渠懷蓮

一、凸顯信息化教學(xué)優(yōu)勢(shì)

依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用幾何畫(huà)板作出導(dǎo)函數(shù)圖像，學(xué)生很容易體會(huì)到求導(dǎo)公式的生成過(guò)程.本章側(cè)重于對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，通過(guò)大量的實(shí)例由淺入深，由表及里，層層展示出其數(shù)學(xué)思想與方法，“局部以直代曲”的辯證思想逐步引申，建立起導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論.

經(jīng)過(guò)前面近5課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了平均變化率、瞬時(shí)變化率，以及導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義等相關(guān)知識(shí)，初步領(lǐng)悟了由特殊到一般、由具體到抽象等研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想方法.

二、激活數(shù)學(xué)微實(shí)驗(yàn)探究

教學(xué)目標(biāo)：1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解；

2.掌握利用導(dǎo)數(shù)公式表求簡(jiǎn)單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法；

3.體會(huì)建立數(shù)學(xué)理論的過(guò)程，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的一般方法，進(jìn)一步發(fā)展思維能力.

重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)公式表求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

難點(diǎn)：通過(guò)概括、推廣并猜想出冪函數(shù)的求導(dǎo)公式.

教法、學(xué)法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)；自主探究法、合作學(xué)習(xí)法等.

教學(xué)工具：普羅米修斯交互式電子白板、幾何畫(huà)板、多媒體投影機(jī)等.

教學(xué)過(guò)程：

（一）問(wèn)題情境

在上一節(jié)中，我們用割線(xiàn)逼近切線(xiàn)的方法引入了導(dǎo)數(shù)的概念，那么如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？（求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般步驟.gsp）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)回顧函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義，過(guò)渡到導(dǎo)函數(shù)的概念，并歸納出求導(dǎo)數(shù)的一般步驟.此處用幾何畫(huà)板演示“割線(xiàn)逼近切線(xiàn)”的過(guò)程及切點(diǎn)運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)切線(xiàn)變化的過(guò)程，得出各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是自變量x的函數(shù)即導(dǎo)函數(shù).

（二）探究活動(dòng)

用導(dǎo)數(shù)的定義求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）f（x）=kx+b；（2）f（x）=C；（3）f（x）=x；（4）f（x）=x2；（5）f（x）=x3.（多媒體展臺(tái)學(xué)生解答）

思考 由上面（3）、（4）及（5）的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律嗎？

答案 （xn）′=nxn-1（n∈N*）.

證明 方法一：數(shù)學(xué)歸納法（略）.

方法二：利用二項(xiàng)式定理（略）.

方法三：令a=x+Δx，b=x，

（4）ΔyΔx=a2-b2a-b=（a-b）（a+b）a-b=a+b.

（5）ΔyΔx=a3-b3a-b=（a-b）（a2+ab+b2）a-b=a2+ab+b2.

方法四：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式證明：

an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn=an+1-bn+1a-b，

其中n∈N*，a，b是不為0的常數(shù)，且a≠b.

證明 當(dāng)n=1時(shí)，由（3）知成立；

當(dāng)n≥2時(shí)，令a=x+Δx，b=x，由預(yù)備公式知：

（x+Δx）n-xn（x+Δx）-x=（x+Δx）n-1+（x+Δx）n-2x+（x+Δx）n-3x2+…+xn-1，

并注意到，當(dāng)Δx→0時(shí)，（x+Δx）n-1-kxk→xn-1，其中k=0，1，…，（n-1），共n項(xiàng)，

所以，當(dāng)Δx→0時(shí)，（x+Δx）n-xnΔx→nxn-1，

即（xn）′=nxn-1（n∈N*）.

這里的n對(duì)正整數(shù)及零都成立，那么是否對(duì)負(fù)整數(shù)適用，甚至分?jǐn)?shù)呢？我們現(xiàn)在驗(yàn)證一下：

（6）f（x）=1x；

（7）f（x）=x.（多媒體展臺(tái)學(xué)生解答）

事實(shí)上，在我們的猜想中，公式（xn）′=nxn-1（n∈N*）指數(shù)為無(wú)理數(shù)時(shí)也成立，比如，n=2.因我們所學(xué)知識(shí)有限，現(xiàn)在還不能給出詳盡的證明.

結(jié)論：（xα）′=αxα-1（α為常數(shù)）.

設(shè)計(jì)意圖 充分調(diào)動(dòng)學(xué)生探究求導(dǎo)公式的生成過(guò)程及理論支撐，引導(dǎo)學(xué)生用定義推導(dǎo)幾個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，注重規(guī)范化書(shū)寫(xiě)的常規(guī)訓(xùn)練；同時(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想和內(nèi)涵以及歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.

（三）回顧小結(jié)

在線(xiàn)查詢(xún)導(dǎo)數(shù)：http：//baike.baidu.com/view/30958.htm

1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法.

2.掌握幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義求法和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

3.研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法：由特殊到一般、由具體到抽象.

（四）作業(yè)要求

1.完成教材P20第5、6、7題；

2.課外探究：自選基本初等函數(shù)求導(dǎo)表中一個(gè)公式證明.

教學(xué)反思：

1.凸顯信息化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)

教學(xué)中充分運(yùn)用交互式電子白板、幾何畫(huà)板、網(wǎng)絡(luò)資源等將抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)具體化、形象化，吸引學(xué)生注意力及提升學(xué)生的探究興趣.在平時(shí)教學(xué)中，要多利用信息技術(shù)的功能優(yōu)勢(shì)調(diào)控教學(xué)活動(dòng)，將其恰當(dāng)?shù)刈鳛橘Y源環(huán)境、交流環(huán)境、知識(shí)表達(dá)與加工工具，引導(dǎo)學(xué)生有效地投入到學(xué)習(xí)與探究之中，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展.

2.體現(xiàn)新課標(biāo)調(diào)控的理念

在冪函數(shù)求導(dǎo)公式的探究過(guò)程中，依指數(shù)的取值情境——正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)及無(wú)理數(shù)進(jìn)行有效探究，并給出了指數(shù)是正整數(shù)時(shí)的證明，利用了等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)出知識(shí)點(diǎn)的融合及網(wǎng)絡(luò)框架建構(gòu)的歷程.讓學(xué)生體會(huì)建立數(shù)學(xué)理論的過(guò)程，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的一般方法，進(jìn)一步發(fā)展思維能力.

3.打破中庸化思維的束縛

教學(xué)中要依據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行高效教學(xué)，對(duì)于本節(jié)知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，如果僅講授幾個(gè)公式的運(yùn)用，而沒(méi)有相應(yīng)的生成過(guò)程及理論支撐，學(xué)生的思維層次是無(wú)法提升到一定高度的.在平時(shí)教學(xué)中，我們就要敢于打破中庸化思維的束縛——不求出彩但求無(wú)錯(cuò)，真正為學(xué)生的思維發(fā)展奠基，關(guān)注學(xué)生的終身發(fā)展，而不是一味地盯住分?jǐn)?shù)，陷于題海，做無(wú)盡頭的機(jī)械訓(xùn)練.

【參考文獻(xiàn)】

[1]范暉.“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（2）：25-26.

[2]陳孟算，陳敬星.“導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的難點(diǎn)及解決方法舉例”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（17）：20-21.endprint