基于單天線的模式濾波測(cè)角方法

朱曉丹，裴澤霖，王克讓，陳 卓，朱偉強(qiáng)

(1.中國(guó)航天科工集團(tuán)8511研究所,江蘇 南京 210007; 2.北京遙感信息研究所，北京 100192)

0 引言

角度估計(jì)是雷達(dá)、偵察、導(dǎo)航等領(lǐng)域的重要內(nèi)容，按照觀測(cè)量的不同，角度估計(jì)方法大致可以分為比幅測(cè)角、比相測(cè)角、時(shí)差測(cè)角等[1]。其中，比相測(cè)角和時(shí)差測(cè)角方法需要形成基線，時(shí)差測(cè)角需要2個(gè)接收天線和通道，基線相對(duì)較長(zhǎng)；比相測(cè)角主要包括相位干涉儀、空間譜估計(jì)測(cè)角，一般要求多個(gè)接收天線和通道。比幅測(cè)角方法通過(guò)比較多個(gè)天線/波束信號(hào)幅度的相對(duì)大小得到目標(biāo)角度估計(jì)，最少只需要一個(gè)天線。由于原理簡(jiǎn)單，且信號(hào)幅度易于測(cè)量，比幅測(cè)角方法得到較早的研究和發(fā)展。常見(jiàn)的比幅測(cè)角方法包括最大幅度搜索法[1]、最小幅度搜索法[2-3]、多天線/波束比幅法[4]以及和差波束法[5]等。但是，傳統(tǒng)比幅測(cè)角方法一般要求天線或波束的主瓣對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)方向，因而只利用到了方向圖的主瓣信息，進(jìn)一步提高測(cè)角精度需要充分利用天線在不同方向上獲取的信息。文獻(xiàn)[6～8]研究了利用旋轉(zhuǎn)單天線實(shí)現(xiàn)測(cè)角的方法，提出了最大似然估計(jì)方法，但需要進(jìn)行搜索求解，算法計(jì)算量大。文獻(xiàn)[9]基于最大后驗(yàn)概率函數(shù)提出一種迭代解卷積方法，可實(shí)現(xiàn)超分辨率測(cè)角。文獻(xiàn)[10～11]將旋轉(zhuǎn)單天線測(cè)角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為譜估計(jì)模型，并基于有限更新率采樣理論，提出一種超分辨率估計(jì)方法，但需要通過(guò)零化濾波等方法求解，計(jì)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[12]基于正交匹配追蹤方法估計(jì)出目標(biāo)角度。文獻(xiàn)[13～14]將天線看成是傳輸函數(shù)，接收信號(hào)功率則是天線方向圖與觀測(cè)角度的卷積，因而提出一種基于傅里葉變換和解卷積的求法。盡管上述方法給出了目標(biāo)角度的估計(jì)，但普遍存在計(jì)算復(fù)雜較高的問(wèn)題，且通常將天線主瓣近似為高斯函數(shù)，引入了模型誤差，因此也難以實(shí)現(xiàn)高精度測(cè)角。為了避免傳統(tǒng)比幅方法的不足，并實(shí)現(xiàn)低復(fù)雜度測(cè)角，受文獻(xiàn)[15～16]中幅度加權(quán)測(cè)角方法的啟發(fā)，本文提出一種基于模式濾波測(cè)角方法，首先將天線方向圖表示為指數(shù)和形式，再通過(guò)加權(quán)實(shí)現(xiàn)對(duì)特定天線模式的選擇，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可解析估計(jì)的模型，同時(shí)推導(dǎo)得到理論精度和無(wú)模糊測(cè)角范圍。1 傳統(tǒng)比幅測(cè)角方法單天線在旋轉(zhuǎn)圓周上兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)處接收角度為θ0的目標(biāo)信號(hào)，2次觀測(cè)間隔角度為Δθ。由于接收角度的不同，接收到的目標(biāo)信號(hào)存在功率的差異，比較2次接收信號(hào)功率的相對(duì)大小即可實(shí)現(xiàn)對(duì)角度的估計(jì)，假定天線方向圖為F(θ)，兩次接收到的信號(hào)的功率分別為p1、p2，則有：p2/p1=Fθ0-Δθ/Fθ0

