高中力學(xué)中極值問題解法的探討①

(山東省肥城市第一高級中學(xué),山東 肥城 271600)

在高中力學(xué)習(xí)題中，經(jīng)常遇到求物理量的極值問題，這會涉及力學(xué)量的臨界問題，解決此類問題的基本思維方法是假設(shè)推理法，即先假設(shè)條件成立，從而把比較隱蔽的臨界條件或各種可能性“暴露”出來，然后再根據(jù)物理規(guī)律及有關(guān)知識列方程求解，主要有以下幾種方法。

1 解析法

圖1

例1:如圖1所示，擺球質(zhì)量為m、擺長為L的單擺由水平狀態(tài)開始下擺，在擺到豎直狀態(tài)的過程中，擺球所受重力的瞬時功率如何變化？何處取得最大值？

解析：擺球所受重力的瞬時功率P用重力G和重力方向的速度vy的乘積表示，即P=Gvy，開始時擺線在水平狀態(tài)，擺球初速度為零，重力的瞬時功率為零，當(dāng)擺線到達豎直狀態(tài)時，擺球速度雖然最大，但方向沿水平方向，豎直方向的分速度為零，故重力的瞬時功率仍為零。由此可見，擺線由水平狀態(tài)開始下擺，在到達豎直狀態(tài)的過程中，擺球所受重力的瞬時功率從零增大、再減小到零，此過程中重力的瞬時功率存在最大值。究竟何處最大呢？我們不妨設(shè)θ為擺線與水平方向的夾角，此時擺球速度為v。

點評：本題討論了小球擺動過程中的瞬時功

率問題，利用三角函數(shù)展開討論是一種重要的常規(guī)方法，在三角函數(shù)的處理過程中，巧妙地利用數(shù)學(xué)不等式能快速地求解極值問題，并避免陷入了一種“想當(dāng)然”的誤區(qū)。

2 三角函數(shù)法

圖2

點評：三角函數(shù)配角法求極值是數(shù)學(xué)中常用的方法，它在物理問題解決中有著較為廣泛的應(yīng)用價值。根據(jù)物理問題用三角函數(shù)列出方程后，將三角函數(shù)中的自變量進行配角，整理化成兩角和的正弦或余弦，便能得到函數(shù)的極值。當(dāng)?shù)贸龅氖阶硬皇堑湫偷暮瘮?shù)類型時，可通過等效變換進行轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)公式把所列的方程簡化，變成僅含單個三角函數(shù)的式子，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

3 圖解法

圖解法是一種利用幾何圖形解決物理問題的方法，解答共點力的動態(tài)平衡問題時常用圖解法，其優(yōu)點是簡捷、方便、直觀。可以化繁為簡，化難為易，提高解題的效率。

如用三角形定則分析力的最小值：① 當(dāng)已知合力F的大小、方向及一個分力F1的方向時，另一個分力F2取最小值的條件是兩分力垂直。如圖3甲所示，F(xiàn)2的最小值F2min=Fsinθ。

圖3

② 當(dāng)已知合力F的方向及一個分力F1的大小、方向時，另一個分力F2取最小值的條件是所求分力F2與合力F垂直，如圖3乙所示，F(xiàn)2的最小值F2min=F1sinθ。

③ 當(dāng)已知合力F的大小及一個分力F1的大小時，另一個分力F2取最小值的條件是已知大小的分力F1與合力F同方向，F(xiàn)2的最小值為|F-F1|。

圖4

例3：如圖4所示，半徑為R，質(zhì)量為m的均勻球體緊貼豎直墻壁放置，在球體的左下方有一厚為h的木塊(h

圖5

點評：本題求解球體脫離地面時水平推力的最小值，采用了三角形定則，把問題轉(zhuǎn)化為矢量三角形的臨界條件。用三角形定則解題是一個比較方便、直觀地計算最小值的方法，而矢量運算始終貫穿整個高中物理的學(xué)習(xí)過程，掌握好三角形定則在解題中的應(yīng)用技巧，將使學(xué)生的解題能力得到提升。

綜上所述，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題是高考考查的能力之一，靈活地運用多種數(shù)學(xué)方法求解物理的極值問題，是中學(xué)物理教學(xué)的難點，在平時的教學(xué)中，應(yīng)高度重視，及時總結(jié)，適時滲透數(shù)學(xué)思想。

[1] 丁勇.高中物理常見的極值問題解法探究[J].課程教育研究,2016，(21).

[2] 周宏建.例析高中物理極值問題的求解方法[J].中學(xué)生數(shù)理化,2016,(11).

[3] 魯信.高中物理極值問題求解的兩種思路[J].新高考(高三理化生),2013,(2).