董玉鎖+賀波+尹迎+胡海琴+李鐵梅

摘 要 針對當(dāng)前學(xué)校排課的實際問題，在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上做了一系列改進(jìn)。設(shè)計專門的染色體結(jié)構(gòu)，優(yōu)化初始種群的生成過程，并在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上對選擇算子、交叉算子和變異算子等多方面進(jìn)行改進(jìn)。目前，該算法已成功應(yīng)用在東華博育云有限公司的排課產(chǎn)品中，實驗表明，改進(jìn)后的算法能得到較滿意的課程安排方案，運行效率高，課表中出現(xiàn)資源沖突現(xiàn)象顯著減少，極大地縮短了學(xué)校教務(wù)管理人員排課工作消耗的時間。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)模型；遺傳算法；排課；教務(wù)管理；教學(xué)班

中圖分類號：G434 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）01-0016-04

1 引言

中小學(xué)校的教務(wù)管理部門在整個教學(xué)過程中起著組織、協(xié)調(diào)、管理及服務(wù)的作用，而排課又是教務(wù)工作中最基礎(chǔ)、最重要的組成部分，也是工作量最大、最煩瑣、難度最大的一項任務(wù)。排課工作的核心就是為學(xué)校所有的課程安排合適的教師、教學(xué)時間和地點，使學(xué)校的各項教育教學(xué)工作能夠穩(wěn)步推進(jìn)、相互銜接。排課問題是困擾各學(xué)校的主要難題之一。近年來，國家大力推行課程和教學(xué)改革，實施“分層走班”等試驗教學(xué)，這種走班模式下的排課難度更大。

所謂“走班制”，是指學(xué)校開設(shè)教學(xué)內(nèi)容和程度要求不盡相同的各種層次班，教師、班級、學(xué)生并不固定，學(xué)生需要根據(jù)自己的能力和愛好選擇進(jìn)入不同的層次班上課學(xué)習(xí)。這種模式下學(xué)生的學(xué)習(xí)課程和上課班級都不相同，打破了原來固有的行政班授課模式，更增大了學(xué)校排課工作的難度。

S.Even等人于20世紀(jì)70年代論證了排課問題為NP完全問題（Non-deterministic Polynomial complete Problem，

NP-C，即多項式復(fù)雜程度的非確定性問題，是世界七大數(shù)學(xué)難題之一），由此奠定了其理論深度和難度。由于NP完全問題的特殊性，到現(xiàn)在為止，業(yè)界對其還沒有通用的解決方案和算法。為了解決排課這類復(fù)雜的NP完全問題，本文立足實踐提出排課問題的數(shù)學(xué)模型，并專門對傳統(tǒng)遺傳算法操作進(jìn)行一系列的改進(jìn)來求解，依托模型和算法降低運算的復(fù)雜度，力爭使求解問題的時間大大減少。

排課問題描述 排課問題屬于復(fù)雜的動態(tài)組合規(guī)劃問題，由于限制因素較多且求解復(fù)雜性大，使求解計算所消耗時間成指數(shù)級增長。課表由教師、學(xué)生、課程、教室、上課班級和上課時間等元素構(gòu)成，排課的過程是把這些課表元素進(jìn)行排列組合規(guī)劃，保證教師、學(xué)生、班級、課程和教室等資源在課表中的任何上課時間里都不會發(fā)生沖突。為了使排出的課表更人性化、用戶滿意度高，同時要考慮另外一些因素，例如：每門課程的上課時間要分布均勻、間隔合理；根據(jù)不同課程的特點安排合適的上課時間，如語文、英語不適合在下午排課，足球課、游泳課不適合在上午第一節(jié)排課等。

