葉永鵬 張軍朋

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院,廣東 廣州 510006)

圖1 玻璃風(fēng)琴

高腳紅酒杯可以通過(guò)摩擦杯口發(fā)出音調(diào)穩(wěn)定的聲音,這種聲音悠長(zhǎng)且純凈,被不少藝術(shù)家稱為“天堂的聲音”.依靠一定的調(diào)音手段,多個(gè)合適的紅酒杯可以產(chǎn)生音階并組成樂(lè)器,這樣的樂(lè)器即為玻璃風(fēng)琴(Glass Harp).玻璃風(fēng)琴的歷史可以追溯到18世紀(jì),著名科學(xué)家Benjamin Franklin制成了第一臺(tái)可用于大型演奏的玻璃風(fēng)琴并為其譜曲.著名作曲家Mozart也曾為玻璃風(fēng)琴譜寫過(guò)作品.直至今日,仍存在許多像Bruno Hoffman、Robert Tiso這樣的玻璃風(fēng)琴演奏家.通過(guò)網(wǎng)絡(luò),越來(lái)越多的人可以欣賞到的玻璃風(fēng)琴優(yōu)美的聲音.[1]

玻璃風(fēng)琴除了有豐富的藝術(shù)價(jià)值外,還有一定的教學(xué)價(jià)值.一方面,摩擦可以讓玻璃風(fēng)琴發(fā)出音調(diào)穩(wěn)定的聲音.這一現(xiàn)象可用受迫振動(dòng)與共振的知識(shí)解釋,了解其原理可以加深對(duì)受迫振動(dòng)與共振的理解,因此玻璃風(fēng)琴可以用于物理教學(xué)中.另一方面,制作玻璃風(fēng)琴是一個(gè)探究過(guò)程,可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力與科學(xué)探究能力,因此可以將其作為一種課外探究活動(dòng).除此之外,玻璃風(fēng)琴能有效激起學(xué)生的好奇心,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到物理與音樂(lè)之間有著密不可分的聯(lián)系,因此其可以作為科學(xué)與藝術(shù)的橋梁,讓學(xué)生對(duì)物理與音樂(lè)有更深刻的認(rèn)識(shí).因此,了解玻璃風(fēng)琴的發(fā)聲原理和制作方法將對(duì)教學(xué)具有幫助.本文將對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)述.

1 儀器原理

1.1 玻璃杯的振動(dòng)分析

玻璃杯通過(guò)摩擦引起的振動(dòng)屬于受迫振動(dòng),但與典型的受迫振動(dòng)不同,玻璃杯的振動(dòng)并不是由周期性的外力引起的,而是由摩擦引起的.為什么摩擦能夠引起玻璃杯的振動(dòng)?摩擦學(xué)的研究表明,物體因摩擦而引起的振動(dòng)源于兩個(gè)表面之間的“粘滑現(xiàn)象”(stick-slip).這一現(xiàn)象大致可以理解為如下的過(guò)程,如圖2為微觀視角下,不平整杯口的一個(gè)凸起,其頂端與運(yùn)動(dòng)的手指接觸.起初接觸點(diǎn)與手指粘結(jié)在一起,與手指保持靜止.隨著手指的運(yùn)動(dòng),接觸點(diǎn)受到的切向彈性力不斷增大,因此接觸點(diǎn)不可能一直與手指保持靜止,于是當(dāng)彈性力大于粘著力時(shí),接觸點(diǎn)會(huì)滑移至平衡位置,成為擾動(dòng)源,激起玻璃表面的彎曲波,帶動(dòng)整個(gè)玻璃杯的振動(dòng).[2]可以看到,“粘滑現(xiàn)象”在激勵(lì)玻璃杯的過(guò)程中扮演了非常重要的角色.設(shè)想如果手指與杯口之間只有滑動(dòng)而沒(méi)有粘滯,那么無(wú)論如何都不能激起玻璃杯的振動(dòng).實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn),潤(rùn)濕的手指可以輕松地使玻璃杯發(fā)出聲響,而干燥的手指卻非常困難,這是因?yàn)榻?rùn)的液體能使手指與杯口有更強(qiáng)的粘滯.這一結(jié)論與上述分析一致.事實(shí)上,我們熟知的小提琴,其聲音也是由琴弓與琴弦的摩擦產(chǎn)生,琴弦的振動(dòng)也是源于“粘滑現(xiàn)象”.[3]而實(shí)驗(yàn)證明,涂有松香的琴弓或者是手指也確實(shí)可以使玻璃杯發(fā)出聲音.

