徐梓涵

（江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 江蘇 常州 213000）

密度矩陣重整化群的學(xué)習(xí)

徐梓涵

（江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 江蘇 常州 213000）

在計(jì)算Kondo模型時(shí)，人們首先用蒙特卡洛方法去進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，但是發(fā)現(xiàn)有很大的誤差，不能很好地刻畫Kondo模型。后來，Wilson發(fā)明了NRG方法，并用它很好地刻畫了Kondo模型。但是，當(dāng)用NRG方法計(jì)算一些其他模型如一維海森堡模型時(shí)，卻又很大誤差。1992年，White在NRG的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，又提出了DMRG（密度矩陣重整化群 DMRG）方法，以此更好地解決問題。因此，有必要對(duì)DMRG方法進(jìn)行學(xué)習(xí)。

量子蒙特卡洛方法；NRG方法；DMRG方法

1 引言

量子蒙特卡洛方法是強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的基本方法，有廣泛的應(yīng)用。NRG方法是DMRG方法的前身，主要是為了減少計(jì)算，去除不必要的自由度。DMRG方法是NRG方法的改進(jìn)，處理好了邊界問題，解決了達(dá)不到最大豐度的問題。這三種方法都是強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的重要方法。因此，很有必要學(xué)習(xí)這三種方法。

2 密度矩陣重整化群算法

2.1 歷史背景

一個(gè)量子多體系統(tǒng)，如果想要對(duì)它進(jìn)行數(shù)值計(jì)算用來求它的近似解就會(huì)遇到一些困難。由于希爾伯特空間呈指數(shù)增長(zhǎng)的緣故，當(dāng)系統(tǒng)尺寸呈指數(shù)增長(zhǎng)時(shí)，希爾伯特空間會(huì)以n次方倍的速度迅速增長(zhǎng)[2]。這樣的增長(zhǎng)速度太快，在對(duì)哈密頓量進(jìn)行對(duì)角化來求它的本征波函數(shù)的時(shí)候，計(jì)算量就大大增加，占用太大內(nèi)存空間，使計(jì)算所需的硬件要求提高，不利于計(jì)算。

但事實(shí)上，在實(shí)際研究中發(fā)現(xiàn)，在這眾多的計(jì)算數(shù)據(jù)中，有很多數(shù)據(jù)對(duì)最后的結(jié)果過影響很小，完全可以忽略不計(jì)，可以只關(guān)心比較重要的幾個(gè)[3]。像基態(tài)和一些低能激發(fā)態(tài)。因此可以使用稀疏矩陣儲(chǔ)存，稀疏矩陣使非零矩陣元降到了10%及以下，這樣可以降低內(nèi)存的使用量。但即便簡(jiǎn)化成這樣，用Lanczo方法等能夠直接精確對(duì)角化的部分仍然還是很小的尺寸。特別是對(duì)于強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)來說，推廣到熱力學(xué)極限十分困難。

后來，在1975年的時(shí)候，Wilson第一次提出了NRG算法[4]。學(xué)習(xí)了NRG方法后，我們知道用NRG方法要降低自由度，來縮小維度空間，又通過不斷地進(jìn)行約化，收斂真實(shí)系統(tǒng)，從而完成計(jì)算。然而，這個(gè)算法也有很大缺陷。在計(jì)算一些像一維海森堡模型之類的問題時(shí)，邊界問題無法處理，在疊加模塊的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)無限深勢(shì)阱的狀況，因而導(dǎo)致很大的誤差。

Wilson的學(xué)生White發(fā)現(xiàn)了NRG算法的這些問題，又進(jìn)行了許多深入的研究，最終在1992年提出了密度矩陣重整化群算法，彌補(bǔ)了NRG算法在格點(diǎn)模型中的不足[5]。在使用DMRG算法的時(shí)候，我們首先將整個(gè)系統(tǒng)拆分為兩個(gè)子系統(tǒng)“系統(tǒng)”和“環(huán)境”。這兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)超塊。操作時(shí)，將兩個(gè)子系統(tǒng)分別進(jìn)行對(duì)角化，再篩選出一些哈密頓量的本征值較大的本征態(tài)。這樣就能夠選出對(duì)結(jié)果影響較大的部分，簡(jiǎn)化計(jì)算。

2.2 量子蒙特卡洛方法

量子蒙特卡洛方法是強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)模型中一種重要的近似求解的方法，在學(xué)習(xí)NRG和DMRG方法之前，就已經(jīng)知道量子蒙特卡洛方法能應(yīng)用于強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的模型中。許多強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的問題都是用量子蒙特卡洛方法來解決的，至今仍被廣泛應(yīng)用。所以，量子蒙特卡洛方法的學(xué)習(xí)也是非常必要的。

