淺談雙曲線的漸近線妙用

■甘肅省會寧縣第五中學(xué) 王合清

我們知道,漸近線是雙曲線特有的,它經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中。那么雙曲線的漸近線能幫助我們解決哪些問題呢?下面舉例說明。

一、利用漸近線求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

解析：因?yàn)辄c(diǎn)(2,3)在雙曲線1(a＞0,b＞0)的一條漸近線上,所以該雙曲線的漸近線方程為于是該雙曲線方程可設(shè)為由雙曲線的一個焦點(diǎn)為(-7,0)知于是由a2+b2=c2得,4λ+3λ=所以雙曲線方程為1,故選D。

二、利用漸近線求雙曲線的離心率

點(diǎn)評:不同的雙曲線,可能對應(yīng)的漸近線相同,應(yīng)分類討論。

三、利用漸近線求雙曲線方程中的參數(shù)

點(diǎn)評:本題重點(diǎn)考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題。求漸近線方程的簡單方法就是把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”改“0”,利用已知的漸近線方程,求出參數(shù)a的值。

四、利用漸近線求雙曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離

解析：設(shè)P(x,y),x≥1。因?yàn)橹本€x-y+1=0平行于漸近線x-y=0,所以點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離恒大于直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間的距離。因此c的最大值為直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間的距離,其距離為的最大值為。

點(diǎn)評:漸近線是雙曲線特有的,在解決有關(guān)雙曲線問題時,需結(jié)合漸近線,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

(責(zé)任編輯 徐利杰)