在對排課模型進(jìn)行分析之后，本文抽象出一個“教學(xué)班”的概念。所謂教學(xué)班，指的是在相同時間、相同地點（教室）學(xué)習(xí)，由相同教師講授同一門課程的一定數(shù)量的學(xué)生組成，便于教學(xué)和課堂活動的學(xué)生集體。在多個教師任同一門課程，或一門課程開設(shè)多個班級時，按課程和任課教師將學(xué)生分配到多個教學(xué)班（必修課可以在排課前確定教學(xué)學(xué)生分班情況，選修課教學(xué)班分班情況在選課完成后才能確定）。采用教學(xué)班的概念之后，無論傳統(tǒng)的行政班授課，還是走班制授課，都可以很好地轉(zhuǎn)換和對應(yīng)起來，可以實現(xiàn)各種模式下的排課場景和需求。

排課的約束條件 排課不僅要考慮課表各元素在時間、空間上存在的合理性，同時要滿足學(xué)校自身的各種約束條件（如教師不排課時間、課程不排課時間、固定課安排和課程互斥等），從而保證學(xué)校教學(xué)工作正常進(jìn)行。排課中設(shè)置約束條件是為了避免課表中出現(xiàn)沖突。為了保障學(xué)校教育教學(xué)工作順利進(jìn)行，排出的課表必須不違反任何約束條件，也不允許出現(xiàn)任何課表元素沖突。同時，對課表各元素資源進(jìn)行最優(yōu)化組合配置，也有利于學(xué)校發(fā)揮資源優(yōu)勢、提高教學(xué)質(zhì)量。有鑒于此，本文定義了三種排課約束條件。

1）排課硬約束條件。硬約束條件代表課表各元素在時間和空間概念上不能成立的情形，是排課過程中要遵守的最基本的約束條件。評價一張課表是否合理、可行，首先要看它是否滿足所有的硬約束條件：教師不能沖突，如一個教師既不能同時教授兩門或更多課程，也不能同時在多個教室上課；學(xué)生不能沖突，如一個學(xué)生既不能同時上兩門或更多課程，也不能同時在多個班上課；教室不能沖突，如一間教室內(nèi)不能同時安排兩門及以上課程；班級不能沖突，如一個班級不能同時安排兩門及以上課程；每門課程安排的授課教室座位數(shù)不得少于該課程的上課人數(shù)。

2）用戶自定義約束條件：教師不排課時間要求；課程不排課時間要求；班級不排課時間要求；教室不排課時間要求；年級不排課時間要求；固定課要求；教師互斥要求；課程互斥要求。

3）排課軟約束條件。評價一張課表優(yōu)秀質(zhì)量高，不僅必須滿足上述硬約束條件和用戶自定義約束條件，還需要考慮一些額外的軟約束條件。軟約束條件不是排課中必須遵守的規(guī)則，雖然這些規(guī)則并不會影響排課的成功或失敗，但它們會對課表的合理性和用戶滿意度產(chǎn)生較大影響。硬約束條件和用戶自定義約束條件是評價一張課表是否合理有效的標(biāo)準(zhǔn)，而軟約束條件則是評價一張課表質(zhì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)。軟約束條件在排課問題中要盡量遵守、滿足，一般的軟約束條件有：班級課程盡量均勻分布；教案對齊；教師連續(xù)長時間上課的情況要盡量避免；班級不同課程上課地點盡量靠近；同一門課程的不同上課時間間隔要合理；上課學(xué)生人數(shù)和教室容量盡量匹配，提高教室利用率。

排課的求解目標(biāo) 排課問題是一個含多約束條件的多目標(biāo)的組合規(guī)劃問題，按照多目標(biāo)優(yōu)化的方法與理論，在可行解域中找到的解將是一系列的解集合。如何從排課問題的眾多求解空間中找到一套完整的包含課表所有元素的信息組合，并且不違背任何硬性約束和用戶自定義約束的課表，是排課的最基本要求。在此基礎(chǔ)上，課表質(zhì)量的高低還需要通過其他指標(biāo)來評價。本文中確定了兩個排課目標(biāo)：endprint

1）課表方案中不存在任何的硬性沖突，即課表必須滿足所有硬約束條件和用戶自定義約束，如同一個學(xué)生在同一時間不能上多門不同的課程，或者不能違背課程的不排課時間約束等，這是評價課表是否合理可行的基本條件；

