江蘇省南京市鐘英中學(xué)(210002) 袁秀

在中考復(fù)習(xí)過程中,數(shù)學(xué)教師經(jīng)常面臨這樣的困境:要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)多,資料紛繁,不知如何整合、優(yōu)化設(shè)計(jì),使得中考復(fù)習(xí)即能起到復(fù)習(xí)鞏固的效果,又能從已有知識(shí)中學(xué)到新的內(nèi)容,從而提高中考復(fù)習(xí)課堂效率.現(xiàn)結(jié)合筆者最近開設(shè)的中考一輪復(fù)習(xí)之“5.1圖形的變換”的研究課,談?wù)剝?yōu)化設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案的一些做法與想法,以供大家研討.

一、案例呈現(xiàn)

【課 前熱身】

1.下列幾何圖形中,一定是軸對(duì)稱圖形的有(）

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

2.將左圖所示的圖案按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90?后可以得到的圖案是(）

3.如圖,△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80?到△OCD的位置,已知∠AOB=45?,則∠AOD等于(）

A.55?B.45?C.40?D.35?

(第 3 題)

4.將線段AB向右平移1cm,得到線段A′B′,則對(duì)應(yīng)點(diǎn)

5.如圖,菱形 ABCD(圖1)與菱形 EFGH(圖2)的形狀、大小完全相同.

圖1

圖2

(1)如果圖1經(jīng)過一次平移后得到圖2,那么點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是____;

(2)如果圖1經(jīng)過一次軸對(duì)稱后得到圖2,那么點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是___;

(3)如果圖1經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后得到圖2,那么點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是____.

設(shè)計(jì)說明 通過選擇、填空的的形式考查了平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的基本概念的知識(shí)點(diǎn),學(xué)生課前利用神算子軟件獨(dú)立完成,非滿分同學(xué)鼓勵(lì)重做,神算子軟件及時(shí)分析全班學(xué)生掌握情況、每題正確率以及學(xué)生錯(cuò)誤名單和錯(cuò)誤原因,便于課上有針對(duì)的講解錯(cuò)誤題目,本環(huán)節(jié)為學(xué)生打開回顧的一扇窗,開闊視野,豐厚沉淀.

【知 識(shí)回顧】

構(gòu)建本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖:

設(shè)計(jì)說明 請(qǐng)學(xué)生表述線段AB如何變換到線段AB,通過學(xué)生的表述回顧平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的要素以及變換前后圖形之間的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的性質(zhì).若一位學(xué)生表述不完整再請(qǐng)其他同學(xué)幫忙,充分留給學(xué)生表述的時(shí)間,只有表述清楚變換過程才能幫助學(xué)生充分回顧各變換的要素及性質(zhì),而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的性質(zhì)要一一板書在黑板上,便于后面完成典型例題.

【典 型例題】

例1如圖,已知△ABC.

(1)以直線l為對(duì)稱軸,畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1(畫圖工具不限);

(2)將△A1B1C1向右平移,得到△A2B2C2,其中A2是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn),請(qǐng)畫出△A2B2C2(畫圖工具不限).

思考 畫圖時(shí)有什么注意事項(xiàng)?

請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成例1,利用希沃授課助手及時(shí)展示學(xué)生的典型錯(cuò)誤、典型畫法,同學(xué)之間相互點(diǎn)評(píng),找出畫圖不足:○1審題不清,將△ABC向右平移,得到△A2B2C2;○2沒有作圖痕跡,畫對(duì)稱時(shí)沒有垂直符號(hào);○3沒有下結(jié)論.分析畫圖依據(jù):○1根據(jù)全等的性質(zhì)尺規(guī)作圖;○2根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系畫圖,充分體現(xiàn)了知識(shí)回顧的重要性.

例1變式 把一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對(duì)稱變換,再沿著與這條直線平行的方向平移,我們把這樣的圖形變換叫做滑動(dòng)對(duì)稱變換.在自然界和日常生活中,大量地存在這種圖形變換(如圖1).結(jié)合軸對(duì)稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì),你認(rèn)為在滑動(dòng)對(duì)稱變換過程中,兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形(如圖2)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是.

圖1

圖2

請(qǐng)學(xué)生審題發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是要探究例1中點(diǎn)B與點(diǎn)B2的關(guān)系,根據(jù)黑板上板書的平移及軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)性質(zhì)容易想到連接BB2,連接后引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測(cè)BB2被對(duì)稱軸平分,鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言,講解不同方法:①利用角(對(duì)頂角)角(直角)邊(軸對(duì)稱性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分及平行線之間的距離相等)證明全等得出結(jié)論;②利用平移性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行得出相似,再利用軸對(duì)稱性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分得出BB2被對(duì)稱軸平分.

