(shè)發(fā)送端與接收端都有明確的CSI（Channel State Information），即每個(gè)接收端都能知道當(dāng)前衰落的信道響應(yīng)h[i]。

為了遍歷該信道的容量，設(shè)功率策略PBC為發(fā)送端根據(jù)信道響應(yīng)h映射的發(fā)送功率PjB(h)的策略。設(shè)FBC為滿足所有功率策略的集合，即：

由文獻(xiàn)[8]的定理1可知，上述信道的遍歷功率域?yàn)椋?/p>

其中CBC(H,PBC)為使用功率策略PBC時(shí)的容量域：

1.2.4 衰落多址接入信道

在衰落多址接入信道中，信道響應(yīng)hj[i]隨時(shí)間的變化而改變。它的系統(tǒng)模型可以表示為：

與上述衰落廣播信道類(lèi)似，設(shè)功率策略PMAC為發(fā)送端根據(jù)信道響應(yīng)h映射的發(fā)送功率PjM(h)的策略。設(shè)FMAC為滿足所有功率策略的集合，即：

由文獻(xiàn)[8]中定理2.1可知，多址接入信道的遍歷功率域?yàn)椋?/p>

其中CMAC(H,PMAC)為使用功率策略PMAC時(shí)的容量域：

1.2.5 MIMO廣播信道

MIMO廣播信道的發(fā)送端與接收端都有多個(gè)天線單元。假設(shè)MIMO廣播信道的發(fā)送端有M個(gè)發(fā)送天線，k個(gè)接收端分別有r1r2…rk個(gè)接收天線，如圖1所示。

圖1 MIMO廣播信道模型

設(shè)X∈CM×1為發(fā)送端發(fā)送的信號(hào)集，Hk(i, j)為從發(fā)送端第j個(gè)天線到第k個(gè)接收端的第i個(gè)天線的信道響應(yīng)；第k個(gè)接收端的高斯噪聲為HX。設(shè)nk∈Crk×1﹑yk∈Crk×1為第k個(gè)接收端接收到的信號(hào)，則接收信號(hào)可以表示為：

與AWGN廣播信道不同，MIMO廣播信道不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的退化廣播信道。所以，MIMO廣播信道的容量域依然是未知的。

MIMO廣播信道在限定條件下能達(dá)到的容量域最初在文獻(xiàn)[9]中發(fā)現(xiàn)。文獻(xiàn)[11]中通過(guò)使用DPC編碼，將該區(qū)域擴(kuò)展到更多的接收端與更多的天線上，并可應(yīng)用到MIMO發(fā)送端的預(yù)編碼規(guī)則上。

如果發(fā)送端首先為接收端1選擇編碼碼字1，然后在已知碼字1的基礎(chǔ)上為接收端2選擇編碼碼字2。當(dāng)接收端2解碼時(shí)，將不會(huì)有編碼碼字1所帶來(lái)的干擾。在上述編碼情況下，MIMO廣播信道可實(shí)現(xiàn)的容量域?yàn)椋?/p>

1.2.6 MIMO多址接入信道

MIMO多址接入信道的發(fā)送端與接收端同樣都有多個(gè)天線單元。假設(shè)MIMO多址接入信道的第j個(gè)發(fā)送端有rj個(gè)發(fā)送天線，接收端分別有M個(gè)接收天線。如圖2所示。

圖2 MIMO多址接入信道模型

設(shè)Xk∈Crk×1為發(fā)送端k發(fā)送的信號(hào)，YMAC∈CM×1為接收到的信號(hào)，n∈CM×1為噪聲。Hk∈CM×rk為第k個(gè)發(fā)送端到接收端的信道響應(yīng)，則接收信號(hào)可以表示為：

其中矩陣H代表所有接收端的信道響應(yīng)。

由文獻(xiàn)[10-12]可得，MIMO多址接入信道的容量域CMAC(H1,…,Hk,P1,…,Pk)為：

2 廣播信道與多址信道的二元性

研究廣播信道與多址接入信道的聯(lián)系具有許多重要意義。首先，建立這樣的聯(lián)系可為多用戶的信息論提供理論依據(jù)。其次，研究能從信息論的角度提供新的研究思路與方向?；诒竟?jié)研究的廣播信道與多址接入信道的二元性，結(jié)合現(xiàn)有的MIMO多址接入信道的研究結(jié)果，能得出MIMO廣播信道的和速率。而該信道和速率容量在以往的研究中從未被發(fā)現(xiàn)和證實(shí)。

下面在高斯廣播信道與高斯多址接入信道的容量域推導(dǎo)結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究分析高斯廣播信道與多址接入信道容量域的相互聯(lián)系。

2.1 AWGN廣播信道與多址接入信道

根據(jù)上述研究，多址接入信道的容量域等于該區(qū)域角點(diǎn)的凸包。所以，在總功率相同的情況下，每一個(gè)雙多址接入信道容量域集合屬于雙廣播 信道容量域，即：

由文獻(xiàn)[11]中定理3.2得知，任意多址接入信道的速率域滿足：

于是，在任意α＞0的情況下，可進(jìn)一步推論出：

即恒定高斯多址接入信道的容量域等于所有信道定標(biāo)下的雙廣播信道的交集。

2.2 衰落廣播信道與多址接入信道

在廣播信道與多址信道的二元性結(jié)論的基礎(chǔ)上，下面將研究推廣到平坦衰落廣播信道與多址接入信道中。根據(jù)高斯信道模型，平坦衰落廣播信道與多址接入信道可以分別表示為：

