鄭 義, 趙新俊*

（石河子大學理學院數(shù)學系, 新疆 石河子 832003）

數(shù)學模型可以用于描述流行病的傳播，對疾病的預(yù)防以及控制起著重要的作用。在傳染病動力學中，主要采用的是由Kermack與McKendrick在1927年所建立的SIS和SIR倉室模型[1]。對于狐貍狂犬病、在家禽中傳播的布魯氏桿菌、AIDS等此類疾病，易感者被感染之后不會立即發(fā)病具有傳染力，而是先成為潛伏者，在潛伏期過后才會變?yōu)楦腥菊呔哂袀魅玖?，在潛伏期?nèi)潛伏者可能會遠離疾病傳播中心對其他人群分別進行傳染。為研究此類疾病傳播規(guī)律建立的模型為SEI流行病模型。

隨著數(shù)學理論的發(fā)展，經(jīng)典模型得到了不斷的變化與改進[2-3]，近年來分數(shù)階微積分被廣泛應(yīng)用到生物數(shù)學等一些領(lǐng)域[4-6]。隨著分數(shù)階微積分被引入流行病動力學中，依據(jù)分數(shù)階微積分所建立的模型具有整數(shù)階所不具備的性質(zhì)[7]。Korobeinikov[8]討論了多個平行傳染階段SIR和SEIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性；Aguila Camacho[9]等提出了Caputo型分數(shù)階導數(shù)的求導公式，解決了平方型函數(shù)的分數(shù)階求導問題；Vargas-De-Leon C[10]提出了Volterra 型Lyapunov函數(shù)的分數(shù)階求導公式。這些研究都對于構(gòu)造Lyapunov函數(shù)來證明平衡點的全局穩(wěn)定性提供了很大的幫助。

本文考慮多個平行傳染階段的分數(shù)階SEI流行病模型，對模型進行分析得到模型的平衡點與閾值，通過構(gòu)造相應(yīng)的 Lyapunov函數(shù)來討論平衡點的全局穩(wěn)定性。

1 模型引入

假設(shè)某一地區(qū)在時刻t的易感者、潛伏者、已感者3類分別記為 S ( t)、 E ( t)、 Ii( t)( i = 1 ,2,L, n ),設(shè) A 為進入該地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)，進入該地區(qū)的人口都將作為易感者。Korobeinikov所建立的SEI傳染病模型如下：

上式中：βjSIj為染病者感染易感者成為潛伏者的雙線性發(fā)生率，μ為自然死亡率， rj為感染者成為潛伏者的變化率，d為潛伏者的死亡率， γi為潛伏者成為感染者的變化率，δi為感染者的死亡率。

假設(shè)參數(shù)A、βj、μ、rj、d、γi、δi都是正數(shù)，并分別具有實際意義。下面給出分數(shù)階微積分的定義[11]。在本文中采用的是Caputo型的分數(shù)階導數(shù)。

定義1：函數(shù) f :R+→R 的α>0階分數(shù)階Caputo型導數(shù)的定義為

通過Caputo型分數(shù)階的定義，分數(shù)階動力系統(tǒng)的定義為

定義2： x0是分數(shù)階系統(tǒng)（3）的平衡點，當且僅當f( x, t0) = 0 。

本文研究的模型如下：

定義基本再生數(shù)為

2 平衡點的全局穩(wěn)定性

下面給出幾個關(guān)于Caputo型導數(shù)的求導公式。

引理1[11]：若C是常數(shù)，0α>階分數(shù)階Caputo

引理2[10]：若()x tR∈是連續(xù)可導函數(shù)，則對于任意的0tt≥都有

引理3：若()x tR∈是連續(xù)可導函數(shù)，則對于任意的0tt≥都有

引理1-3將會在對Lyapunov函數(shù)的求導中使用。下面給出判斷分數(shù)階動力系統(tǒng)平衡點全局穩(wěn)定性的 2個重要引理。

引理 4[12]（一致漸近穩(wěn)定性定理）：若 x*是分數(shù)階動力系統(tǒng)x( t) = f( t, x),α ∈ ( 0,1)的平衡點，? ∈Rn是一個包含 x*的區(qū)域，且 L ( t, x( t) ) :[0,∞)× ? → R 是連續(xù)可微函數(shù)，并滿足如下條件：

W1( x)、W2( x)、W3( x)是在?內(nèi)的連續(xù)正定函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定點是一致漸近穩(wěn)定性的。

引理5[2](Lasalle不變原理)：假設(shè)D是一個有界閉集,每個x( t) = f( x)的解從D內(nèi)的一點出發(fā)最終仍在D內(nèi)，如果存在V( x):D→R連續(xù)偏導數(shù)滿足下面條件是E的最大不變集。當t→∞時D中的每個解都將進入M，特別是當 M = { 0},那么t→∞, x → 0 。

定理 1：當 R0<1時，模型（4）存在無病平衡點，無病平衡點在區(qū)域內(nèi)是全局漸進穩(wěn)定的，即

證明：構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù), 其中

根據(jù)引理2對 V ( S, E, Ii) 求導得：

將式（4）中前兩式代入得：

定理2：當 R0> 1 時，模型（4）存在無病平衡點Q0以及地方病平衡點(i = 1 ,2,L ,n )地方病平衡點 Q*在區(qū)域內(nèi)是全局漸進穩(wěn)定的。

證明: 構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)，其中

根據(jù)引理2和引理3對 V ( S, E, Ii)求導得：

3 結(jié)論

本文在整數(shù)階SEI流行病模型的研究基礎(chǔ)上，將其推廣到分數(shù)階模型的情況，研究了一類具有標準發(fā)生率分數(shù)階SEI流行病模型，并構(gòu)造相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)判斷平衡點的全局穩(wěn)定性，得出以下結(jié)論：

（1）當 R0<1時，模型只存在無病平衡點 Q0，無病平衡點 Q0在區(qū)域內(nèi)是全局漸進穩(wěn)定的，疾病最終會在該地區(qū)最終滅絕不會流行。

（2）當 R0> 1 時，模型存在無病平衡點 Q0以及地方病平衡點 Q*，地方病平衡點 Q*在區(qū)域內(nèi)是全局漸進穩(wěn)定的。