圖2 粘滑現(xiàn)象

圖3 隨機(jī)激勵(lì)的時(shí)域-頻域分析

由于玻璃杯表面的不規(guī)則特性,手指對(duì)玻璃杯的激勵(lì)并非是周期性的,而是隨機(jī)的.因此從激勵(lì)類型看,摩擦引起玻璃杯的受迫振動(dòng)屬于隨機(jī)振動(dòng).在振動(dòng)力學(xué)里,分析隨機(jī)振動(dòng),可以采用傅立葉分析方法,把復(fù)雜的、隨機(jī)的驅(qū)動(dòng)力看成是無(wú)數(shù)個(gè)頻率不同的驅(qū)動(dòng)力疊加的結(jié)果.如圖3為某個(gè)不規(guī)則表面的隨機(jī)激勵(lì)的時(shí)域圖經(jīng)快速傅立葉變換后(FFT)的頻譜圖.[4]也就是說(shuō),系統(tǒng)所受的驅(qū)動(dòng)力頻率覆蓋了一個(gè)頻率范圍.假設(shè)這個(gè)范圍涵蓋了系統(tǒng)的固有頻率,則根據(jù)受迫振動(dòng)的頻率規(guī)律可知,這無(wú)數(shù)個(gè)驅(qū)動(dòng)力都將使系統(tǒng)做對(duì)應(yīng)頻率的受迫振動(dòng).然而,根據(jù)共振產(chǎn)生的條件,只有振動(dòng)頻率等于固有頻率的受迫振動(dòng)才具有大的振幅,而其他頻率的振動(dòng)則由于激勵(lì)頻率離固有頻率太遠(yuǎn),振幅太小,因而難以被感覺(jué).

總之,我們認(rèn)為手指作用在杯口的摩擦力可以等效為一系列頻率不同的驅(qū)動(dòng)力的疊加.這些驅(qū)動(dòng)力使得玻璃杯做著有多個(gè)振動(dòng)頻率的復(fù)合受迫振動(dòng),又因?yàn)楣舱駰l件的存在,系統(tǒng)可以對(duì)這些受迫振動(dòng)進(jìn)行篩選,放大固有頻率的振動(dòng)而抑制其他頻率的振動(dòng).這即是為什么摩擦玻璃杯時(shí),人耳聽到的音調(diào)是固定的,且聲音的頻率總是與玻璃杯固有頻率相等.

1.2 玻璃杯的固有頻率

玻璃杯屬于彈性連續(xù)體,作為振動(dòng)系統(tǒng)有著無(wú)窮多個(gè)固有頻率.實(shí)際情況下由于高階的振型振幅過(guò)小,可以分辨的固有頻率非常有限,而研究發(fā)現(xiàn),人耳直觀感受到的音調(diào)主要取決于其一階固有頻率(基頻),其他固有頻率則決定了聲音的音色.國(guó)外研究者A.P.French利用能量法推導(dǎo)了一階固有頻率的表達(dá)式

由表達(dá)式可知,決定固有頻率的因素包括玻璃杯的密度ρg、楊氏模量Y、杯壁平均厚度a、杯腔的等效高度H以及等效半徑R.由于玻璃杯的等效高度H與等效半徑R難以確定,因此該表達(dá)式并不適用于玻璃杯固有頻率的確定,但這一公式對(duì)我們預(yù)測(cè)玻璃杯的固有頻率有一定的幫助,例如從表達(dá)式可知,在材質(zhì)、厚度、以及等效半徑相同的情況下,杯腔高度越高的玻璃杯固有頻率越低.這些定性分析的結(jié)論也與實(shí)驗(yàn)相符.[5]

