李彥喆

【摘要】充要條件是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是數(shù)學(xué)邏輯推理的重要基礎(chǔ)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文從聯(lián)系日常語言，結(jié)合簡單數(shù)學(xué)命題，利用命題等價(jià)性，利用集合間的包含關(guān)系等四個(gè)方面思考如何更好地理解和判斷充要條件，希望能對(duì)充要條件的學(xué)習(xí)提供一定的借鑒價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】充要條件；理解；判斷

中學(xué)數(shù)學(xué)選修內(nèi)容的第一章是簡易邏輯，其中的充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念之一，它主要討論了命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，目的是為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是數(shù)學(xué)邏輯推理的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，同時(shí)它又是準(zhǔn)確定義其他概念、定理的載體.但身邊的很多同學(xué)總是弄不清充分不必要、必要不充分、充要到底是怎么回事，教師也說充要條件的判斷是中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).通過教師的講解和自己的琢磨，筆者發(fā)現(xiàn)是教材中的定義方法不易被理解，作為高中生怎樣學(xué)好充要條件，筆者的分析如下.

一、聯(lián)系日常語言理解充分條件與必要條件

數(shù)學(xué)上的充分條件、必要條件的“充分”“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”“必要”意義相近，因此，可以通過生活實(shí)際理解充分條件與必要條件.例如，適當(dāng)?shù)臏囟仁欠N子發(fā)芽的必要條件，意思是沒有適當(dāng)?shù)臏囟龋N子就不會(huì)發(fā)芽，“適當(dāng)?shù)臏囟取边@個(gè)條件對(duì)“種子發(fā)芽”這個(gè)結(jié)論是必不可少的.再如，天下雨是道路濕的充分條件，意思是只要有“天下雨”這個(gè)條件就有“道路濕”這個(gè)結(jié)論.“天下雨”這個(gè)條件對(duì)“道路濕”這個(gè)結(jié)論的成立是充分的.生活中的“只要”有什么樣的條件就有什么樣的結(jié)論，其實(shí)說的就是“條件”是“結(jié)論”的充分條件.日常語言中的要達(dá)到什么樣的“結(jié)果”，“必須”有什么樣的“條件”，其實(shí)說的就是“條件”是“結(jié)果”的必要條件.

這樣就很容易明白除了極個(gè)別的特例，通常情況下，勤奮是成為學(xué)霸的必要條件，不是充分條件，也不是充要條件.因?yàn)榇蠹叶贾?，勤奮不一定能成為學(xué)霸，而哪一個(gè)學(xué)霸不是辛勤努力的結(jié)果？勤奮不等于學(xué)霸，所以勤奮也不是成為學(xué)霸的充要條件.

數(shù)學(xué)語言來自于生活語言，所以，在學(xué)習(xí)中，要利用對(duì)“充分”“必要”的感性認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)中的充分條件與必要條件的概念.

二、結(jié)合簡單的數(shù)學(xué)命題掌握充分條件與必要條件

有了對(duì)“充分”“必要”的感性認(rèn)識(shí)，結(jié)合比較簡單的數(shù)學(xué)命題，就能夠切實(shí)理解教材中的定義.例如，x=0是xy=0的充分條件，我們可以說，只要有“x=0”這個(gè)“條件”就有“xy=0”這個(gè)“結(jié)論”，條件“x=0”對(duì)結(jié)論“xy=0”是充分的.一般地，如果命題若p則q為真，即條件p結(jié)論q，則條件p是結(jié)論q的充分條件.

如果以“xy=0”為條件，“x=0”為結(jié)論，因?yàn)閤y=0x=0，所以條件不是結(jié)論的充分條件，而沒有“xy=0”這個(gè)條件就沒有“x=0”這個(gè)結(jié)論，也就是說，條件“xy=0”對(duì)結(jié)論“x=0”的成立是必要的，正如前面所說“適當(dāng)?shù)臏囟取笔恰胺N子發(fā)芽”的必要條件，其中蘊(yùn)藏著結(jié)論能夠推出條件一樣，我們說條件“xy=0”是結(jié)論“x=0”的必要條件，其實(shí)是因?yàn)榻Y(jié)論“x=0”能夠推出條件“xy=0”.一般地，如果結(jié)論q條件p，則條件p是結(jié)論q的必要條件.