2）課表質(zhì)量高，即對課表各元素資源的分配合理、優(yōu)化，盡可能多地滿足各種軟約束條件。

2 基于改進(jìn)遺傳算法的排課問題求解

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）也叫基因進(jìn)化算法，或進(jìn)化算法，是由美國人J.Holland在20世紀(jì)60年代提出來的。遺傳算法屬于啟發(fā)式搜索算法，它模擬自然界生物的進(jìn)化過程，試圖應(yīng)用生命進(jìn)化的規(guī)律找到一條有效解決實際問題中組合爆炸問題的途徑。遺傳算法提供了一種求解非線性、多模型、多目標(biāo)等復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題的通用框架，它不依賴于問題具體的領(lǐng)域，已在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2]，用于求解各種組合優(yōu)化問題，為求解排課問題提供了有效的手段。

染色體（Chromosome）結(jié)構(gòu) 使用遺傳算法來求解排課問題的時候，首先必須把問題解的參數(shù)形式轉(zhuǎn)換成由基因編碼按一定結(jié)構(gòu)組成的遺傳染色體或個體[3]。遺傳算法運算的起點和對象是種群（population），而種群是由大量經(jīng)過基因編碼的離散個體（individual）所構(gòu)成的。初始化種群以后，算法依據(jù)適者生存的生物進(jìn)化理論迭代進(jìn)行，進(jìn)化過程中的每一代，算法通過交叉操作和變異操作，誕生出下一代種群，并根據(jù)適應(yīng)度大小選擇優(yōu)秀的后代個體，淘汰較差的個體，從而使整個種群保持穩(wěn)定。經(jīng)過多次迭代運算之后，遺傳算法將逐漸收斂于最好的個體[4]。

應(yīng)用遺傳算法首先要對個體染色體進(jìn)行基因編碼，將排課問題中的課表轉(zhuǎn)化為算法可操作的染色體編碼。染色體編碼方式設(shè)計至關(guān)重要，它不僅要能記錄表達(dá)種群個體的各種特征信息，而且決定了遺傳操作算子的設(shè)計和計算規(guī)模，直接影響了整個算法的收斂和搜索速度。

通過對常見遺傳算法編碼方案進(jìn)行分析比較后，鑒于它們在實際求解排課問題時存在表示問題本身較為困難、排課效率較低、求解結(jié)果不理想的問題，本文針對排課問題專門設(shè)計一種優(yōu)化改進(jìn)的染色體編碼方案，使其更適合于表示和求解排課問題。排課一般按排課周期來進(jìn)行，以中小學(xué)來說是按周排課，每周周一至周五共五天上課，每天上七節(jié)課（上午兩節(jié)課，下午三節(jié)課，晚上兩節(jié)課）。這樣，每周就會構(gòu)成35個課節(jié)次，用T1，T2，T3，T4，T5，

T6，...，T35表示。其中，T1，T2，...，T7為周一的課節(jié)次，T8，T9，...，T14為周二的課節(jié)次，以此類推。如果全校有S個教學(xué)班，那么該學(xué)校課表可表示為以35個課節(jié)次為列、每個“教學(xué)班”為行組成的一個S*35二維矩陣。

基于這個設(shè)計，本文開創(chuàng)性地采用二維布爾矩陣（Boo-

lean Matrix）的方式來對課表染色體進(jìn)行基因編碼。該矩陣的所有元素取值均為1或0，橫坐標(biāo)為課節(jié)次，縱坐標(biāo)為教學(xué)班。其中，值為0表示沒有安排課程，值為1表示已經(jīng)安排了課程。任何一種排課方案都可以在設(shè)計的編碼空間中找到對應(yīng)的解。

約束的處理 排課問題中的各類約束條件在設(shè)計的算法中都要得到對應(yīng)和處理。本文采用懲罰函數(shù)法來處理約束。懲罰函數(shù)法是解非線性約束優(yōu)化問題常用的一種方法[5-6]，

