圓的直徑式方程的一個(gè)應(yīng)用

北京豐臺(tái)二中

甘志國(guó) (郵編：100071)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版)第124頁(yè)第5題的結(jié)論也可叫做圓的直徑式方程：

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

①

證明可設(shè)u(x)=t(x-x1)(x-x2),v(y)=t(y-y1)(y-y2)(t≠0)，所以由圓的直徑式方程得以線段P1P2為直徑的圓的方程是①，也即u(x)+v(y)=0.

推論1設(shè)直線l:x=h與二次曲線Γ:f(x,y)=0(這里式子f(x,y)中y2的系數(shù)是1)交于不同的兩點(diǎn)Pi(h,yi)(i=1,2)，則以線段P1P2為直徑的圓的方程是(x-h)2+f(h,y)=0.

推論2設(shè)直線l:y=t與二次曲線Γ:f(x,y)=0(這里式子f(x,y)中x2的系數(shù)是1)交于不同的兩點(diǎn)Pi(xi,t)(i=1,2)，則以線段P1P2為直徑的圓的方程是f(x,t)+(y-t)2=0.

例1已知直線l:y=x+3與拋物線C:y=x2交于不同的兩點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2)，求以線段P1P2為直徑的圓的方程.

x2-x-3=0,y2-7y+9=0

由定理可得所求答案為(x2-x-3)+(y2-7y+9)=0，即x2+y2-x-7y+6=0.

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

可設(shè)直線AB:y=x+m.

x2-4x-4m=0,y2-(2m+4)y+m2=0

由題意知Δ>0，得m>-1.

由定理可得以線段AB為直徑的圓的方程是(x2-4x-4m)+[y2-(2m+4)y+m2]=0.

再由AM⊥BM，可得M(2，1)在這個(gè)圓上，進(jìn)而可求得m=7(舍去m=-1)，因而所求直線AB的方程是y=x+7.

例3(2017年高考全國(guó)卷III理科第20題)已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；

(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，-2)，求直線l與圓M的方程．

解(1)顯然，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意．因而可設(shè)直線l:x=my+2.

x2-(2m2+4)x+4=0,y2-2my-4=0

可得Δ>0恒成立，所以直線l與拋物線C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

由定理可得以線段AB為直徑的圓M的方程是[x2-(2m2+4)x+4]+(y2-2my-4)=0.

進(jìn)而可得坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

(注：此問(wèn)的一般情形是以下經(jīng)典結(jié)論：若直線l與拋物線y2=2px交于兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA⊥OB?直線l過(guò)點(diǎn)(2p,0).)

當(dāng)m=1時(shí)，可得直線l的方程是x-y-2=0，圓M的方程是 (x-3)2+(y-1)2=10．