許蕓

在解決問題當(dāng)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)面對復(fù)雜多變的問題情境，學(xué)生無從下手胡亂解答的情況。

比如人教版五上“出租車中的分段計費問題”，有這樣一道題：

下面是某市出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)。（不足1小時按1小時計算）

李叔叔打車從家到單位一共行駛11.2km，算算李叔叔一共要付多少錢？

這道題跟課本例題一樣，都是出租車情境，只是由二段計費拓展到三段計費。學(xué)生的錯誤率就非常高，常見錯誤如下圖：

錯誤原因是第二段的行駛路程弄錯，本質(zhì)是缺乏幾何直觀的抓手，對每段的分段數(shù)量不清楚。

還比如在學(xué)習(xí)用公因數(shù)和公倍數(shù)解決問題當(dāng)中，很多學(xué)生容易弄混這兩種不同的類型，比如在人教版數(shù)學(xué)書81頁練習(xí)十二中的這道習(xí)題：

題目應(yīng)該是求最大公因數(shù)，學(xué)生卻求了最小公倍數(shù)，說明學(xué)生沒有理解這類問題的本質(zhì)。

因此在教學(xué)中，如果能夠運用一定的手段對此類問題進行溝通，如建構(gòu)直觀形象的幾何模型，使學(xué)生有解決問題的方法，就能提高學(xué)生解決問題的能力。

一、引入方法，幫助審題

幾何直觀有利于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單、形象，特別在問題的數(shù)學(xué)化表征中有著很大的作用。在常規(guī)的教學(xué)中我們應(yīng)鼓勵學(xué)生進行多樣化的信息表征，然后進行優(yōu)化，最后凸顯幾何直觀表達信息的優(yōu)越性。建立幾何直觀模型，是為審題搭建腳手架。

比如這道分段計費問題：

某市按以下規(guī)定收取水費：用水量不超過3噸的，每噸收費2.5元；超過3噸不超過10噸的部分，每噸收費3.5元，超過10噸的部分，每噸收費4元。小強家9月份的用水量是12.5噸，應(yīng)付水費多少錢？

學(xué)生用文字、畫表格和畫線段圖等不同方式表征信息。如圖：

在確定線段圖是最簡單、形象的表征方式后，教師再追問一句：畫表格和畫線段這兩種方法有什么共同的地方？然后將兩幅圖疊在一起（如下圖），學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者都清晰地表示出了每段的數(shù)量和對應(yīng)的單價，由此學(xué)生初步感知了分段計費問題的幾何模型。

還比如“用最大公因數(shù)解決問題”中的例題，在信息呈現(xiàn)方式中這種畫圖的方式特別優(yōu)化，在分析解答中，學(xué)生明確問題的本質(zhì)就是求長和寬的公因數(shù)后，再在原先的直觀圖中抽象出平面數(shù)軸圖（如下圖）。三幅圖層層遞進，幫助學(xué)生對題意本質(zhì)的理解。

二、妙用方法，明了算理

妙用幾何直觀，使學(xué)生在類比溝通中明了算理。如設(shè)計鞏固練習(xí)題，讓學(xué)生運用建立的幾何直觀，掌握同類問題的解題方法。

在“分段計費問題”中可設(shè)計一道選擇題，如：

某停車場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：前3h內(nèi)收費5元，超過3h不超過10h的部分每小時收費2.5元，超過10h的部分每小時收費4元。李叔叔的車在該停車場停了12.5h，他一共要付多少錢？（不足1h按1h算）

A. 12.5×4

B. 5+（12.5-3）×4

C. 5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

D. 3×5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

此題的正確答案是C，但教師不僅要求學(xué)生能找準(zhǔn)正確答案，還要求學(xué)生能根據(jù)錯誤的選項改編題目，達到一題多練和逆向運用方法的效果。如果答案是A，題目應(yīng)該這樣改編（劃去題目中的條件）：

同時出示線段圖，讓學(xué)生明確其實它是一段計費問題。

如果答案是B，應(yīng)該這樣改：

配合線段圖理解，它是兩段計費問題。

如果答案是D，在條件中添加“每小時”。

配合線段圖，可直觀理解它是三段計費問題。如此可鍛煉學(xué)生仔細審題的品質(zhì)。

最后將3個線段圖合成一幅圖，明確不管是一段計費、二段計費還是三段計費問題，都要明確每段的數(shù)量和對應(yīng)的單價，然后將每段的總價加起來。這是解答這類問題的幾何模型和方法。

三、活用方法，提升能力

任何模型的建構(gòu)都是為了靈活廣泛地運用。因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生從深度和廣度上靈活運用幾何直觀方法，進行深層次和多維度的類比溝通，提升學(xué)生解決問題的能力。

比如在分段計費問題的提高練習(xí)中，可根據(jù)這個幾何直觀模型結(jié)構(gòu)讓學(xué)生自己嘗試著編一道分段計費問題。在課堂中很多學(xué)生還突破模型結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造出四段、五段的計費問題和逆向思維的題目（如下圖），深刻體現(xiàn)出對幾何直觀模型方法不是僵化地理解，而是靈活地運用。

同樣在用公因數(shù)解決問題后，教師讓學(xué)生探討可以放棱長最大是幾分米的正方體紙箱疊滿房間的問題。最后通過直觀操作，抽象出空間數(shù)軸圖，并對比之前的平面數(shù)軸圖，明確這類問題的本質(zhì)就是求多個數(shù)的公因數(shù)。

兩次課堂實踐驗證了運用幾何直觀方法類比溝通解答同類問題的可行性和有效性。在平常的教學(xué)中如果能夠善用幾何直觀方法，建立與同類問題的聯(lián)系，相信會帶來更多的驚喜。比如在低段教學(xué)中我們經(jīng)常遇到的里程問題、水電表問題、經(jīng)過時間問題、看書頁數(shù)問題等，其實都屬于累計計數(shù)問題。教師同樣可以引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)軸圖幾何直觀的方法建立聯(lián)系，提升學(xué)生解決同類問題的能力。

小紅看一本書，星期一看到43頁，星期二看到78頁，星期三看到120頁，小紅星期三一共看了多少頁？

運用幾何直觀方法類比解答同類問題是非常有效的教學(xué)方法，它不僅能幫助學(xué)生理解分析題目，還能為學(xué)生找到同類問題的本質(zhì)聯(lián)系建立直觀的形象支撐，有助于學(xué)生掌握同類問題解答的基本方法。

參考文獻：

[1]丁占海 .讀 “圖”教學(xué)：讓幾何直觀自然地生長[J].教學(xué)與管理，2013（35）.

[2]麻炳鈴 .幾何直觀——搭起解決問題的腳手架[J].小學(xué)教學(xué)參考，2016（15）.

[3]朱向明.借助幾何直觀 積累問題解決經(jīng)驗[J].教學(xué)與管理，2013（17）.

[4]蔡杰.運用“幾何直觀”達成多維目標(biāo)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（5）.

（浙江省杭州市濮家小學(xué) 310000）