量子蒙特卡洛方法是由蒙特卡洛方法應(yīng)用于量子力學(xué)中的部分。蒙特卡洛方法主要用于研究隨機(jī)的物理問題。蒙特卡洛方法主要原理是通過做大量實(shí)驗(yàn)，再從其中隨機(jī)抽樣，通過概率計(jì)算近似解。但在蒙特卡洛方法應(yīng)用于量子力學(xué)之后卻發(fā)現(xiàn)了許多問題，由于量子力學(xué)體系與經(jīng)典體系差異很大，要將其處理問題十分困難。

量子蒙特卡洛方法存在許多問題，除了計(jì)算量大、誤差等小問題之外，目前最大的問題是負(fù)符號(hào)問題，這也是最困難的問題。量子蒙特卡羅是一種精確的數(shù)值模擬方法，但在有費(fèi)米子負(fù)符號(hào)問題的系統(tǒng)，量子蒙特卡羅模擬的計(jì)算誤差，隨著溫度的降低或系統(tǒng)體積的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，失去了這種方法的可靠性。負(fù)符號(hào)問題起源于費(fèi)米子交換的反對(duì)易性。對(duì)于大多數(shù)相互作用費(fèi)米子系統(tǒng)，負(fù)符號(hào)問題總是存在，所以有必要引入其他算法[6]。

2.3 重整化群（NRG）算法

重整化群算法可以說是密度矩陣重整化群算法的前身，它也是強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的一種重要方法，具有十分廣泛的應(yīng)用。重整化群算法的想法是用重整化群將系統(tǒng)中不重要的自由度去除，從而減少計(jì)算量，求出近似解。

使用重整化群方法時(shí)，我們首先構(gòu)造n+1個(gè)格點(diǎn)為基態(tài)，由于希爾伯特空間呈指數(shù)增長(zhǎng)的緣故，當(dāng)系統(tǒng)尺寸呈指數(shù)增長(zhǎng)時(shí)，希爾伯特空間會(huì)以n次方倍的速度迅速增長(zhǎng)。這樣的增長(zhǎng)速度太快，計(jì)算量太大。為防止在循環(huán)計(jì)算中哈密頓量過多而無法計(jì)算的狀況，以能量為參考，對(duì)希爾伯特空間進(jìn)行截?cái)鄟斫档涂臻g的維度，減少計(jì)算的量。

NRG方法在Kondo模型中非常有效，成功求解了Kondo模型。但是在磁性質(zhì)系統(tǒng)中，許多問題在計(jì)算的時(shí)候都有巨大誤差。這些誤差的原因在于NRG方法在處理子塊邊界的時(shí)候必然導(dǎo)致的。NRG方法是求解子塊波函數(shù)，并將其組合進(jìn)行求解。實(shí)際上，對(duì)于有些波函數(shù)來說，如果我們疊加波函數(shù)求解，在兩個(gè)兩端有節(jié)點(diǎn)的波函數(shù)疊加的時(shí)候，中間必然有節(jié)點(diǎn)，實(shí)際上的波函數(shù)在這個(gè)節(jié)點(diǎn)處達(dá)到最大值。這時(shí)，在這個(gè)節(jié)點(diǎn)處就必然會(huì)有較大的偏差，因而無法求出真正的波函數(shù)。所以，NRG方法在邊界處理方法上的原因使它擁有局限性。

2.4 密度矩陣重整化群（DMRG）算法

因?yàn)镹RG方法在強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的局限性，要尋找更好的一種方法在強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中解決問題。在強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中要進(jìn)行計(jì)算，最重要的是舍去過多的，對(duì)結(jié)果影響小的量子態(tài)來簡(jiǎn)化計(jì)算，解決計(jì)算復(fù)雜的問題。經(jīng)過研究，人們發(fā)現(xiàn)利用密度矩陣的本征值來參考取舍最為有效，于是DMRG方法在1992年由White主要為解決一維晶格模型提出。

在模型中，超塊的希爾伯特空間可以當(dāng)做由“環(huán)境”和“系統(tǒng)”兩部分進(jìn)行直乘，將空間合并得到。密度矩陣中，密度矩陣的本征值的平方代表了它對(duì)應(yīng)本征態(tài)出現(xiàn)的概率，所以在DMRG方法中，應(yīng)當(dāng)尋找密度矩陣本征值大的本征態(tài)，以此最大程度上精確地表示晶格的態(tài)。然后找出誤差足以忽略不計(jì)的點(diǎn)進(jìn)行截?cái)?。我們?cè)谘h(huán)中，為了確保計(jì)算的精度，通常一次向系統(tǒng)中加入一個(gè)格點(diǎn)來使系統(tǒng)增大，并且每次循環(huán)保留前幾個(gè)最大本征態(tài)，減少計(jì)算量。

