劉瑞娟

【摘要】本文以“百團(tuán)大戰(zhàn)”為例從數(shù)學(xué)的角度分析了正規(guī)戰(zhàn)模型的戰(zhàn)爭結(jié)局和勝方剩余人數(shù)的模型，并由歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了檢驗，與實際數(shù)據(jù)吻合較好，通過這個模型的分析，其中思路和方法對我們討論社會科學(xué)領(lǐng)域中的實際問題提供了一些借鑒。

【關(guān)鍵詞】百團(tuán)大戰(zhàn) 正規(guī)戰(zhàn) 平方律模型 相軌線 MATLAB

【中圖分類號】O242.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）51-0219-01

“百團(tuán)大戰(zhàn)”是華北敵后在國民黨和共產(chǎn)黨聯(lián)合發(fā)起的大規(guī)?？谷諔?zhàn)爭。由于參戰(zhàn)100多團(tuán)，被稱為“百團(tuán)大戰(zhàn)”。百團(tuán)大戰(zhàn)從1940年8月20日到1941年1月24日共進(jìn)行了118天，其中心任務(wù)是摧毀正太路的交通，摧毀日軍的主要軍事路線。將日軍摧毀成為抗日根據(jù)地的主要基地，并對抗日本軍隊的報復(fù)性“掃蕩”。[1]

通過查閱相關(guān)資料，國共出動兵力400000人參戰(zhàn)，傷亡、中毒約3.7萬人，平均每日戰(zhàn)斗減員為314人；日偽軍參戰(zhàn)45000人，傷亡25800人，平均每日戰(zhàn)斗減員為219人。[1]

一、問題分析

百團(tuán)大戰(zhàn)由于作戰(zhàn)雙方出動均為正規(guī)部隊，作戰(zhàn)期間的非戰(zhàn)斗死亡數(shù)據(jù)不易查找，并且一般而言相對戰(zhàn)斗死亡相對較少，故而忽略；戰(zhàn)爭的輸贏通常正比于參加戰(zhàn)爭的軍隊數(shù)量，又由后備力量的增援而增加，由于歷史增援?dāng)?shù)據(jù)不易查找，這里不考慮增援；戰(zhàn)斗力就是殺傷對方的能力，與射擊率、射擊命中率以及戰(zhàn)爭的現(xiàn)狀有關(guān)，每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力。

二、符號說明

x（t）——國共方t時刻的兵力

y（t）——日方t時刻兵力

a——日方每個士兵對甲方士兵的殺傷率（日方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)）

b——國共方每個士兵對乙方士兵的殺傷率（國共方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)）

三、模型假設(shè)

（1）只考慮雙方士兵數(shù)量的多少和戰(zhàn)斗力強弱。

（2）雙方兵員數(shù)量因戰(zhàn)斗減員而減少。

（3）國共方士兵公開活動，處于日方每個士兵監(jiān)控范圍內(nèi)，如果國共方某個士兵傷亡，日方的火力立即集中在國共方剩余兵力上，所以國共方的戰(zhàn)斗減員率只與日方兵員數(shù)量有關(guān)；日方類似。

四、建立模型及求解

在這個戰(zhàn)爭模型中，可得到下面這個微分方程[2]：

由上式知該模型的相軌線為雙曲線。所以也稱為平方律模型。

數(shù)值計算：

為了分析x（t），y（t）的一般變化規(guī)律，我們首先對該問題進(jìn)行相軌線分析，結(jié)合查找的數(shù)據(jù)，通過MATLAB軟件編程作出如下圖形：

2.勝方剩余人數(shù)估計

由上述模型，ay2-bx2=k，戰(zhàn)爭結(jié)束時，日方戰(zhàn)敗，傷亡和被俘均看作失去戰(zhàn)斗力，故而，可看作t=118時，y（118）=0，進(jìn)而可以計算出x（118）=368782，通過查閱資料，歷史實際數(shù)據(jù)大約為363000人，數(shù)據(jù)與實際基本吻合。

五、模型評價

模型優(yōu)點：

1.這個模型適用于大多數(shù)正規(guī)戰(zhàn)。

2.模型根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)依據(jù)，具有合理性。

3.模型方法簡單，利于理解，通俗易懂。

模型缺點：

模型存在諸多不足，因為只考慮士兵數(shù)量因素，其他考慮的因素較少。建立的模型相對簡單，使得模型存在一定的局限性。

參考文獻(xiàn)：

[1]360，百度百科.https：//baike.so.com/doc/5397171-5634457.html.2018/5/25.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，2011.