剛體角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)定律的教學(xué)討論

于洪杰

（齊齊哈爾工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，黑龍江 齊齊哈爾 161005）

大學(xué)物理教材中一般對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量與角速度關(guān)系表述不是很明確，往往使學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解，另外，在轉(zhuǎn)動(dòng)定律中對(duì)力矩與角加速度關(guān)系交代不明確，也使學(xué)生對(duì)剛體這一章中的物理量理解不透徹.原因可能是，第一，教材中給定的描述使學(xué)生迷失方向，產(chǎn)生誤解；第二，教學(xué)的學(xué)時(shí)數(shù)有限對(duì)此問(wèn)題的闡述帶來(lái)的限制[1]；第三，教師在授課過(guò)程中經(jīng)常采用類(lèi)比的講法，給學(xué)生造成一個(gè)錯(cuò)覺(jué).本文對(duì)剛體這一章涉及的幾個(gè)物理量之間的關(guān)系進(jìn)行討論，希望對(duì)讀者有所借鑒.

1 剛體的角動(dòng)量

式中，mi為 Pi點(diǎn)的質(zhì)量→i為該點(diǎn)的速度→i為 Pi點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的位置矢量.

而整個(gè)剛體對(duì)O的角動(dòng)量為剛體中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的角動(dòng)量的矢量和：

其中，

如果剛體繞固定軸Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

若和xoy平面垂直的Oz軸為慣量主軸，此時(shí)，Lx=-Ixzωz=0，Ly=-Iyzωz=0，Lz=Izzωz，所以，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量為：

式中,Izz為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ωz為剛體的角速度.

以上討論可知：

（1）剛體繞固定軸Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)且Oz軸為慣量主軸時(shí)，角動(dòng)量作為角動(dòng)量的定義式是欠妥的，教師在授課時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)，只是在特殊情況下，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量可以表示為一般情況下，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和角速度方向并不相同.

（3）剛體是屬于質(zhì)點(diǎn)系的，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是相對(duì)于某一點(diǎn)而言的，因此剛體的角動(dòng)量也應(yīng)相對(duì)某一點(diǎn)而言，當(dāng)剛體的質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上時(shí)，此時(shí)，參考點(diǎn)選擇在定軸上才有意義，剛體對(duì)軸上各點(diǎn)的角動(dòng)量均有相同的值，此時(shí)，可以說(shuō)“剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量”.

2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律

2.1 剛體的合外力矩

整個(gè)剛體對(duì)O的外力矩為剛體中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的外力矩的矢量和：

2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

由角動(dòng)量的定義式（1），可以求得角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率為：

在直角坐標(biāo)系下的分量式為：

將（2）式和（3）式代入（5）式可得下式：

2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

如果剛體繞固定軸Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

以上討論可知：

（1）剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在本質(zhì)上是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理的一個(gè)分量式，所以，有的教材上把轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)成是不妥的.如果這樣的關(guān)系式成立，則該式在x、y、z軸上的分量式應(yīng)為：

實(shí)際上，無(wú)論剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)還是繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，都不存在這樣的表達(dá)式.

（2）把剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)成Mz=Izα可以，但改為矢量式有些不妥，標(biāo)量表達(dá)式不等于矢量表達(dá)式.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)剛體的角動(dòng)量進(jìn)行推導(dǎo)，說(shuō)明剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和角速度方向并不相同，得出角動(dòng)量應(yīng)由（1）式或（2）式來(lái)確定.由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理又進(jìn)一步得出剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的表達(dá)式，指出用標(biāo)量方程表達(dá)效果更好.

〔1〕周雨青．大學(xué)物理教材及教學(xué)應(yīng)重視剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量與角速度的方向關(guān)系．物理與工程，2006,2(26)：37-40.

〔2〕馬文蔚．物理學(xué)教程（第二版）[M]．高等教育出版社，2006.

〔3〕周衍柏．理論力學(xué)教程（第三版）[M]．高等教育出版社，2009.