它根據(jù)約束的特點構(gòu)造某種懲罰函數(shù)，并把它加到目標(biāo)函數(shù)中去，使約束問題的求解轉(zhuǎn)化為一系列無約束問題的求解。對無約束問題求解過程中違反約束的迭代點給予很大的目標(biāo)函數(shù)值，從而迫使這一系列無約束問題的極小點逐漸收斂于約束問題的極小點。本文具體做法：如果一個種群個體染色體對應(yīng)的解違反了某個約束條件（包括硬性約束條件、用戶自定義約束條件），算法將根據(jù)其違反約束的程度給予一定的懲罰，使該個體具有較小的適應(yīng)度值。這種處理方式可以保證在不損失種群數(shù)目的前提下，隨著種群的進(jìn)化，使不可行解的數(shù)量在整個種群中所占的比例越來越小，而可行解的數(shù)量則越來越多，并逐步趨向于最優(yōu)解。

初始種群生成 初始種群是遺傳算法迭代的起點，它選擇的好壞將直接影響算法的效率[7]。在遺傳算法中，要求初始種群內(nèi)個體多樣化，以保證較高的進(jìn)化效率[8-9]。根據(jù)前文介紹，每個個體的染色體是行為40個時間片（即一個教學(xué)班一周的課表），列為教學(xué)班組成的二維數(shù)組。對每一個教學(xué)班來說，根據(jù)課程的周任課數(shù)，隨機初始化到這一行中，用1表示，其他位數(shù)用0填充。所有的教學(xué)班均按此辦法操作，就可以形成一個個體。按照種群的大小，產(chǎn)生一定數(shù)量的個體構(gòu)成初始種群。對于固定課和預(yù)排課，初始化的時候要特別注意。

適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計 在遺傳算法體系中，適應(yīng)度是描述種群中個體優(yōu)劣的主要指標(biāo)，進(jìn)化時根據(jù)個體適應(yīng)度的大小優(yōu)勝劣汰。參照以自然選擇學(xué)說為核心的現(xiàn)代生物進(jìn)化理論，遺傳算法中的適應(yīng)度對應(yīng)著生物界中物競天擇、適者生存的物種生存能力，在算法執(zhí)行過程中起到極其重要的作用。為了使用遺傳算法來表示和求解排課問題，需要將排課問題的目標(biāo)函數(shù)與種群個體適應(yīng)度建立一種映射關(guān)系，從而在群體進(jìn)化過程中實現(xiàn)對排課問題目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)。

前文提到排課問題中，對一種排課方案的好壞評價是很復(fù)雜的，包含各課表元素的規(guī)則和要求——硬約束條件、用戶自定義約束條件和軟約束條件。使用遺傳算法求解排課問題時，適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造和設(shè)計尤為關(guān)鍵，是不可或缺的一步。綜合考慮三類約束條件，本文提出適應(yīng)度函數(shù)由兩部分組成：不可違反代價f1（違反硬約束條件、用戶自定義約束條件產(chǎn)生的代價）和可違反代價f2（違反軟約束條件產(chǎn)生的代價）。本文設(shè)計的適應(yīng)度函數(shù)的特點：當(dāng)有違反硬性約束時（即使只違反了一個），那么個體的適應(yīng)度將主要由f1決定；只有在沒有違反硬性約束的情況下，個體適應(yīng)度主要由f2決定。適應(yīng)度函數(shù)為：

其中：

ρ是一個0～1之間的小數(shù)，用于條件f1和f2間的權(quán)重比例；αi為第i個硬約束條件、用戶自定義約束條件的權(quán)重；βi為第i個軟約束條件的權(quán)重。endprint

遺傳算子設(shè)計 遺傳操作是遺傳算法的核心處理過程，是算法實現(xiàn)迭代尋優(yōu)功能的最主要工具。在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法中，遺傳操作包括三種基本遺傳算子，即選擇算子、交叉算子、變異算子。