如果條件p結(jié)論q且結(jié)論q條件p，即條件p結(jié)論q，那么，條件既是結(jié)論的充分條件又是結(jié)論的必要條件，即條件是結(jié)論的充要條件.

從以上定義的產(chǎn)生過程中不難看出，判斷充分必要條件時(shí)，一定要分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，條件是否能推出結(jié)論，結(jié)論是否能推出條件.還要清楚，充分條件、必要條件主要是對(duì)準(zhǔn)條件說話的.

三、用命題的等價(jià)性判斷充分必要條件

四個(gè)命題與充分必要條件的關(guān)系可歸結(jié)為：

1.如果原命題為真，即條件p結(jié)論q，而其逆命題為假，即結(jié)論q條件p，則條件是結(jié)論的充分而不必要條件.

2.如果原命題為假，而逆命題為真，即條件p結(jié)論q，但結(jié)論q條件p，則條件p是結(jié)論q的必要而不充分條件.

3.如果原命題和逆命題同真，則條件是結(jié)論的充要條件.

4.如果原命題與逆命題同假，則條件既不是結(jié)論的充分條件，也不是結(jié)論的必要條件.

所以，我們判斷了原命題和逆命題的真假就判斷了條件的充分性與必要性.在判斷一些命題的真假時(shí)，還可以利用四種命題的等價(jià)性，即原命題與逆否命題同真假.

例如，（x-2）（x-3）≠0是x-2≠0的什么條件？

因?yàn)樵}的逆否命題是：若x-2=0，則（x-2）（x-3）=0，顯然為真，所以原命題為真，而原命題的否命題“若（x-2）（x-3）=0，則x-2=0”為假，所以原命題的逆命題為假，從而得到本題中的條件是結(jié)論成立的充分而不必要條件.

四、利用集合間的包含關(guān)系判斷充分條件與必要條件

我們把條件p所反映的內(nèi)容（可以是數(shù)、點(diǎn)或圖形等）用集合P來表示，把結(jié)論q所反映的內(nèi)容用集合Q來表示，若條件p結(jié)論q，那么，如果元素x∈P，則x∈Q，即PQ.從集合角度理解：

1.pq，當(dāng)于PQ，即 或 .

即要使x∈Q成立，只要x∈P就足夠了——有它就行，所以條件是結(jié)論的充分條件.

2.qp，相當(dāng)于PQ，即 或 .

即為使x∈Q成立，必須使x∈P——缺它不行.

3.pq，相當(dāng)于P=Q，即 .

即條件和結(jié)論刻畫的是同一事物，能夠互相推出.

從集合的角度判斷充要條件，可以解決一些比較復(fù)雜的問題.

例如，p：x=2或x=3，q：x-3=3-x，p是q的什么條件？

解 方程x-3=3-x的解集為Q={x|x=3}，

P={x|x=3或x=2}，Q={x|x=3}，所以，PQ，p是q的必要不充分條件.

再如，p：x2x+3=x2，q：2x+3=x2，p是q的什么條件？

方程x2x+3=x2的解集為P={x|x=0或x=3}，

方程2x+3=x2的解集為Q={x|x=-1或x=3}，集合P和集合Q沒有包含關(guān)系，所以，p既不是q的充分條件也不是q的必要條件.

聯(lián)系日常語言理解“充分”“必要”的意義；結(jié)合簡單數(shù)學(xué)命題掌握充分條件和必要條件的概念；靈活運(yùn)用命題的等價(jià)性，通過判斷原命題和逆命題的真假達(dá)到判斷是充分條件還是必要條件的目的；從集合的角度深化對(duì)充要條件概念的認(rèn)識(shí)，運(yùn)用集合的包含關(guān)系判斷條件和結(jié)論的關(guān)系，進(jìn)而得到判斷充要條件的一般解題策略.當(dāng)然，我們還需要把其他章節(jié)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)好，才能把充要條件的題目一網(wǎng)打盡.

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