一類條件為abc=1型不等式的證法探究

安徽省岳西縣湯池中學

蘇岳祥 楊續(xù)亮 (郵編：246620)

在《數(shù)學通訊》(上半月刊)的問題征解，《中等數(shù)學》數(shù)學奧林匹克問題，《數(shù)學教學》問題與解答以及各級數(shù)學競賽試題中，經(jīng)常出現(xiàn)abc=1條件的三元不等式證明試題，筆者對含有“abc=1”的條件不等式的證明進行了深入的探究，總結(jié)出五種證明不等式的方法.

1 運用公式直接證明

=3.

例2(2015年摩爾多瓦數(shù)學奧林匹克試題)已知a、b、c是滿足abc=1的正實數(shù)，

證明因為(a+b)(a-b)2+(b+c)(b-c)2+(c+a)(c-a)2≥0，

所以2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6.因此

評注證明時對不等式進行了分拆，局部運用均值不等式或者柯西不等式.

2 常數(shù)“1”的代換

證明注意到a5+b5-a2b2(a+b)=(a2-b2)(a3-b3)≥0.

評注利用1=abc代換時，考慮到代數(shù)式的齊次式特征，實現(xiàn)有效的等價代換.

3 結(jié)構(gòu)化換元

3.1 倒數(shù)換元

由于(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(yz+zx+xy)≥3(yz+zx+xy)，

例5(2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東省預賽試題)設實數(shù)x>0,y>0,z>0，且xyz=1.

故不等式得證.

無獨有偶，在2016年遼寧省競賽也有這樣一道試題：

評注這種代換可以解決第41解IMO試題.

評注換元以后得到了第四屆中國西部數(shù)學奧林匹克第8題 求證： 對任意的正實數(shù)a、b、c都有

故

由柯西不等式可得

3.5 a=x3,b=y3,c=z3換元

證明令a=x3,b=y3,c=z3(x,y,z>0)，

由(y4-z4)(y-z)≥0得y5+z5≥y4z+z4y=yz(y3+z3)，

又有6x8+y8+z8≥8x6yz=8x5，x8+6y8+z8≥8xy6z=8y5，x8+y8+6z8≥8xyz6=8z5，

以上三式相加可得

x8+y8+z8≥x5+y5+z5.

4 其它變換

因此要證原不等式成立，只需要證明

故所證不等式變?yōu)?/p>

整理可得

10x6-54x4+61x3-27x+10≥0，

而當0

10x6-54x4+61x3-27x+10

=(x-1)2(10x4+20x3-24x2-7x+10)

≥0，

從而原不等式成立.

即a+b+c-1=ab+bc+ca，故

=a2+b2+c2

=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)

=(a+b+c)2-2(a+b+c-1)

=(a+b+c-1)2≥1，得證.

5 待定系數(shù)法

又由均值不等式可得

以上三式相加可得.

評注例11實質(zhì)上是波羅的海數(shù)學競賽試題的題源.

設a、b、c為正實數(shù)，且abc=1，求證

化簡可得.