(1)

因此，可由天線方向圖建立比幅測(cè)角查找表，根據(jù)p2/p1確定目標(biāo)角度。也可以將天線主瓣擬合為二次函數(shù)推導(dǎo)解析解，如將天線主瓣擬合為式(2)所示的形式：

F(θ)=aθ2+c

(2)

式中，a、c為二次擬合系數(shù)；θ∈[-θm,θm]，θm為擬合的主瓣寬度，如取3dB波束寬度，其大小影響擬合的精度以及最大交叉角度Δθ，一般有Δθ<θm。則有：

(3)

此時(shí)可根據(jù)p2/p1結(jié)合擬合系數(shù)求得：

Δθ+(a2Δθ2p1p2-ac(p1-p2)2)1/2)/a(p1-p2)

(4)

這種比幅測(cè)角方法原理簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，但一般需要在主瓣內(nèi)接收信號(hào)，測(cè)角精度和測(cè)角范圍與方向圖主瓣形狀有關(guān)，通常主瓣越窄、主瓣內(nèi)增益變化越大，測(cè)角精度越高，但測(cè)角范圍也越小，在實(shí)際應(yīng)用中一般難以實(shí)現(xiàn)高精度測(cè)角。

2 旋轉(zhuǎn)單天線測(cè)角模型

為了提高測(cè)角精度，需要充分利用天線在不同方向上接收到的角度信息[17]。如圖 1所示，接收天線圍繞圓點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)并以不同角度接收來(lái)自TO方向的目標(biāo)信號(hào)，圖1中箭頭表示天線旋轉(zhuǎn)方向，粗實(shí)線表示天線方向圖。假定在旋轉(zhuǎn)圓周上共有Q個(gè)均勻分布的觀測(cè)角度，稱為觀測(cè)點(diǎn)。天線方向圖增益表示為F(θ)，對(duì)角度為θ0的目標(biāo)信號(hào)，假設(shè)利用增益為0dB的天線接收到信號(hào)的平均功率為P0(P0>0)，則各觀測(cè)點(diǎn)θq收到的信號(hào)平均功率rq(q為觀測(cè)點(diǎn)序號(hào)，0≤q≤Q-1)為：rq=P0F(θ0-θq)

(5)

圖1 旋轉(zhuǎn)單天線測(cè)角示意圖

圖2 不同模式下的天線方向圖分量

3 基于模式濾波的角度估計(jì)

3.1 模式濾波算法

(9)

此時(shí)，如果m=pN+l只有一組解，或僅有一組解對(duì)應(yīng)的cm不為零，將該解記為cm0，則有：

gl=P0Ncm0ejm0(θ0-θd)

(10)

(11)

式中，φ為cm0的相角，稱為模式相位，即tanφ=lm(cm0)/Re(cm0)。從上述求解方法可以看出，加權(quán)求和實(shí)現(xiàn)了對(duì)模式的濾波，從而將角度估計(jì)模型轉(zhuǎn)化為解析形式。

3.2 加權(quán)參數(shù)l和模式m的選擇

上一節(jié)指出，式(10)成立的條件是m=pN+l只有一組解，或僅有一組解對(duì)應(yīng)的cm不為零。由-M≤m≤M可以得到-(M+l)/N≤p≤(M-l)/N，則p的取值范圍最多為2M/N(表示不小于 2M/N的最小整數(shù))。1)當(dāng)N>2M時(shí)有-2-1-(l/N)

表 1 M=5時(shí)加權(quán)參數(shù)和模式的選擇(c-5=c5≠0)

從本節(jié)的分析可以看出，可通過(guò)選定l和加權(quán)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對(duì)cm的選擇。對(duì)于旋轉(zhuǎn)單天線，N>2M是容易滿足的，只需要在旋轉(zhuǎn)方向選擇足夠的觀測(cè)點(diǎn)；而如果N較小，為了使用模式濾波測(cè)角方法，需要天線滿足一定的條件，即特定的模式為零或非零。

3.3 模式相位φ的估計(jì)

