張偉鋒

【摘要】本文對(duì)直線與動(dòng)圓的位置關(guān)系、用直線與圓的方程解決幾何問題、利用直線與圓的方程解決實(shí)際問題這三類情況進(jìn)行討論.以期對(duì)直線與圓的方程教學(xué)有所參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；直線與圓方程；解題探索

直線與圓的方程是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，由于直線與圓的方程包含內(nèi)容比較多，題目的類型非常靈活.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)直線與動(dòng)圓位置關(guān)系、用直線與圓方程解決幾何問題、利用直線與圓方程解決實(shí)際問題這三類情況進(jìn)行討論.

一、直線與動(dòng)圓位置關(guān)系的參數(shù)問題

判斷直線與圓的位置關(guān)系是解決許多問題的基礎(chǔ)，其常用判斷方法有兩種：一是求出圓心到直線的距離再與半徑比較；二是把直線方程代入到圓的方程中，得到一元二次方程，再根據(jù)判別式來判斷.在討論直線與動(dòng)圓的位置關(guān)系時(shí)需要靈活運(yùn)用這些條件來判斷.

例1 已知圓的方程如下：x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.

（1）求證：無論m取什么值，該圓的圓心都在同一條直線L上.

（2）和L平行的直線中有哪些直線和該圓相離、相切、相交？

（3）證明：任意一條和L平行并且和圓相交的直線被圓截得的弦長(zhǎng)是相等的.

解析 （1）對(duì)圓的方程進(jìn)行配方，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式（x-3m）2+[y-（m-1）]2=25（m∈R）.設(shè)動(dòng)圓的圓心是（x，y），所以x=3m，y=m-1， 消除m后可得直線L方程是：L：x-3y-3=0，圓心在此直線L上，因?yàn)橹本€L方程與m無關(guān)，所以無論m取什么值圓心都在直線L上.

（2）假如和直線L平行的直線方程是：L1：x-3y+b=0，則圓心到直線L1的距離是：d=|3m-3（m-1）+b|10=|3+b|10，∵圓的半徑r=5，∴當(dāng)dr時(shí)，即b>510-3時(shí)，直線與圓相離.

（3）∵L1：x-3y+b=0與直線L平行，并且圓心到L1的距離是d=|3+b|10，∴弦長(zhǎng)=r2-d2=225-（3+b）210，由此看出弦長(zhǎng)與m無關(guān)，本題得到證明.

點(diǎn)評(píng) 解決直線與動(dòng)圓的位置關(guān)系既可用代數(shù)法，又可用幾何法，但幾何法比代數(shù)法運(yùn)算量小，而且也比較形象直觀，因此，解答此類題目常用幾何法.

二、利用直線與圓方程解決幾何問題

利用直線與圓的方程可以方便、快速解決平面幾何中的一些問題，從而使平面幾何題的證明又增添了一種新的方法和手段.

圖1

例2 如圖1所示，在一個(gè)圓O上任意取一點(diǎn)C，再以此點(diǎn)為圓心作圓C，并且讓圓C和圓O的直徑AB在D點(diǎn)相切，兩個(gè)圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，已知EF與CD相交于P點(diǎn).求證：線段EF平分CD.

解析 本題用數(shù)形結(jié)合的方法可容易證明.

以圓O直徑AB所在直線建立x軸，以圓O圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立坐標(biāo)系.假設(shè)（AB）=2r（r>0），D點(diǎn)坐標(biāo)是（a，0）（0

點(diǎn)評(píng) 利用直線與圓的方程來解決平面幾何問題，其解題思路是數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用.“以數(shù)輔形”和“以形助數(shù)”是解題的常用方程，通過兩者的結(jié)合就能快速找到解題的思路與方法.

三、利用直線與圓方程解決實(shí)際問題

利用直線與圓方程解決生活中的實(shí)際問題，每年都會(huì)在高考大題中出現(xiàn)，對(duì)此應(yīng)高度重視.在學(xué)習(xí)直線與圓的方程這部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)特別重視其在解答實(shí)際問題中的靈活應(yīng)用.

例3 在某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有P，Q兩個(gè)景點(diǎn)，它們?cè)谝粭l公路的同側(cè)，兩景點(diǎn)分別距離公路是2 km，22 km，且P，Q兩點(diǎn)之間距離是2 km.如果要在公路上建立一個(gè)觀景點(diǎn)，使P，Q兩個(gè)景點(diǎn)在進(jìn)入人的視線時(shí)有最好的拍攝與觀賞效果，問這個(gè)景觀點(diǎn)應(yīng)位于何處？

圖2

解析 要想使P，Q兩個(gè)景點(diǎn)有最佳的觀賞效果，就要使觀景點(diǎn)對(duì)P，Q有最大的角度，根據(jù)平面幾何知識(shí)可得出，景觀點(diǎn)是過P，Q這兩點(diǎn)的圓與公路所在直線的切點(diǎn).可利用直線與圓的方程來解決.假設(shè)以公路所在直線建立x軸，過B點(diǎn)建立y軸來建立直角坐標(biāo)系.從圖中知兩點(diǎn)坐標(biāo)是：P（2，2），Q（0，22），假設(shè)圓方程是（x-a）2+（y-b）2=b2，因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)在圓上，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程中得（2-a）2+（2+b）2=b2，a2+（22-b）2=b2， 解方程可求出a=0，b=2 或a=42，b=52， 根據(jù)實(shí)際情況可知a=0，b=2 符合題意要求，所以圓的方程是：x2+（y-2）2=2，從圖中可看出圓的切點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，即景觀的設(shè)置點(diǎn)為O.

點(diǎn)評(píng) 解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，再結(jié)合平面幾何知識(shí)來分析曲線的形狀，然后求出曲線的軌跡方程，就能使問題解決.

總之，直線與圓方程應(yīng)用范圍非常廣泛，因此，在求解直線與圓的方程問題時(shí)，應(yīng)遵循“一建二算三譯”的解題思路.即建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；再通過代數(shù)運(yùn)算，來解決代數(shù)問題；最后把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論，就能把問題解決.