安徽省合肥幼兒師范高等?？茖W(xué)?；A(chǔ)部 張海濤

寇冰煜、張燕、毛磊三先生在文獻(xiàn)[1]中對(duì)一階線性非齊次微分方程通解的質(zhì)疑做出了兩點(diǎn)解釋，乍一看，似乎與文獻(xiàn)[2]所提觀點(diǎn)相左，但究其實(shí)質(zhì)是從另一個(gè)側(cè)面印證了文獻(xiàn)[2]的觀點(diǎn)，那就是一階線性非齊次微分方程通解：表達(dá)形式不嚴(yán)謹(jǐn)。

理由如下：

2.根據(jù)函數(shù)思想，將具體的p(x)和Q（x）代入文[3]所給的通解表達(dá)式中得出具體題目的通解，也是順理成章的事。因?yàn)樗o出的通解形式中借用了不定積分的形式，所以立即從不定積分的角度對(duì)這一結(jié)論進(jìn)行了質(zhì)疑：每次選取C的值未必一定對(duì)應(yīng)相等，即未必有C2=C3的結(jié)論，從而得到結(jié)論“通解形式不嚴(yán)謹(jǐn)”，也是無(wú)可厚非的。誠(chéng)然，寇冰煜等的解釋也是言之成理的，但只能算作是對(duì)通解形式的一個(gè)補(bǔ)充解釋而已，這對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生而言是不能夠理解的，而且此解釋是一種事后解釋，一種自圓其說(shuō)的解釋，說(shuō)勉強(qiáng)也不為過。筆者認(rèn)為文獻(xiàn)[3]應(yīng)在給出其通解形式的同時(shí)，做出必要的說(shuō)明，如寇冰煜等所說(shuō)的，還有可能被學(xué)生接受，否則容易誘導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣。以上問題的根源在于這種通解形式不嚴(yán)謹(jǐn)，換言之，就是這種用不定積分表示的通解不是我們平常意義上的通解，而是其廣義上的通解，未必都適合方程。

3.寇冰煜、張燕、毛磊三先生在文獻(xiàn)[1]中提到：

考察一下可分離變量的微分方程

的通解問題，根據(jù)微分方程的初始值問題的解的存在性和唯一性定理，對(duì)于定義域中的每一點(diǎn)方程（4）有且只有一個(gè)以為初始值的解。按常規(guī)方法，分別考察2種情況：

由此，得到的方程一階線性非齊次微分方程

任意常數(shù)）。

這也就說(shuō)明了文獻(xiàn)[1]開始所提到的，公式中的所有帶有不定積分符號(hào)的計(jì)算結(jié)果其實(shí)都是某一特定的原函數(shù)，即只是將公式中的看成了某個(gè)函數(shù)的記號(hào)，而不再是通常意義上的一族函數(shù)的記號(hào)。從這側(cè)面印證了文獻(xiàn)[2]的觀點(diǎn)是正確的，即通解形式不嚴(yán)謹(jǐn)。

鑒于此，筆者認(rèn)為寇冰煜、張燕、毛磊三先生最后得出的結(jié)論應(yīng)為“文獻(xiàn)[3]或[6]或[7]所提供的通解形式有不嚴(yán)謹(jǐn)之處，但能得到合理的解釋，為兼顧各種因素，建議將其通解形式改為變上限的定積分形式”，稍感缺憾，她們沒有得出此結(jié)論，而是得出與文獻(xiàn)[1]相左的結(jié)論，其說(shuō)理過程從實(shí)質(zhì)上講是與其結(jié)論相左的。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]侯風(fēng)波．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2003：144-145．

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[7]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系．常微分方程[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1962：12-24