以上探討的是僅以玻璃杯為振動(dòng)系統(tǒng)的情況.若玻璃杯內(nèi)盛有液體,則振動(dòng)系統(tǒng)由玻璃杯與水共同組成.此時(shí)系統(tǒng)的固有頻率將低于空杯狀態(tài)下的固有頻率,并且很容易觀察到水量越多,產(chǎn)生聲音的音調(diào)越低.文獻(xiàn)[6]中對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行了研究,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定了某玻璃杯的固有頻率與水量的關(guān)系,其結(jié)果如圖4所示.可以看出隨著水量的增加,玻璃杯的固有頻率下降得越來(lái)越快,而在接近滿杯時(shí)頻率下降與水量基本成線性關(guān)系.相比于空杯狀態(tài),滿杯時(shí)的固有頻率大幅下降.[6]然而實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),水量增加會(huì)使得玻璃杯振動(dòng)的振幅變?nèi)?因此,對(duì)于玻璃風(fēng)琴而言,改變水量可調(diào)節(jié)的音調(diào)范圍是有限的.一般而言,頻率的改變量不能超過(guò)玻璃杯固有頻率的25%(大約為二或三度的音程).

圖4 玻璃杯固有頻率f與水量V的關(guān)系

圖5 調(diào)音軟件測(cè)定玻璃杯固有頻率

確定玻璃杯的固有頻率可采用實(shí)驗(yàn)測(cè)定的方式,借助裝有調(diào)音軟件或頻譜分析軟件的智能手機(jī)可以很容易地完成測(cè)定.在測(cè)定時(shí),可通過(guò)敲擊引起玻璃杯的自由振動(dòng),調(diào)音軟件(以安卓軟件Best Tuner為例)能直接測(cè)得聲音的頻率(如圖5),除此之外也可通過(guò)頻譜分析軟件的實(shí)時(shí)采樣,得到玻璃杯聲音的頻譜圖(如圖6),其中圖像的尖峰便對(duì)應(yīng)著玻璃杯的固有頻率,尖峰的高度對(duì)應(yīng)著該頻率振動(dòng)的強(qiáng)度.可以看到,頻譜圖有多個(gè)高度不同的尖峰,表明玻璃杯有著不同的固有頻率,且各個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)的振動(dòng)強(qiáng)度也并不相同.

圖6 玻璃杯聲音的頻譜分析

2 儀器制作

2.1 選擇要表演的樂(lè)曲

在選擇樂(lè)曲時(shí),應(yīng)注意以下問(wèn)題.一是歌曲的音階跨度不宜太大,這是因?yàn)楣逃蓄l率太高或太低的玻璃杯比較難找.二是歌曲的音符數(shù)不宜過(guò)多,節(jié)奏也不宜過(guò)快,否則表演時(shí)雙手會(huì)難以操作;除此之外,歌曲太簡(jiǎn)單也難以激起學(xué)生的興趣.因此歌曲難度要適中.例如《我和你》、《歡樂(lè)頌》等經(jīng)典音樂(lè),下面將以《我和你》為例,介紹儀器制作的步驟.除此之外,也可選擇制作完整音階的玻璃風(fēng)琴,這樣可以演奏更多的樂(lè)曲.

2.2 確定頻率關(guān)系

在確定所要演奏的歌曲后,為了選擇合適的玻璃杯,可以先根據(jù)樂(lè)譜確定相對(duì)頻率.這需要對(duì)音律知識(shí)有一定的了解.根據(jù)十二平均律,兩個(gè)倍頻音之間的頻率差(即一個(gè)八度的音程)可以按比例平均分成12份,每等份稱為半音程,每?jī)傻确址Q為全音程.由此我們得到了一個(gè)有13項(xiàng)的等比數(shù)列,數(shù)列的公比為21/12,即每個(gè)音的頻率為前一個(gè)音的21/12(約為1.059)倍.我們所熟知的自然音階(Do-Re-Me-Fa-Sol-La-Xi-Do)即是按“全-全-半-全-全-全-半”的音程排序的,各音符的音程關(guān)系以及頻率關(guān)系可用圖7總結(jié).其中f是某個(gè)已知的參考頻率.依照上述結(jié)論還可以推出相鄰八度音對(duì)應(yīng)的頻率,例如1對(duì)應(yīng)的頻率是0.5f,而5是0.75f.

圖7 十二平均律中唱名與頻率的關(guān)系圖

根據(jù)《我和你》的簡(jiǎn)譜,結(jié)合以上頻率關(guān)系,可以確定包含的唱名以及對(duì)應(yīng)的相對(duì)頻率,如表1.

