■福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué) 童其林(特級(jí)教師)

求圓錐曲線的離心率或取值范圍問(wèn)題是一類較為常見的問(wèn)題,也經(jīng)常出現(xiàn)在歷年高考試題中。不少同學(xué)在處理離心率的取值范圍問(wèn)題時(shí),常常無(wú)從下手,不知道確定參數(shù)范圍的函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系從何而來(lái)。下面通過(guò)一些實(shí)例介紹圓錐曲線的離心率的求法,及離心率取值范圍問(wèn)題形成的幾個(gè)背景及相應(yīng)的解法,期望對(duì)同學(xué)們有所幫助。

一、求離心率的值

關(guān)鍵是找到含有a、b、c的一個(gè)等式,可借助圖形、圓錐曲線定義或常見結(jié)論等知識(shí)尋求解決問(wèn)題的突破口。

圖1

點(diǎn)評(píng):(1)畫圖很重要,要做對(duì)題,最好先畫圖。(2)此題圖形有點(diǎn)復(fù)雜,關(guān)鍵是要找到關(guān)于a、b、c的一個(gè)等式,需要沉著冷靜,膽大心細(xì)。

圖2

點(diǎn)評(píng):求離心率有很多種方法,對(duì)本題而言,利用角度的關(guān)系,可快速溝通知識(shí)模塊之間的聯(lián)系。

已知F1、F2是雙曲線1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線左支上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)F2關(guān)于直線y=對(duì)稱,

則該雙曲線的離心率為____。

點(diǎn)評(píng):雖然思路明確,但運(yùn)算量較大。

解法2：因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)F2關(guān)于直線y=對(duì)稱,所以FP被直2x垂直平分,交于A點(diǎn)。如圖3,可得t a nθ+|O A|2=c2,解得|A F2|=b,|O A|=a。

圖3

又O A為△F2P F1的中位線,所以|P F1|=2|O A|=2a,|P F2|=2|A F2|=2b。

由雙曲線定義可得|P F2|-|P F1|=2a,所以2b-2a=2a,b=2a,故b2=4a2。因此,c2-a2=4a2,c2=5a2

圖4

如圖4,圓O的方程為x2+y2=a2,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則圓O的切線P F2的方程為x0x+y0y=a2。又切線過(guò)點(diǎn)F2(c,0),所以

二、求離心率的范圍或最值

1.利用題目所給的條件

利用題設(shè)條件能溝通所求參數(shù)與曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)或曲線的特征參數(shù)之間的聯(lián)系,建立不等式或不等式組求解。

·kMA2

＜2,則雙曲線C的離心率的取值范圍為( )。

解析：由題設(shè)知A1(-a,0),A2(a,0)。假設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí),滿足kMA1·kMA2

＜2。

當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí),滿足:

2.利用已知變量的范圍

利用題中給出的某個(gè)已知變量的范圍,或由已知條件求出某個(gè)變量的范圍,然后找出這個(gè)變量與欲求的參變量之間的關(guān)系,進(jìn)而求解。

解析：如圖5,因?yàn)锽 和A 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,所以點(diǎn)B 也在橢圓上。

圖5

O是R t△A B F的斜邊中點(diǎn),且|O F|=c,故|A B|=2c。

又|A F|=2cs i nα,②|B F|=2cc o sα,③

把②③代入①,得2cs i nα+2cc o sα=2a。

點(diǎn)評(píng):本題把橢圓的定義、幾何性質(zhì)、解三角形,以及三角恒等變換都派上了用場(chǎng),可見完成一個(gè)較復(fù)雜問(wèn)題的解答過(guò)程需要全方位的知識(shí)運(yùn)用。

3.利用曲線自身的取值范圍

解析：如圖6,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,半焦距為c,連接A F1,B F1,則四邊形A F1B F為平行四邊形,所以|A F1|+|B F1|=|A F|+|B F|=4。

