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(1.山東科技大學 信息工程系，山東 泰安 271000； 2.山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

金融衍生資產(chǎn)定價是現(xiàn)代金融理論的核心內(nèi)容，Black和Scholes假定股票價格服從幾何布朗運動，得出了著名的Black-Scholes公式[1]。而金融實證表明，股票市場價格具有長期依賴性和自相似性[2]，用分數(shù)布朗運動來代替幾何布朗運動更貼近市場規(guī)律。股票價格由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的期權(quán)定價模型吸引了許多研究者的注意[3-6]。

1921年，美國經(jīng)濟學家Knight[7]首次提出在金融市場上經(jīng)常會有無法用單一概率測度度量的風險，稱為Knight不確定性風險。在文獻[8]中，Chen和Larry利用BSDE[9]的有關理論第一次建立起數(shù)學模型，體現(xiàn)了Knight不確定性。張慧等[10]在Knight不確定環(huán)境下，假設股票價格過程服從幾何布朗運動，建立了歐式期權(quán)的最小定價模型，并求出了模型的顯示解。韓立巖等[11]利用模糊測度的思想，建立了Knight不確定環(huán)境下基于模糊測度的期權(quán)定價模型。費文銀等[12]對Knight不確定環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)投資和消費模型研究，得到了對應問題的最優(yōu)投資組合模型。王向榮等[13]假設股票價格服從幾何布朗運動的條件下，討論了Knight不確定環(huán)境下，多資產(chǎn)彩虹期權(quán)的動態(tài)定價，給出了彩虹期權(quán)的上下界區(qū)間。黃虹等[14]討論了股票價格服從Levy假設下的期權(quán)定價問題。

本文在股票價格服從分數(shù)布朗運動的假設下，討論Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價問題。利用Knight不確定環(huán)境下概率測度不唯一的特性，對不確定參數(shù)引入一個可行控制集合Θ來刻畫金融市場上的Knight不確定性,建立了期權(quán)的動態(tài)定價模型以及歐式期權(quán)在一個概率測度集合上的最小定價模型。

1 資產(chǎn)價格模型與測度變換

設(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P)是一個具有σ域流的概率空間，其中{Ft}0≤t≤T是由分數(shù)布朗運動{BH(t),t∈R}產(chǎn)生的自然σ域流。假設分數(shù)市場上有兩種資產(chǎn)，一種為無風險資產(chǎn)(債券)，另一種為風險資產(chǎn)(股票)。其價格過程分別滿足以下方程：

(1.1)

(1.2)

其中，rt≥0,μt是Ft-可測的適應過程，σ為常數(shù)，rt、μt和σ分別表示t時刻無風險利率、風險資產(chǎn)在t時刻的預期收益率和波動率。

(1.3)

引理1[6]任意有界FT可測的期權(quán)V∈L2(P,FT,R)在任意時刻t∈[0,T]的價格V(t)由(1.4)給出：

(1.4)

(1.5)

2 Knight不確定環(huán)境下的歐式期權(quán)定價

為了刻畫金融市場上的Knight不確定性，引入一個可行控制集合Θ：

Θ={(θt)0≤t≤T,|θt|≤k,a.e.t∈[o,T]}。

(2.1)

其中k>0為常數(shù)。文獻[4]把θt稱為κ-ignorance。

(2.2)

定理2.1在無套利自融資假設下，設歐式期權(quán)到期收益為f(ST)，則在Knight不確定環(huán)境下，歐式期權(quán)在t時刻的動態(tài)價格為：

(2.3)

(2.4)

由引理1得：

由引理2知：

證畢。

證明：由引理1知：

則?θ1,θ2∈Θ，|θ1|≤k,|θ2|≤k，由擬條件期望的單調(diào)性，當θ1≥θ2，有：yθ1(t)≥yθ2(t)。

證畢。

3 Knight環(huán)境下金融市場中的歐式期權(quán)最小定價

由于Knight環(huán)境的影響，雖然投資者不確定該用Φ中的哪個概率測度來對期權(quán)進行定價，但從保守角度考慮，投資者一般會給出期權(quán)的最小定價，本節(jié)研究Knight環(huán)境下分數(shù)金融市場中的歐式期權(quán)最小定價。