表1 《我和你》包含的唱名及頻率

2.3 選擇合適的玻璃杯

選擇合適的玻璃杯是儀器制作的關(guān)鍵,一方面,玻璃杯的聲音的音色和響度可能因材質(zhì)和加工工藝的不同而大相徑庭.在玻璃材質(zhì)方面,常見的有普通玻璃和水晶玻璃,其中水晶玻璃比普通玻璃更硬,透光率更高,以此為材料的玻璃杯的聲音會(huì)更為清脆.在處理工藝方面,制作通常有冷切口處理和卷口處理兩種工藝,采用冷切口工藝的玻璃杯聲音更明亮,音色也更純凈.因此,在挑選玻璃杯時(shí)我們應(yīng)選擇采用冷切口加工工藝的水晶玻璃杯.為了獲得更多的固有頻率,在挑選時(shí),可以在大型家居市場(chǎng)或者是電商購(gòu)買多種不同規(guī)格的玻璃杯.

圖8 卷口工藝的玻璃杯

2.4 調(diào)音

使用調(diào)音軟件測(cè)定各個(gè)玻璃杯的固有頻率,根據(jù)前面確定的頻率關(guān)系,挑選適合的玻璃杯,并推算出各個(gè)頻率的精確值,如表2.其中音調(diào)偏高的玻璃杯,可通過(guò)加水來(lái)進(jìn)行微調(diào).此后每次演奏前,這些玻璃杯都需要根據(jù)確定的頻率值重新加水調(diào)音.

表2 《我和你》包含的唱名、頻率、精確頻率以及玻璃杯固有頻率

2.5 玻璃杯的固定和儀器的組裝

選取一塊厚度超過(guò)3mm的木板或泡沫板,將定調(diào)的玻璃杯放置于木板上,按音階順序排成圓弧狀(凹向演奏者),選取杯底圓周的4個(gè)對(duì)稱點(diǎn),用鉛筆標(biāo)記其在木板上的位置.取走玻璃杯,用電鉆在標(biāo)記點(diǎn)上對(duì)木板開孔,開孔完畢后即可用兩條尼龍?jiān)鷰⒉ＡП潭?圖10).再在木板的底部加裝墊高塊,完整的玻璃風(fēng)琴即組裝完成.日后需要更換玻璃杯時(shí),拆下扎帶重新安裝即可.

圖10 用扎帶將玻璃杯固定

3 結(jié)語(yǔ)

玻璃風(fēng)琴的演奏可以有效地吸引學(xué)生的注意力,但其并非只是一個(gè)噱頭.實(shí)際上,相比于教材介紹的驅(qū)動(dòng)力周期變化的受迫振動(dòng),隨機(jī)激勵(lì)的受迫振動(dòng)在日常生活中更加常見,例如氣流引起的大橋的振動(dòng)與汽車在路面上的顛簸.這些振動(dòng)都與玻璃杯的振動(dòng)類似,它們的驅(qū)動(dòng)力頻率都覆蓋了一定的范圍,在系統(tǒng)的選擇下,系統(tǒng)做出特定頻率的受迫振動(dòng).因此在教學(xué)中,可以以玻璃風(fēng)琴為例子,分析此類隨機(jī)激勵(lì)的受迫振動(dòng),加深學(xué)生對(duì)共振現(xiàn)象的理解.除此之外,制作玻璃風(fēng)琴也可以作為一個(gè)學(xué)生探究活動(dòng),發(fā)展學(xué)生的探究能力與動(dòng)手能力.為達(dá)到演奏的效果,學(xué)生需要對(duì)音樂(lè)知識(shí)有一定的了解,這切合當(dāng)前流行的“STEAM”的教育理念,讓學(xué)生體會(huì)科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系,從而使其綜合能力得到全面發(fā)展.

1 T D Rossing. Acoustics of the glass harmonica[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1994(95):1106-1111.

2 莊表中, 黃志強(qiáng). 振動(dòng)分析基礎(chǔ)[M]. 北京:科學(xué)出版社, 1985：112-122.

3 胡元中. 提琴聲中的摩擦原理[J]. 力學(xué)與實(shí)踐,2008(05):110-111.

4 呂士寶. 車輛隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析與計(jì)算[D].蘭州交通大學(xué),2013：11-18.

5 A P French. A study of wineglass acoustics[J]. American Journal of Physics, 1983(51):688-694.

6 宋徐林,王昆林. 利用DIS數(shù)字化信息系統(tǒng)對(duì)高腳玻璃杯振動(dòng)聲現(xiàn)象的研究[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2015(03):43-46.