DMRG方法算法在計(jì)算時(shí)通常分為兩種：無限體系算法和有限系統(tǒng)算法。無限體系算法主要是在循環(huán)計(jì)算中增加鏈條的長(zhǎng)度，而有限系統(tǒng)算法則是再循環(huán)計(jì)算中提高系統(tǒng)的計(jì)算精度。

無限系統(tǒng)算法主要是通過約化密度矩陣篩選出重要的幾個(gè)態(tài)，并將其他不重要的態(tài)舍棄。再通過不斷地循環(huán)增加格點(diǎn)到我們需要的大小再停止。在構(gòu)造環(huán)境塊時(shí)，根據(jù)無限系統(tǒng)對(duì)稱，將系統(tǒng)塊進(jìn)行反射變換，使系統(tǒng)塊與環(huán)境塊的哈密頓量相等。

無限系統(tǒng)算法的主要步驟如下：

（1）構(gòu)造四個(gè)每個(gè)包含一個(gè)格點(diǎn)的初始?jí)K，將四個(gè)格點(diǎn)直乘合并為整體，這個(gè)整體叫做超塊。

（2）用四個(gè)初始?jí)K的哈密頓量矩陣直乘表示超塊的哈密頓量的矩陣。

（3）用任意對(duì)角化稀疏矩陣程序?qū)Τ瑝K的哈密頓量的矩陣對(duì)角化，并得到相應(yīng)目標(biāo)態(tài)

（4）根據(jù)目標(biāo)態(tài)（基態(tài)）通過公式計(jì)算左右兩邊的約化密度矩陣。

（5）進(jìn)行截?cái)唷?duì)角化密度矩陣，保留前M個(gè)有最大本征值的本征態(tài)。

（6）用約化密度矩陣在新的態(tài)下進(jìn)行重整化。（7）用上一步得出的結(jié)果構(gòu)造新的塊和哈密頓量矩陣。（8）將新的系統(tǒng)塊進(jìn)行反射變換，得到新的環(huán)境塊，用它們進(jìn)行計(jì)算。

（9）重新循環(huán)。

有限系統(tǒng)算法與無限系統(tǒng)算法是系統(tǒng)的尺寸恒定，具體做法是一邊減少多少，另一邊就增加多少，是整個(gè)的大小不變。以上都是在邊界開放的條件下進(jìn)行，在有限系統(tǒng)算法下精度最高。

2.5 NRG與DMRG的對(duì)比

NRG和DMRG方法的不同點(diǎn)主要在兩方面

（1）兩者在模塊的增加上的區(qū)別

NRG方法希爾伯特空間呈2n倍增長(zhǎng)，增長(zhǎng)速度很快。DMRG方法每次只加入兩個(gè)格點(diǎn)

（2）兩者在截?cái)嗌系膮^(qū)別

截?cái)鄷r(shí)，NRG方法遵從玻爾茲曼分布規(guī)律：能量越小，概率越大。所以是取m個(gè)能量最小的態(tài)。DMRG方法密度矩陣的本征值的平方代表了它本征態(tài)的概率。所以是取m個(gè)最大本征值的本征態(tài)。

3 結(jié)語

通過學(xué)習(xí)和了解NRG以及DMRG等方法的算法原理和發(fā)展過程之后，經(jīng)過我的整理，分析出了這些方法在發(fā)展過程中的不足，并對(duì)比出每種方法的適用條件，并且學(xué)習(xí)掌握了這幾種算法的核心思想，并用通俗易懂的語言解釋了NRG與DMRG的算法原理。

[1]李正中.近藤(Kondo)效應(yīng)介紹[J].物理，1982(2).

[2]曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)》卷I.

[3] Davidson E R.The iterative calculation of a few ofthe lowest eigenvalues and corresponding eigenvectors of large real-symmetric matrices[J].Journal of Computational Physics,1974,17(1):87-94.

[4] Wilson K G, Kogut J. The renormalization group and the ∈ expansion ☆[J].Physics Reports,1974,12(2):75-199.

[5]Steven.R.White,Density matrix formulation for quantum renormalization groups,出自《Physical Review Letters》1992年，第69卷：2863-2866頁.

[6]學(xué)科網(wǎng)，物理所等在費(fèi)米子負(fù)符號(hào)問題研究中取得進(jìn)展2016-07-07.

O641.121 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1009-5624（2018）02-0134-02