假設債券價格方程與風險中性假設下的股票價格方程為：

到期日，Knight環(huán)境下執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的最小定價分別為：

定理3.1假設rt=r,σt=σ為常數(shù)，則

其中

由引理1得到概率測度Qθ下：

同樣得到：

證畢。

定理3.2假設rt,θt為非隨機函數(shù)，σ為常數(shù)，則

其中

證明：由引理1得

證畢。

4 結(jié)論

本文在標的資產(chǎn)由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的假設條件下，研究了Knight不確定環(huán)境下期權(quán)定價問題。建立了期權(quán)在一族概率測度下的動態(tài)價格模型，并得到了任意時刻期權(quán)的動態(tài)價值區(qū)間。最后得到了Knight不確定環(huán)境下的歐式期權(quán)定價公式。

[1]BLACK F,SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973,81(3):637-654.

[2]FAMA E.The behavior of stock market price[J].The Journal of Business,1965,38(1):34-105.

[3]李蕊.分數(shù)布朗運動下帶紅利的歐式期權(quán)定價[J].蘭州理工大學學報,2012，38(4):162-164.

LI Rui.European option pricing with dividend and fractional Brownian motion[J].Journal of Lanzhou University Technology,2012，38(4):162-164.

[4]劉韶躍,楊向群.分數(shù)布朗運動環(huán)境中混合期權(quán)定價[J].工程數(shù)學學報,2006,23(1):153-157.

LIU Shaoyue,YANG Xiangqun.Pricing of compound option in a fractional Brownian motion environment[J].Chinese Journal of Engineerring Mathematicas,2006,23(1):153-157.

[5]李施荔.分數(shù)布朗運動下的期權(quán)定價問題研究[D].哈爾濱:哈爾濱工程大學,2012.

[6]HU Y.Fractional white noise calculus and applications to finance[J].Infinite Dimensional Analysis,Quantum Probability and Related Topics,2003,6(1):1-32.

[7]KNIGHT F H.Risk Uncertainty and Profit[M].Boston:Houghton Mifflin,1921.

[8]CHEN Z J,EPSTEIN L.Ambiguity,risk,and asset return in continuous- time[J].Econometrica,2002,70:1403-1433.

[9]PARDOUX E,PENG S.Adapted solution of a backward stochastic differential equation[J].Systems and Control Letters,1990,14(1):55-61.

[10]張慧,聶秀山.Knight不確定環(huán)境下歐式期權(quán)的最小定價模型[J].山東大學學報(理學版),2007,42(11):121-126.

ZHANG Hui,NIE Xiushan.Minimal pricing models of European stock options under knight uncertainty[J].Journal of Shandong University(Natural Science),2007,42(11):121-126.

[11]韓立巖,周娟.Knight不確定環(huán)境下基于模糊測度的期權(quán)定價模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2007,27(12):123- 131.

HAN Liyan,ZHOU Juan.Option pricing with fuzzy measures under knightian uncertainty[J].System Engineering Theory and Practice,2007,27(12):123-131.

[12]費文銀,李淑娟.Knight不確定環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)投資和消費模型研究[J].工程數(shù)學學報，2012,29(6):799-806.

FEI Wenyin,LI Shujuan.Study on optimal consumption and portfolio with inflation under knightian uncertainty[J].Chinese Journal of Engineering Mathematicas,2012,29(6):799-806.

[13]王向榮,孟令巧,張婉婷.不確定環(huán)境下彩虹期權(quán)價格上下界的估計[J].科技創(chuàng)新導報,2013(7):222-226.

WANG Xiangrong,MENG Lingqiao.ZHANG Wanting.Upper and lower bounds on rainbow option prices under uncertainty[J].Science and Technology Innovation Herald,2013(7):222-226.

[14]黃虹,王向榮.Knight不確定環(huán)境下Lēvy市場中的期權(quán)定價[J].數(shù)學的實踐與認識,2016，46(20):87-92.

HUANG Hong,WANG Xiangrong.Option pricing under knight uncertainty in Lēvy market[J].Mathematicas in Practice and Theory,2016，46(20):87-92.

[15]陳松男.金融工程學[M].上海：復旦大學出版社,2002.