圖6

根據(jù)橢圓定義知:

|A F1|+|A F|+|B F1|+|B F|=4a。所以4a=8,a=2。因?yàn)辄c(diǎn)M到直線l的距離不小于所以橢圓的離心率的取值范圍為

點(diǎn)評(píng):此題重點(diǎn)考查同學(xué)們的等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的能力,由|A F|+|B F|=4需要推出|A F|+|A F1|=2a,另一方面要重視圖形對(duì)解題的引領(lǐng)作用。

4.利用二次方程有解的前提條件

判斷直線和圓錐曲線的關(guān)系是解析幾何中最常見的題型,它們聯(lián)立消元后所得的判別式為非負(fù)值是直線和圓錐曲線有公共點(diǎn)的充要條件。若有限制條件,則還應(yīng)考慮根的分布情況,這是確定參數(shù)取值范圍的一個(gè)常見條件。

解析：設(shè)點(diǎn)F2坐標(biāo)為(c,0)。由于F2關(guān)于直線P F1的對(duì)稱點(diǎn)M恰在y軸上,不妨設(shè)M在正半軸上,由對(duì)稱性可得,|MF1|=|F1F2|=2c,且|MF1|=|MF2|,故∠MF1F2=6 0°,∠P F1F2=3 0°。

1入雙曲線方程得:

(3b2-a2)x2-2c a2x-a2c2-3a2b2=0。

因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根,所以3b2

點(diǎn)評(píng):取值范圍問(wèn)題,要尋找滿足題設(shè)的不等式,不等式從何而來(lái)?要結(jié)合圖形分析,要挖掘隱含條件。由于本題的直線P F1與雙曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)的兩邊,即關(guān)于x的二次方程的兩個(gè)根一正一負(fù),所以只需滿足兩根之積小于0,問(wèn)題便得以解決。

5.利用圖形的位置關(guān)系

三、與離心率交匯的其他問(wèn)題

對(duì)這類問(wèn)題要注意全方位、多角度地去思考,尋求多種途徑,盡可能通過(guò)分析推理得出最簡(jiǎn)便的方法。

解法1：如圖7,設(shè)|P F1|=r1,|P F2|=r2(r1＞r2),|F1F2|=2c,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1、e2。

由余弦定理得:

解法2：如圖7,設(shè)|P F1|=r1,|P F2|=r2(r1＞r2),|F1F2|=2c,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1、e2。

圖7

解法3：如圖7,設(shè)|P F1|=r1,|P F2|=r2(r1＞r2),|F1F2|=2c,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1、e2。

由余弦定理得4c2=r21+r22-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=4a21-3r1r2,所以e12=

解法4：如圖7,設(shè)|P F1|=r1,|P F2|=r2(r1＞r2),|F1F2|=2c,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1、e2。

解法5：如圖7,設(shè)|P F1|=r1,|P F2|=r2(r1＞r2),|F1F2|=2c,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,短半軸長(zhǎng)為b1;雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,虛半軸長(zhǎng)為b2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1、e2。

點(diǎn)評(píng):以“形”入手,借助函數(shù)、柯西不等式、三角函數(shù)、焦點(diǎn)三角形面積公式等,都是為了有效地架起已知與求解之間的橋梁,意在考查同學(xué)們利用知識(shí),等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力。

總之,求圓錐曲線的離心率及取值范圍要抓住一個(gè)關(guān)鍵,兩個(gè)切入點(diǎn),三個(gè)方向,四種工具,五種思想。

一個(gè)關(guān)鍵:尋找,尋求建立a、b、c(或a、b、c中的兩個(gè))的一個(gè)等式或不等式;

兩個(gè)切入點(diǎn):從“形”入手,從“數(shù)”下手;

三個(gè)方向:從圓錐曲線的定義思考,從幾何圖形的性質(zhì)出發(fā),從方程(或不等式)的角度落筆;

四種工具:平面幾何基礎(chǔ)知識(shí),平面向量的知識(shí),三角函數(shù)的運(yùn)用,柯西不等式;

五種思想:數(shù)形結(jié)合的思想,方程思想,函數(shù)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,分類討論思想。

(責(zé)任編輯 徐利杰)