盤點(diǎn)圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形

■甘肅省秦安縣第二中學(xué) 張鎖定

由橢圓或者雙曲線上的一點(diǎn)及其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。以焦點(diǎn)三角形為背景的試題,是各類考試中一道靚麗的風(fēng)景線,可以很好地考查同學(xué)們的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

題型一 橢圓焦點(diǎn)三角形的面積問題

常用結(jié)論:已知F1、F2為橢圓1(a＞b＞0)上的兩個(gè)焦點(diǎn),M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則△M F1F2的面積

x2

+y2

=

a2b2

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以|P F1|+①

由余弦定理可知,|P F1|2+|P F2|2-2|P F1||P F2|c o s6 0°=|F1F2|2=4。 ②

①式兩邊平方得|P F1|2+|P F2|2+2|P F1|·|P F2|=2 0。 ③

評(píng)注:解橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積問題,通常要用到橢圓的定義,余弦定理。本題還可以直接利用公式S△F1PF2=b2t a n

解析：由橢圓方程x2

+y2

=1,知a=2,43 c=1。由橢圓定義,可得|P F1|+|P F2|=2a=4,且|F1F2|=2。在△P F1F2中,∠P F1F2=9 0°,所以|P F2|2=|P F1|2+|F1F2|2,從而(4-|P F1|)2=|P F1|2+4,則

(2)設(shè)F1、F2是橢圓焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|P F1|∶|P F2|=5∶1,則△F1P F2的面積等于____。

解析：由橢圓方程得a=3,b=2,c=5,|F1F2|=2 5,所以|P F1|+|P F2|=2a=6。又|P F1|∶|P F2|=5∶1,所以|P F1|=5,|P F2|=1。

由余弦定理可得,c o s∠F1P F2=

所以s i n∠F1P F2=1-c o s2∠F1P F2

題型二 焦點(diǎn)三角形的周長問題

常用結(jié)論:1.已知F1、F2為橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則△P F1F2的周長恒為定值2a+2c。

2.已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),直線l過焦點(diǎn)F1且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),則△F2A B的周長恒為定值4a。

1A、B兩點(diǎn),且△A B F2的周長為1 6,那么橢圓C的方程為____。

因此,b2=a2-c2=4。

解析：因?yàn)閍2=2 5,b2=1 6,所以c2=a2-b2=9,c=3。由橢圓的定義可知,|P F1|+|P F2|+2c=2a+2c=1 6。

所以△P F1F2的周長為1 6。

解析：由雙曲線方程可知,a=4,b=3,c=5。故A(5,0)恰為雙曲線的右焦點(diǎn),線段P Q過雙曲線的右焦點(diǎn),則P、Q都在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義知,|P F|-|P A|=2a,|Q F|-|Q A|=2a。

兩式相加得,|P F|+|Q F|-(|P A|+|Q A|=4a。

則|P F|+|Q F|=4a+|P Q|=4×4+1 2=2 8。

對(duì)此，教師在平時(shí)的教學(xué)中可以讓學(xué)生在閱讀時(shí)養(yǎng)成積累寫作素材的好習(xí)慣，調(diào)動(dòng)學(xué)生寫作的積極性，讓學(xué)生能夠在寫作的過程中大膽進(jìn)行創(chuàng)新，展示自我，另外，教師也要對(duì)學(xué)生的寫作進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓膭?lì)，讓學(xué)生逐漸喜歡上寫作，培養(yǎng)其寫作的積極性，增加寫作和閱讀的熱情。

所以△P Q F的周長為|P F|+|Q F|+|P Q|=2 8+1 2=4 0。

題型三 焦點(diǎn)三角形中的幾何性質(zhì)問題

解析：在△P F1F2中,|F1F2|=2c,

由橢圓定義可得,|P F1|+|P F2|=2a。

評(píng)注:解答本題先利用直角三角形的知識(shí),把|P F1|和|P F2|都用c表示,再利用橢圓的定義,最后得出橢圓的離心率。

變式3 (1)已知F1、F2分別為雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C右支上的一點(diǎn),P F1⊥P F2,∠P F2F1=6 0°,則雙曲線C的離心率為____。

解析：在△P F1F2中,|P F1|=|F1F2|

由雙曲線的定義可知,|P F1|-|P F2|

(2)已知F1、F2為橢圓下焦點(diǎn),點(diǎn)M(3,2)在橢圓上,求∠F1MF2的角平分線l所在的直線方程。

解析：由題意知,F1(0,2),F2(0,-2),M(3,2),所以|MF1|=3,|MF2|=5。

設(shè)角平分線l與y軸的交點(diǎn)為A(0,y0),由角平分線性質(zhì)可得

題型四 焦點(diǎn)三角形中的定值問題

A.定值

B.非定值,但存在最大值

C.非定值,但存在最小值

D.非定值,且不存在最值

圖1

解析：設(shè)∠I F1F2=α,∠I F2F1=β。

則kIF1·kIF2=-t a nαt a nβ。延長F1P到點(diǎn)Q,且|P Q|=|P F2|,則∠F2P Q=2α+-(α+β)。

解析：由題意知a2=4,b2=1 2,所以c2=1 6,F1的坐標(biāo)為(-4,0),F2的坐標(biāo)為(4,0)。

設(shè)內(nèi)切圓與△P F1F2的三條邊P F1、P F2、F1F2分別相切于F、E、D三點(diǎn),由已知條件及雙曲線的定義可得:

2a=|P F1|-|P F2|=(|P F|+|F F1|)-(|P E|+|E F2|)=|F F1|-|E F2|=|F1D|-|F2D|=(xD+c)-(c-xD)=2xD,所以xD=a=2,xM=xI=xD=2。

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由M為△P F1F2

把x0=6代入雙曲線方程解得y0=4 6,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4 6)。

由兩點(diǎn)間距離公式得|P F1|=1 4,|P F2|=1 0。

設(shè)△P F1F2的內(nèi)切圓半徑為r,則1 6r。

另一方面,S△PF1F2

圖2

(責(zé)任編輯 徐利杰)