設(shè)計(jì)說明 例1的畫圖是對(duì)軸對(duì)稱、平移性質(zhì)應(yīng)用的直接考查,學(xué)生可以利用兩個(gè)性質(zhì)采用兩種方法畫圖,及時(shí)鞏固剛剛回顧的知識(shí)點(diǎn).另外例1是將一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對(duì)稱,再沿著直線平移,將一個(gè)圖形進(jìn)行了兩次變換我們稱為復(fù)合變換,為下面引導(dǎo)學(xué)生探究變式作了很好的鋪墊.

例1的變式是引導(dǎo)學(xué)生利用軸對(duì)稱和平移性質(zhì)探究復(fù)合變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的性質(zhì),將軸對(duì)稱和平移兩個(gè)變換有效整合,,不僅復(fù)習(xí)鞏固了軸對(duì)稱、平移的性質(zhì),還從已有知識(shí)中探究了復(fù)合變換的性質(zhì),使得學(xué)生的思維上升一定的高度.

例 2 如 圖,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90?,點(diǎn) D 在 BC 的 延長(zhǎng)線上,且BD=AB.過點(diǎn)B作BE⊥AC,與BD的垂線DE交于點(diǎn)E.

圖

(1)求證:△ABC ～= △BDE;

(2)△BDE可由△ABC旋轉(zhuǎn)得到,利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心O(保留作圖痕跡,不寫作法).

請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成,并請(qǐng)學(xué)生代表講解第(2)題尺規(guī)作圖的依據(jù):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,由此想到旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線上,所以只要作AB、BD、CE中任意兩條線段的垂直平分線即可.

式中：wij為以距離規(guī)則定義的空間權(quán)重；xj為j區(qū)域的變量值。對(duì)Gi(d)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，若ZGi(d)為正，且統(tǒng)計(jì)顯著，則屬于高值聚集“熱點(diǎn)”區(qū)，即農(nóng)村居民點(diǎn)呈現(xiàn)局部的大規(guī)模斑塊集聚；若ZGi(d)為負(fù)，且統(tǒng)計(jì)顯著，則屬于低值聚集“冷點(diǎn)”區(qū)，農(nóng)村居民點(diǎn)斑塊規(guī)模低值集聚。

思考 (1)你還有其他方法作出旋轉(zhuǎn)中心O嗎?

作為數(shù)學(xué)教師,我們講解題目時(shí)應(yīng)該多問問學(xué)生:你還有其他方法解決這道題嗎?幫助學(xué)生多角度思考問題,學(xué)生思考無果,我提醒道:你看看這個(gè)圖形跟我們學(xué)過的哪個(gè)幾何圖形很像?但又有些缺失呢?你能補(bǔ)全圖形并根據(jù)它的性質(zhì)找到旋轉(zhuǎn)中心O嗎?有學(xué)生講正方形,請(qǐng)問他由什么條件想到正方形?學(xué)生答:∠ABC=90?且BD=AB.老師給予鼓勵(lì),讓學(xué)生畫出正方形,再問:補(bǔ)全正方形后,旋轉(zhuǎn)中心在哪呢?學(xué)生答:對(duì)角線的交點(diǎn).此題完美解決,并為解決思考(2)做好鋪墊.

(2)△ABC與△BDE的對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角有何關(guān)系?

學(xué)生很快找出對(duì)應(yīng)線段AB與BD、AC與BE、BC與DE所在直線的夾角及旋轉(zhuǎn)角∠AOB都為90?.例2中對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等,那么在一般的旋轉(zhuǎn)過程中,這個(gè)結(jié)論還成立嗎?引導(dǎo)學(xué)生再一次深層次的思考.

例2變式 已知線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段是 A′B′,直線 AB、直線A′B′的夾角與 ∠AOA′有何關(guān)系?(0 ＜∠AOA′＜180)

學(xué)生延長(zhǎng)線段AB、線段A′B′交與點(diǎn)M,發(fā)現(xiàn)∠AMB′與∠AOA′不相等,我說回頭看看剛剛都是90?的角之間除了相等還有什么關(guān)系?學(xué)生齊聲道:互補(bǔ).很好,請(qǐng)你們證明,我說.學(xué)生合作探究展示:連接OB、OB′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證 ∠OAB ～= △OA′B′(SSS),得出 ∠BAO= ∠A′,又由∠BAO+∠MAO=180?得∠A′+∠MAO=180?,根據(jù)四邊形AOA′M 內(nèi)角和360?得出 ∠AMB′+∠AOA′=180?.我再提問:那這道題的答案是什么呢?學(xué)生答道:互補(bǔ).我問:直線AB、直線A′B′的夾角有幾個(gè)?有什么關(guān)系?學(xué)生答:四個(gè),兩兩相等.我問:那請(qǐng)問這道題的答案是什么呢?學(xué)生恍然大悟,齊聲答道:相等或互補(bǔ).