1）選擇算子（Selection）。生物界進(jìn)化機制中的選擇操作能夠?qū)崿F(xiàn)個體染色體的復(fù)制延續(xù)，使各種生物能夠保持各自性狀，從而保證物種種群穩(wěn)定。遺傳算法也引入選擇操作方式，選擇的目的是優(yōu)勝劣汰，它根據(jù)種群中個體適應(yīng)度的大小，將適應(yīng)度高的個體挑選出來，使其染色體有更高機率往下一代遺傳，而逐步將適應(yīng)度低的個體淘汰。因此，選擇操作的實質(zhì)是挑選，其作用是定向優(yōu)化。在種群進(jìn)化迭代的過程中，由于選擇算子的定向優(yōu)化作用逐代疊加，使整個種群個體都朝著適應(yīng)度高的方向進(jìn)化，從而使種群的品質(zhì)越來越高。選擇算子決定了種群中哪些個體染色體可以遺傳復(fù)制到下一代，直接影響到種群的多樣性。

為了提高算法的全局搜索能力，改進(jìn)選擇算子是最重要途徑之一。選擇算子有很多種處理方式，常見的方法有輪盤賭選擇法、隨機遍歷抽樣法、截斷選擇法和錦標(biāo)賽選擇法等，這些方法都有各自的特點和適用范圍。本文在對常見的各種選擇算子進(jìn)行分析研究后，決定采用輪盤賭選擇策略計算概率，并在此基礎(chǔ)上使用最優(yōu)保存策略進(jìn)行挑選，結(jié)合使用這兩種策略，保證種群最佳個體有更高概率向子代遺傳，避免其在迭代過程中損失，加快遺傳算法朝最優(yōu)解收斂的速度。

2）交叉算子（Crossover）。為了模擬生物界物種繁衍的機制，遺傳算法引入交叉操作，從而達(dá)到基因重組的目的，使父代個體染色體中的基因片段定向遺傳到子代個體中去。交叉算子是通過交換兩個父代個體部分對應(yīng)基因片段來進(jìn)行操作的，其結(jié)果是產(chǎn)生兩個各自遺傳一部分父代染色體基因的子代個體。交叉算子在遺傳算法中起著最核心的作用[10]，經(jīng)過交叉操作的處理，大大提升了遺傳算法的全局搜索能力。

種群初始化時，每個個體對應(yīng)的布爾矩陣的每一行中數(shù)值為1的元素個數(shù)等于其對應(yīng)教學(xué)班的周課時數(shù)。在遺傳算法執(zhí)行過程中，不論是交叉操作還是后面將要介紹的變異操作，每一代每個種群個體都要遵循這個原則。單點交叉是傳統(tǒng)遺傳算法最常用的交叉操作方式，其做法是在個體染色體上任意選擇一個基因位置作為交叉點，互換待交叉的兩個父代個體在該交叉點右邊的染色體片段，但這種操作不能滿足周課時數(shù)規(guī)則，因此不能直接使用。考慮到課表問題的特殊性，本文采用矩陣染色體對應(yīng)行之間分別進(jìn)行局部交叉操作，具體操作時參照單點交叉的方式并對處理過程做了改良。為了保證交叉操作后的子代個體依然滿足周課時數(shù)規(guī)則，在設(shè)計交叉操作時對交叉點的選取做了限制：只有兩個父代染色體在交叉點前基因值為1的個數(shù)相同時，才允許交叉。交叉得到的兩個子代個體分別繼承了父代的部分基因。

3）變異算子（Mutation）。選擇算子和交叉算子的引入已經(jīng)能夠保證遺傳算法逐代促進(jìn)種群進(jìn)化，但是并不能保證找到種群中沒有出現(xiàn)過的優(yōu)秀個體。因此，單純通過選擇操作和交叉操作有可能只能得到局部最優(yōu)解，而非全局最優(yōu)解。遺傳算法為了解決這一問題，引入了變異算子。變異操作是根據(jù)變異率pm將個體染色體中的部分基因值換成其他基因值，其結(jié)果是產(chǎn)生一個全新的個體。變異操作是遺傳算法中生成新個體的另一種方式，它不僅增強了遺傳算法的全局搜索能力，而且能夠使種群具備多樣性。