為了估計(jì)角度，還需要知道φ，φ為實(shí)際天線的參數(shù)，可通過(guò)天線的測(cè)試計(jì)算得到。在K個(gè)不同的方向接收同一測(cè)試信號(hào)，信號(hào)功率記為r(θk)(k=1,…,K)。假定天線方向圖關(guān)于0°對(duì)稱，根據(jù)式(7)整理成向量形式為：

(12)

(13)

4 測(cè)角性能分析

4.1 測(cè)角范圍和模糊問(wèn)題

根據(jù)式(11)可以知道，由于arctan(·)函數(shù)可以得到[-π，π]的解值范圍(結(jié)合g的實(shí)部、虛部的正負(fù)性)，因此無(wú)模糊測(cè)角范圍為[-(π+φ)/m0，(π-φ)/m0]，超過(guò)這一范圍將出現(xiàn)測(cè)角模糊，模糊周期為2π/m0。實(shí)際上，經(jīng)過(guò)模式濾波，天線方向圖的有效分量為2Re(cm)cos(mθ)，為關(guān)于θ的周期函數(shù)，因而采用模式濾波法進(jìn)行測(cè)角時(shí)，本質(zhì)上是采用圖 2中所示的各種周期性的方向圖天線進(jìn)行測(cè)角，因而出現(xiàn)了模糊問(wèn)題，結(jié)合cos(mθ)的正負(fù)性可知，無(wú)模糊范圍的大小分別為2π、2π/2、2π/3、2π/4。由圖 2可以知道，m0越小，無(wú)模糊測(cè)角范圍越大；在沒(méi)有其它先驗(yàn)信息的條件下，為了在[-π，π]范圍內(nèi)無(wú)模糊測(cè)角，需要保留m0=1的模式。

4.2 理論誤差分析

根據(jù)式(10)可得：Re(gl)=P0N|cm0|cosφ′

(14)lm(gl)=P0N|cm0|sinφ′

(15)

式中，φ′=m0(θ0-θd)+φ。由于P0未知，對(duì)式(14)、式(15)進(jìn)行微分，可整理為：

(16)

(17)

(18)上述證明中用到了Re(a)Re (b)=2-1Re(abH+ab)，H 表示對(duì)向量a或b的共軛轉(zhuǎn)置。類似地，根據(jù)Im(a)Im(b)=2-1Re (abH-ab)，Re(a)Im(b)=2-1Im (abH-ab)，可求得：

Ι2

(19)

式中，Ι2為二階單位矩陣。代入式(17)可求得：

(20)

如果對(duì)估計(jì)式(11)進(jìn)行誤差推導(dǎo)，得到的測(cè)角精度與式(20)相同，因此式(11)所示的算法可以達(dá)到理論精度，這里不再詳細(xì)描述推導(dǎo)過(guò)程。由式(20)可以看出：1)測(cè)角誤差與m0成反比，根據(jù)前一節(jié)的分析可以知道，無(wú)模糊測(cè)角范圍也與m0成反比，即出現(xiàn)了無(wú)模糊測(cè)角范圍和測(cè)角精度的矛盾；測(cè)角精度與|cm0|成反比，對(duì)特定的天線，可通過(guò)式(20)計(jì)算出不同模式對(duì)應(yīng)的理論估計(jì)精度，從而選擇特定的模式進(jìn)行測(cè)角。2)在同樣的模式下，觀測(cè)點(diǎn)數(shù)越多，測(cè)角精度越高；信噪比越高，測(cè)角精度越高。3)估計(jì)精度與起始觀測(cè)角度θd和待估計(jì)角度θ無(wú)關(guān)，因此，天線主瓣是否對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)對(duì)測(cè)角性能沒(méi)有影響。為了提高測(cè)角精度并兼顧無(wú)模糊測(cè)角范圍，可以選擇較小的模式保證較大的無(wú)模糊測(cè)角范圍，同時(shí)提高cm0，并選擇足夠多的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)保證較高的測(cè)角精度。