其中在廣播信道與多址接入信道中的衰落h[i]是一樣的。

不難發(fā)現(xiàn)，任何在多址接入信道容量域中的速度矢量都在雙廣播信道容量域中，即：

由文獻(xiàn)[11]中定理3.2與式（30）可得出，在α＞0的情況下，有：

即衰落多址接入信道的遍歷容量域等于所有信道定標(biāo)下的雙廣播信道遍歷容量域的交集。

2.3 MIMO廣播信道與多址接入信道

根據(jù)第一節(jié)中的高斯信道模型，MIMO廣播信道與多址接入信道可以分別表示成：

首先在多址接入信道中每個(gè)由連續(xù)解碼所能達(dá)到的速度向量必定在雙廣播信道臟紙（dirty paper）域中。通過(guò)對(duì)臟紙域中凸包的計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)于所有多址接入信道協(xié)方差矩陣的角點(diǎn)都在雙MIMO廣播信道的DP域中。通過(guò)文獻(xiàn)[11]中描述的廣播信道與多址接入信道的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：說(shuō)明在限制功率為P的條件下MIMO廣播信道的臟紙域等于在總限制功率為P的條件下MIMO多址接入信道的容量域。

3 MIMO廣播信道的和速率

依據(jù)高斯廣播信道與多接入信道的二元性結(jié)論，下面分析MIMO廣播信道的和速率容量，并確定達(dá)到該和速率的編碼方法。

3.1 MIMO廣播信道系統(tǒng)模型

設(shè)MIMO廣播信道的發(fā)送端由M個(gè)天線單元，k個(gè)接收端分別由r1,r2…,rk接收天線單元，則該MIMO廣播信道可表示為：

設(shè)MIMO多址接入信道的k個(gè)發(fā)送端分別有r1,r2…,rk個(gè)天線單元，接收端分有M個(gè)接收天線單元，則該MIMO多址接入信道可表示為：

3.2 MIMO廣播信道的和速率容量

通過(guò)文獻(xiàn)[11]中4.2節(jié)中的證明，說(shuō)明通過(guò)DPC編碼可以達(dá)到MIMO廣播信道的和速率容量。通過(guò)廣播信道與多址接入信道的二元性可知，MIMO廣播信道的和速率等于雙MIMO多址接入信道的和速率容量。因此，MIMO廣播信道和速率可以表示為：

4 仿真分析

假設(shè)系統(tǒng)中各用戶位置獨(dú)立隨機(jī)分布。圖3給出了不同信噪比條件下的MIMO廣播信道和速率容量與雙MIMO多址接入信道的和速率容量的對(duì)比結(jié)果?？梢钥闯?，兩者的和容量都隨著信噪比的增加成近乎線性增加，并基本吻合。圖4給出了信噪比固定（10 dB）﹑不同MIMO天線配置（4×4﹑8×8兩種條件）﹑不同用戶數(shù)情況下的MIMO廣播信道和速率與雙MIMO多址接入信道的和速率容量的對(duì)比結(jié)果。結(jié)果表明，在同一MIMO天線配置﹑不同用戶數(shù)條件下，兩者獲取的和容量都非常逼近。

圖3 不同信噪比情況下的和容量對(duì)比

圖4 不同天線配置情況下的和容量對(duì)比（SNR=10 dB）

5 結(jié) 語(yǔ)

本文首先研究了典型信道的容量，通過(guò)對(duì)典型信道容量的研究，發(fā)現(xiàn)廣播信道與多址接入信道的二元性；通過(guò)MIMO多址接入信道的和速率容量域，計(jì)算MIMO廣播信道的可達(dá)和速率容量域，并在此基礎(chǔ)上使用DPC編碼來(lái)獲取MIMO廣播信道容量域。仿真結(jié)果表明，同一MIMO天線配置﹑不同用戶數(shù)條件下，兩者獲取的和容量近似?？梢?jiàn)，該算法對(duì)MIMO廣播信道容量域的研究提供了新思路與新方法。

[1] FOSCHINI G J,GANS M J.On Limits of Wireless Communications in a Fading Environment When Using Multiple Antennas[J].Wireless Personal Communicati on,1998,6(03):311-335.

[2] TELATAR E.Capacity of Multi-antenna Gaussian Channels[J].European Transaction on Telecommunication,1999,10(06):585-596.

[3] YU W,RH W,BOYDS.VC Water-filling fc Coassim ViC Tormultiple Access Channels[J].IEEE Trans. Inform.Theory,2004,50(01):145-152.

[4] CAIRE G,SHAM AI S.On the Achievable Throughput of a Multiantenna Gaussian Broadcast Channel[J].IEEE Trans Inform Theory,2003,49(07):1691-1706.

[5] VISHWANATH S,JINDAL N,GOLDSMITH A.Duality,Achievable Rates,and Sum-rate Capacity of MIMO Broadcast Channels[J].IEEE Trans Inform Theory,2003,49(10):2658-2668.

[6] Nihar J.Multi-User Communication Systems:Capacity,Duality,and Cooperation[Z].2004.

[7] Shannon C E.A Mathematical Theory of Communication[J].Bell System Technical Journal,1948(27):379-423,623-656.

[8] Gallager R.Capacity and Coding for Degraded Broadcast Channels[J].Problemy Peredachi Informatsii,1974(10):3-14.

[9] Liao H.Multiple Access Channels[D].Manoa Valley:University of Hawaii,1972.

[10] Bergmans P.A Simple Converse for Broadcast Channels with Additive White Gaussian Noise[J].IEEE Trans.Inform. Theory,1974(20):279-280.

[11] Yu W,Cioffi J.Trellis Precoding for the Broadcast Channel[C].In Proceedings of Global Commun.Conf.,2001:1344-1348.