變異是模擬物種繁衍過程中基因突變而引入的遺傳操作。在由初始種群中代表課表的大量隨機個體逐代進(jìn)化為完全符合學(xué)校教學(xué)需要的有效課表的過程中，變異操作的作用也至關(guān)重要。本文中設(shè)計的變異操作過程是這樣設(shè)計的：進(jìn)行變異操作前，在個體染色體上任意選取兩個變異點a，b，定義變異前的個體染色體為chromosome；為了保證變異產(chǎn)生的新個體依然滿足周課時數(shù)規(guī)則，在設(shè)計變異操作時對變異點的選取做了限制，只有當(dāng)chromosome[a]+

chromosome[b]=1時才能進(jìn)行變異操作；通過交換chromosome

[a]、chromosome[b]的數(shù)值，就產(chǎn)生了全新的個體。

算法控制參數(shù)和終止條件

1）控制參數(shù)。遺傳算法中控制參數(shù)（包括群體規(guī)模N、交叉率pc、變異率pm）的選取不同，對算法的性能和結(jié)果影響很大，要想得到遺傳算法的最優(yōu)性能，必須確定最優(yōu)參數(shù)的設(shè)置[11]。這里采用自適應(yīng)策略調(diào)整交叉率pc和變異率pm，不僅提高了遺傳算法的搜索效率和速度，而且可以抑制未成熟過早收斂，還能防止優(yōu)良個體染色體遭到破壞。為此，定義某代種群中最優(yōu)個體的適應(yīng)度為fmax，種群的平均適應(yīng)度以表示，定義f′為k-交換變異個體的適應(yīng)度，是兩個待交叉父代個體中適應(yīng)度較大的一個，交叉率pc、變異率pm分別通過以下公式得到：

其中，k1、k2、k3、k4為小于等于1.0的常數(shù)。對于k2、

k4，因為或者，個體適應(yīng)度低于種群平均適應(yīng)度，于是給予較大的pc、pm，加大適應(yīng)度差個體染色體被破壞的概率；而k1、k3可根據(jù)需要動態(tài)調(diào)節(jié)。pc一般在

0.75～0.95之間，pm 一般為0.005～0.01。

2）終止條件。遺傳算法本質(zhì)是模擬生物的進(jìn)化與遺傳，依據(jù)“生存競爭”和“優(yōu)勝劣汰”的原則，借助選擇、交叉和變異等操作，使所要解決的問題經(jīng)過多次迭代計算，從初始解一步步逼近最優(yōu)解[12]。這些操作使得遺傳算法具備很強的全局搜索能力，同時造成其結(jié)果受到隨機性的干擾。為避免算法缺乏有效的迭代停止條件，本文設(shè)計幾種終止條件：如果種群進(jìn)化至1000代，則終止算法；如果某代種群中個體的平均適應(yīng)度與當(dāng)代最優(yōu)個體適應(yīng)度的比值大于0.9時，則終止算法；如果最優(yōu)個體持續(xù)保持10代，則終止算法。

以上設(shè)計的三種終止條件，遺傳算法執(zhí)行過程中如果符合其中任意一個條件，即認(rèn)為算法達(dá)到收斂，可終止算法并返回排課結(jié)果。

3 結(jié)語

本文結(jié)合新形勢下排課的實際問題，立足工作實踐經(jīng)驗，總結(jié)抽象構(gòu)建出排課問題的數(shù)學(xué)模型，并在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上做了一系列改進(jìn)來求解排課問題。本文針對排課數(shù)學(xué)模型設(shè)計了專門的染色體結(jié)構(gòu)，優(yōu)化了初始種群的生成過程，并在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上對選擇算子、交叉算子和變異算子等多方面進(jìn)行改進(jìn)，采用自適應(yīng)策略調(diào)整交叉率pc和變異率pm，并借鑒模擬退火算法的思想調(diào)整個體適應(yīng)度，根據(jù)適應(yīng)度，按輪盤賭法和最佳個體保存選擇策略復(fù)制子代染色體。目前，該算法已成功應(yīng)用在東華博育云有限公司的排課產(chǎn)品中，實驗表明能得到較滿意的課程安排方案，運行效率高，課表中出現(xiàn)資源沖突現(xiàn)象顯著減少，極大地縮短了學(xué)校教務(wù)管理人員排課工作消耗的時間。endprint

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