設(shè)計(jì)說明 例2第(2)題的尺規(guī)作圖是對(duì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)應(yīng)用的直接考查,學(xué)生都利用“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”作對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線找到旋轉(zhuǎn)中心,及時(shí)鞏固一開始回顧的知識(shí)點(diǎn).

例2的變式是從例2的特殊到一般,結(jié)論是否成立?先猜想再驗(yàn)證,利用已有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)探究了在旋轉(zhuǎn)過程中對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系,既鞏固已有知識(shí),又學(xué)到了新的內(nèi)容.例2從2012年南京市一道中考題入手,到2016年南京市一道中考題的一個(gè)小片斷結(jié)束,合理優(yōu)化整合了兩道很好的中考題,讓學(xué)生根據(jù)導(dǎo)學(xué)案的引領(lǐng),既鞏固掌握了原有知識(shí),又接觸了新知識(shí),同時(shí)也調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

【學(xué) 習(xí)反饋】

1.選擇題

(1)下列四個(gè)圖形中,不能通過基本圖形平移得到的是(）

(2)將下面的左圖按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90?后的圖形是(）

(3)下列圖形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是(）

A.等邊三角形 B.正五邊形

C.平行四邊形 D.正十邊形

(4)將四邊形紙片ABCD按圖①方式折疊,恰使BC與DC重合,展開后如圖②所示,EC為折痕.再將該四邊形按圖③方式折疊,恰使AB與BC重疊,展開后如圖④所示,BD為折痕,則下列判斷正確的是(）

A.AB//CD B.AD//BC

C.DA=DC D.BC=AD

2.填空題

(1)如圖,F、G分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD 上的點(diǎn),CF=DG,連接 DF、EG.將 ∠DFC繞正五邊形的中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到∠EGD,旋轉(zhuǎn)角為α(0?＜ α ＜ 180?),則 ∠α =?.

(2)如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到矩形AB′C′D′的位置,旋轉(zhuǎn)角為α(0?＜ α ＜ 90?).若∠1=110?,則∠α=?.

設(shè)計(jì)說明 本環(huán)節(jié)學(xué)生獨(dú)立、快節(jié)奏的完成,以便鞏固所學(xué)知識(shí),加深對(duì)課堂所學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)的理解,由理論再回到實(shí)踐,利用神算子小測(cè)本及時(shí)檢測(cè),并及時(shí)反饋學(xué)生前測(cè)與后測(cè)的平均分對(duì)比、個(gè)體學(xué)生變化、各題正確率及錯(cuò)誤名單,這樣可以及時(shí)反饋學(xué)生課堂問題,讓中考復(fù)習(xí)課堂更高效.

二、案例反思

本節(jié)復(fù)習(xí)課導(dǎo)學(xué)案的優(yōu)化設(shè)計(jì)在于:

(1)導(dǎo)學(xué)案引導(dǎo)學(xué)生課前自主復(fù)習(xí),課堂自主學(xué)習(xí),課后自主鞏固,不論是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程還是教師的教學(xué)過程都緊緊圍繞導(dǎo)學(xué)案進(jìn)行;(2)導(dǎo)學(xué)案通過知識(shí)結(jié)構(gòu)圖將相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)化,讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)更全面、理解更加深入.能讓學(xué)生整體感知各知識(shí)點(diǎn)是相互聯(lián)系的,讓學(xué)生在不知不覺中獲得知識(shí),提高數(shù)學(xué)能力;

(3)導(dǎo)學(xué)案的題目編制由易到難,課前熱身以基礎(chǔ)知識(shí)為主,典型例題的設(shè)置在課前熱身的基礎(chǔ)上有所提高和變化,重在體現(xiàn)對(duì)平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解應(yīng)用和變式應(yīng)用,有一定的思考性和探索性,這在學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律上體現(xiàn)出了一種階梯性;

(4)導(dǎo)學(xué)案的問題設(shè)置層層遞進(jìn),環(huán)環(huán)相扣,通過問題串巧妙地將兩道中考題整合設(shè)計(jì)在一起,使得本節(jié)課即起到復(fù)習(xí)鞏固的效果,又能從已有知識(shí)中學(xué)到新的內(nèi)容,讓學(xué)生有一種把復(fù)習(xí)課上成新授課的味道,從而提高復(fù)習(xí)課堂效率.

總之,在中考一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中,導(dǎo)學(xué)案教學(xué)模式如何開展得更高效,還有很多方面值得研究和探討,我將繼續(xù)大膽實(shí)踐,合理優(yōu)化設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案,讓中考復(fù)習(xí)走向高效.