圓錐曲線中最值問題的求解策略

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

分析：利用橢圓的參數(shù)方程,結(jié)合圓心與橢圓上的點(diǎn)的距離公式求解,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,再利用三角函數(shù)的有界性確定最值。

解：設(shè)圓的圓心為C,則C的坐標(biāo)為(0,

圓錐曲線中的求解最值問題一直是高考命題的熱點(diǎn),題型多,命題角度廣,備受命題者青睞。雖然圓錐曲線中的最值問題形式多變,花樣翻新,難度較大,但是基本解法仍有章可循,有法可依,概括來說:先根據(jù)題設(shè)條件,恰當(dāng)選擇某個(gè)與目標(biāo)密切相關(guān)的自變量,并確定目標(biāo)函數(shù)的解析式;在充分考慮函數(shù)的定義域、不等式的最值條件等前提下,應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式定理及其推論進(jìn)行分類討論,從而達(dá)到求解圓錐曲線中的最值問題。下面就圓錐曲線中求最值問題的一些常見求解策略,結(jié)合實(shí)例進(jìn)行剖析。

1.三角函數(shù)策略,有界性顯身手

故答案為D。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的參數(shù)方程,兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)。通過圓與圓錐曲線的相關(guān)幾何性質(zhì),結(jié)合對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系,以及三角函數(shù)的有界性來解決距離的最值問題,也是選擇題或填空題中比較常見的題型。

2.基本不等式策略,變形轉(zhuǎn)化顯身手

分析：通過數(shù)形結(jié)合知:P在第一象限內(nèi),直線OM的斜率最大。設(shè)出相應(yīng)的坐標(biāo),利用平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化,結(jié)合直線的斜率公式,利用基本不等式加以變形與綜合,最后求解相應(yīng)的最值問題。

圖1

點(diǎn)評(píng):本題主要考查拋物線的方程與幾何性質(zhì),平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算,基本不等式,也考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及同學(xué)們的運(yùn)算能力。利用基本不等式來解決圓錐曲線中的最值問題是比較常見的一種思路,關(guān)鍵是通過題中條件加以轉(zhuǎn)化,結(jié)合對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值情況,利用基本不等式來確定最值,注意基本不等式成立的條件。

3.數(shù)形結(jié)合策略,幾何性質(zhì)顯身手

A.9,1 2 B.8,1 1

C.8,1 2 D.1 0,1 2

分析：通過數(shù)形結(jié)合,判定兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)A、B,結(jié)合橢圓的定義與對(duì)應(yīng)的圖形可判斷最大值為|P A|+|P B|+2R,最小值為|P A|+|P B|-2R。

解：如圖2,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)A、B,由橢圓定義知|P A|+|P B|=2a=1 0。

連接P A、P B,分別與圓相交于M、N兩點(diǎn),此時(shí)|PM|+|P N|最小,最小值為|P A|+|P B|-2R=8;

連接P A、P B并延長(zhǎng),分別與圓相交于M1、N1兩點(diǎn),此時(shí)|PM1|+|PN1|最大,最大值為|P A|+|P B|+2R=1 2。

因此,所求最小值和最大值分別為8,1 2,答案為C。

點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓與圓的方程,橢圓的定義,以及數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用。巧妙利用數(shù)形結(jié)合思想,可以化代數(shù)為幾何,把復(fù)雜問題直觀化,更加有效地解決圓錐曲線中的最值問題。

圖2

4.極限思維策略,極端確定顯身手

分析：根據(jù)雙曲線的定義可知|P F1|=|P F2|+2,通過分類討論,結(jié)合極限思維確定當(dāng)∠F1P F2=9 0°時(shí)與當(dāng)∠F1F2P=9 0°時(shí)關(guān)系式的最值,數(shù)形結(jié)合即可得△F1P F2為銳角三角形時(shí)關(guān)系式的取值范圍。

解：由題可得a=1,b=3,c=2。由雙曲線的定義知|P F1|―|P F2|=2a=2,則有|P F1|=|P F2|+2。

當(dāng)∠F1P F2=9 0°時(shí),|P F1|2+|P F2|2=|F1F2|2,可得|P F2|2+2|P F2|―6=0,解得|P F2|=7―1或-7-1(負(fù)值舍去),此時(shí)|P F1|+|P F2|=2 7;

當(dāng)∠F1F2P=9 0°時(shí),|P F1|2=|P F2|2+|F1F2|2,解得|P F2|=3,此時(shí)|P F1|+|P F2|=8。

若△F1P F2為銳角三角形,數(shù)形結(jié)合可得|P F1|+|P F2|∈(2 7,8)。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),以及焦點(diǎn)三角形。極限思維是一種重要的數(shù)學(xué)思想,應(yīng)用極限法來解決一些選擇題時(shí),可以避開繁雜的運(yùn)算過程,獨(dú)辟蹊徑,降低解題難度,優(yōu)化解題過程,起到事半功倍的效果。

圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩類:一是利用幾何方法,即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等求解;二是利用代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解。

(責(zé)任編輯 徐利杰)