圖3 隨機(jī)產(chǎn)生的天線方向圖

圖4 無(wú)模糊測(cè)角范圍

圖5 測(cè)角精度與模式和SNR的關(guān)系

5 仿真分析

下面對(duì)本文提出的旋轉(zhuǎn)單天線模式濾波測(cè)角進(jìn)行仿真分析。將天線量化為共計(jì)M=5個(gè)模式，隨機(jī)產(chǎn)生的c0～c5為4.067、0.437、0.314、0.180、0.014、0.065，圖 3給出了天線方向圖。下面結(jié)合該天線進(jìn)行仿真分析。仿真中，利用增益為0 dB的天線接收到信號(hào)的平均功率P0為1。仿真1(無(wú)模糊測(cè)角范圍分析)：選擇N為180，此時(shí)令l=m即可實(shí)現(xiàn)對(duì)cm的選擇。圖 4給出了不同模式下的無(wú)模糊測(cè)角范圍，可以看出，m越大，無(wú)模糊測(cè)角范圍越小，與理論分析得到的2π/m一致。仿真2(模式和信噪比條件對(duì)測(cè)角性能的影響分析)：仿真中目標(biāo)角度為5°，信噪比(P0/σr)范圍為5～20dB，在旋轉(zhuǎn)圓周上均勻選擇180個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，進(jìn)行1000次Monte-Carlo仿真，統(tǒng)計(jì)測(cè)角誤差。圖 5給出了不同信噪比條件下，測(cè)角誤差與模式的關(guān)系。為了與傳統(tǒng)比幅測(cè)角方法進(jìn)行對(duì)比，圖 5還給出了同樣信噪比條件下利用該天線進(jìn)行比幅測(cè)角的精度，利用二次函數(shù)擬合主瓣，波束擬合范圍分別為-20°～+20°和-30°～+30°，對(duì)應(yīng)的雙波束間隔角度分別為20°和30°，得到的方向圖擬合系數(shù)分別為[-4.711，6.090]以及[-4.224，6.090]。由圖 5可以看出：本文提出的模式濾波方法可以達(dá)到理論估計(jì)精度，估計(jì)精度隨著信噪比的提高而提高，不同模式下測(cè)角精度不同，取決于模式及模式大小的乘積。除模式4由于模式大小偏小外，模式1～3、5對(duì)應(yīng)的測(cè)角精度均優(yōu)于傳統(tǒng)比幅測(cè)角方法。圖 5中還給出了N為6、l為4、測(cè)角模式m為4時(shí)的估計(jì)性能仿真。根據(jù)表 1，此時(shí)要求c-2=c2=0，為了便于對(duì)比，仿真天線模式參數(shù)c0～c5選擇為4.067、0.437、0、0.180、0.014、0.065?？梢钥闯?，此時(shí)測(cè)角性能劣于N=180時(shí)模式4的測(cè)角性能，與理論分析給出的估計(jì)誤差反比于(N)1/2一致。圖5中，在SNR較低時(shí)出現(xiàn)的估計(jì)誤差小于理論誤差，是因?yàn)榇藭r(shí)估計(jì)值被限定在[-π/4，π/4]范圍內(nèi)，影響了測(cè)角誤差的估計(jì)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于模式濾波的旋轉(zhuǎn)單天線測(cè)角方法，通過(guò)將天線方向圖表示為指數(shù)和形式，設(shè)計(jì)合適的模式濾波參數(shù)，對(duì)旋轉(zhuǎn)圓周上均勻觀測(cè)點(diǎn)收到的信號(hào)的功率進(jìn)行加權(quán)，實(shí)現(xiàn)對(duì)角度的解析估計(jì)；由于濾波得到的模式影響測(cè)角精度和測(cè)角范圍，在不同觀測(cè)條件下需要采用不同的模式選擇方法。本文提出的方法可獲得較高的測(cè)角精度，算法簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，對(duì)天線的適應(yīng)性較強(qiáng)。由于只需要單個(gè)接收天線和處理通道，該方法可應(yīng)用于小型無(wú)人機(jī)、微納衛(wèi)星等裝載能力有限、或難以布置長(zhǎng)基線的平臺(tái)，具有十分廣泛的應(yīng)用前景?！?/p>