張長(zhǎng)耀 王坤 鄭燦偉 劉秀麗

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，在解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，往往可以將抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.在歷年高考中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想都有不同形式考查，本文結(jié)合近幾年高考中涉及的題目，舉例探討了數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；解題

【基金項(xiàng)目】2015年度自治區(qū)教學(xué)研究改革項(xiàng)目《基于培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的大學(xué)數(shù)學(xué)模式探索》（藏教高[2015]17號(hào)）研究成果.

數(shù)學(xué)上把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)理解，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的方法，就稱(chēng)為數(shù)形結(jié)合思想[1].數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想，它貫穿著整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，是新課標(biāo)要求注重的數(shù)學(xué)思想之一.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)需要借助圖形來(lái)直觀生動(dòng)的解釋數(shù)量之間的聯(lián)系，即“以形助數(shù)”；有時(shí)需要通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系把幾何圖形問(wèn)題代數(shù)化，借助數(shù)量的精確性和嚴(yán)密性來(lái)具體地說(shuō)明事物的特征，即“以數(shù)解形”.數(shù)形結(jié)合往往可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而使很多數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解，而且解法簡(jiǎn)捷.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”[2]，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路.歷年的高考題中，都會(huì)有些題目通過(guò)不同的形式對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行考查，在本文中，筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合近幾年高考中涉及的題目類(lèi)型，通過(guò)一些例子來(lái)探討數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決絕對(duì)值問(wèn)題

例1 （2015年山東卷）解不等式|x-1|-|x-5|<2.

分析 如圖1所示，題中抽象的數(shù)字1，5用數(shù)軸上的點(diǎn)A，B來(lái)表示，|x-1|，|x-5|分別表示點(diǎn)x到點(diǎn)A，B的距離.設(shè)有一點(diǎn)C，使得|AC|-|CB|=2，由圖可知，C表示數(shù)4，而|x-1|-|x-5|<2表示x在C的左側(cè)，所以原不等式的解集為（-∞，4）.

此題利用絕對(duì)值在數(shù)軸上的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，避免了分段討論的復(fù)雜過(guò)程，達(dá)到了以簡(jiǎn)馭繁的目的.

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決線性規(guī)劃問(wèn)題

例2 （2014年山東卷）已知x，y滿(mǎn)足約束條件x-y-1≤0，2x-y-3≥0， 求當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值25時(shí)，a2+b2的最小值.

分析 以變量x為橫坐標(biāo)軸，y為縱坐標(biāo)軸畫(huà)出直角坐標(biāo)系.圖示約束條件，找出可行域，見(jiàn)圖2陰影部分.圖示目標(biāo)函數(shù)，由于z是一個(gè)要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值，隨z的變化，z=ax+by是斜率為-ba的一組平行的直線，當(dāng)代表目標(biāo)函數(shù)的那條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取到最小值25.點(diǎn)E的坐標(biāo)可由求解直線方程x-y-1=0和2x-y-3=0得到，為E（2，1），即2a+b=25.該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)a>0，b>0且2a+b=25時(shí)，求a2+b2的最小值.如圖3，2a+b=25的圖像表示線段AB，而a2+b2就是線段上點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離（a-0）2+（b-0）2的平方，已知線段AB上點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小為|-25|22+12=2，故在該約束條件下取到最小值25時(shí)，a2+b2的最小值為4.

對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題，可以通過(guò)在平面上作圖的方法求解.具體的步驟可概括為：在平面上建立直角坐標(biāo)系；圖示約束條件，找出可行域或判別是否存在可行域；圖示目標(biāo)函數(shù)，尋找最優(yōu)解.通過(guò)作圖求解線性規(guī)劃問(wèn)題，解法簡(jiǎn)單直觀.

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)方面的問(wèn)題

例3 （2015年全國(guó)卷）設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足1+z1-z=i，則|z|=（ ）.

分析 如圖4所示，設(shè)BC=z，則BD=-z，故有B，C，D三點(diǎn)共線，從而有AC=1+z，AD=1-z.由已知，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足1+z1-z=i，根據(jù)復(fù)數(shù)除法的幾何意義，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的結(jié)果是一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)的模是相除的兩復(fù)數(shù)模的商，幅角是相除兩復(fù)數(shù)幅角的差.從而有|1+z|=|1-z|，且∠COD=π2，又B是CD的中點(diǎn)，所以|z|=|AB|=|BC|=|BD|=1.

復(fù)數(shù)與形具有緊密的聯(lián)系，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，可以將復(fù)數(shù)和直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)以及平面向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義采用數(shù)形結(jié)合的方法將問(wèn)題化為幾何問(wèn)題，可達(dá)到事半功倍，化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.

四、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題

例4 （2015年全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）<0，求a的取值范圍.

分析 首先，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，f′（x）=ex（2x+1）-a，令f′（x）=0，得ex（2x+1）-a=0，即f（x）的駐點(diǎn)滿(mǎn)足方程2x+1=ae-x，令g（x）=2x+1，h（x）=ae-x，方程2x+1=ae-x的解即是g（x）和h（x）表示的圖像的交點(diǎn).如圖5所示，g（x）=h（x）有唯一解x*，當(dāng)xx*時(shí)，g（x）>h（x），即f′（x）>0.所以當(dāng)xx*時(shí)，f（x）單調(diào)遞增.其次，觀察到f（0）=-1+a<0，故要使f（x）存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）<0，必有f（-1）=-3e-1+2a≥0，f（1）=e≥0，從而解得32e≤a<1.

本題目中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將求函數(shù)駐點(diǎn)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為圖形上兩條曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用圖形來(lái)說(shuō)明簡(jiǎn)單明了，從而將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

五、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決立體幾何問(wèn)題

例5 如圖6所示，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，∠ABC=60°，EC⊥面ABCD，F(xiàn)A⊥面ABCD，G為BF的中點(diǎn).若EG∥面ABCD，AF=AB，求二面角B-EF-D的余弦值.

分析 建立如圖7所示的坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則B（3，0，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，-1，2），D（-3，0，0），EF=（0，-2，1），EB=（3，-1，-1），DE=（3，1，1）.設(shè)平面BEF的法向量n1=（x，y，z），則-2y+z=0，3x-y-z=0， 令y=1，則z=2，x=3，所以n1=（3，1，2）.

同理可求得平面DEF的法向量n2=（-3，1，2）.

設(shè)所求二面角的平面角為θ，則cosθ=-14.

通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將立體幾何中的點(diǎn)、線、面等對(duì)象用數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)演，進(jìn)而獲得幾何結(jié)論，可以大大降低幾何推理的難度.

通過(guò)以上幾個(gè)方面，我們更加深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)解題中的一種重要方法，在解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，能給我們解題帶來(lái)一種全新的思路，能避免復(fù)雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張志鋒.淺談數(shù)形結(jié)合思想[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（5）：145-147.

[2]黃迎艷.淺析“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].讀與寫(xiě)（教育教學(xué)刊），2014（3）：251-252.

[3]王淑萍.利用數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的聯(lián)想能力[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（2）：61-62.

[4]林福珠.數(shù)形結(jié)合，例題解析[J].學(xué)周刊，2012（1）：145.