含功能梯度材料的周期管路振動(dòng)特性研究

杜春陽(yáng), 郁殿龍, 溫激鴻, 劉江偉, 賈鵬飛

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410073)

管路系統(tǒng)通常用來(lái)傳遞能量或物質(zhì)，廣泛應(yīng)用與船舶動(dòng)力、航空航天等領(lǐng)域。充液管路系統(tǒng)是管路系統(tǒng)中最常見的一種結(jié)構(gòu)形式。充液管路系統(tǒng)中存在液體的壓力波脈動(dòng)、管壁振動(dòng)以及兩種振動(dòng)的相互耦合。當(dāng)振動(dòng)的頻率與管路系統(tǒng)的固有頻率相重合時(shí)，會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，危害較大[1]?，F(xiàn)階段的管路減振措施主要有設(shè)置支撐、安裝阻振質(zhì)量、安裝撓性接管[2]、安裝動(dòng)力吸振器，貼敷阻尼材料等[3]。這些措施雖然可以一定程度的解決管路的振動(dòng)問(wèn)題，但也存在一定缺陷。

基于聲子晶體理論，設(shè)計(jì)周期性管路系統(tǒng)，可以有效的對(duì)某些特定頻段的振動(dòng)進(jìn)行控制與削弱[4]，但是由于周期性管路由兩種或多種材料周期性組成，在兩種不同材料的結(jié)合處由于兩邊的材料性能不同，產(chǎn)生應(yīng)力集中問(wèn)題比較突出。

為解決上述問(wèn)題，在本篇論文中，在基于聲子晶體理論設(shè)計(jì)的經(jīng)典周期管路系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，周期性的嵌入功能梯度材料(Functionally Graded Materials，F(xiàn)GM)，分析功能梯度材料對(duì)帶隙和應(yīng)力集中的影響。

功能梯度材料由于其特殊的性能如高剛度，減小殘余應(yīng)力和熱應(yīng)力等受到許多研究學(xué)者的關(guān)注[5-6]。選用兩種或多種性能不同的材料，通過(guò)連續(xù)的改變這兩種或多種材料的組成和結(jié)構(gòu)，使其界面消失導(dǎo)致材料的性能隨著材料的組成和結(jié)構(gòu)的變換而緩慢變化，形成功能梯度材料[7]。吳曉等[8]采用Timoshenko梁修正理論研究了功能梯度材料梁的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，證明了不同梯度指數(shù)能對(duì)梁的固有振動(dòng)頻率和動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生影響。Yang等[9]分析了含功能梯度材料的帶孔板的應(yīng)力集中問(wèn)題。沈惠杰等[10]利用有限元法研究了含功能梯度材料的圓柱殼體的帶隙特性。Wu等[11]利用有限元法和傳遞矩陣法計(jì)算了應(yīng)用功能梯度材料的一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，并對(duì)其影響影響因素進(jìn)行了分析。Chakraborty等[12]應(yīng)用譜有限元法對(duì)功能梯度材料梁在高頻載荷下的波傳播行為進(jìn)行了研究。不同于功能梯度材料徑向分布的梁， Shahba等[13-14]分析計(jì)算了功能梯度材料軸向分布梁的振動(dòng)特性。上述分析主要集中在FGM對(duì)周期管路的帶隙調(diào)節(jié)，對(duì)消除應(yīng)力集中研究尚不深入。本文將在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，研究含功能梯度材料周期管路的帶隙特性，并分析了其對(duì)于管路應(yīng)力集中的削弱作用。

1 模型計(jì)算

相較于經(jīng)典周期管路，含功能梯度材料的周期管路在結(jié)構(gòu)上的顯著差別就是在兩種材料之間采用一段沿軸向材料參數(shù)均勻變化的功能梯度材料構(gòu)成的管路來(lái)進(jìn)行銜接。

圖1 管路理論模型Fig.1 The sketch of periodic pipe with FGMs and classic periodic pipe

梁模型和殼模型是研究充液管路振動(dòng)主要采用的兩種理論模型。充液管路振動(dòng)模式有軸向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、彎曲振動(dòng)，以及它們之間的復(fù)雜耦合振動(dòng)。其中彎曲振動(dòng)在振動(dòng)模式中占主要分量。因此，研究彎曲振動(dòng)對(duì)管路振動(dòng)控制具有重要的理論意義。研究管路彎曲振動(dòng)大多數(shù)基于梁模型理論[15]。一般情況下，充液管路長(zhǎng)度與管外徑之比較大，振動(dòng)時(shí)更多地表現(xiàn)出梁模態(tài)特性，周向模態(tài)可忽略。本文研究的管路符合這些特點(diǎn)，因此重點(diǎn)介紹兩種梁模型—Timoshenko梁模型和Euler梁模型,由于其振動(dòng)方程包含了截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形項(xiàng)，使得Timoshenko梁模型比Euler梁模型更精確，本文采用Timoshenko梁模型，利用有限元法，劃分細(xì)小單元，對(duì)細(xì)小單元進(jìn)行處理。有限元法對(duì)固體材料以黏合形式接觸的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)分析特別有效，此外，采用有限元法，可將流體與彈性管壁作為耦合系統(tǒng)考慮，分析流固耦合作用下充液管路的振動(dòng)[16]。

(1)

進(jìn)一步，通過(guò)求解矩陣T的特征值，即可得到Bloch波矢與頻率的關(guān)系。

(2)

COMSOL Multiphysics是一款高度集成的大型工程模擬軟件，提供幾何結(jié)構(gòu)創(chuàng)建、網(wǎng)格剖分、物理過(guò)程定義、計(jì)算求解、數(shù)據(jù)可視化及后處理等功能，可通過(guò)附加激勵(lì)信號(hào)來(lái)計(jì)算分析模型的特性[17]。COMSOL軟件已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于周期結(jié)構(gòu)和聲學(xué)超材料的研究中[18-21]，應(yīng)用COMSOL軟件，可以通過(guò)設(shè)置周期邊界條件，有效計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)和傳播特性。

2 帶隙特性計(jì)算：

在計(jì)算中，管路沿z方向周期排列，功能梯度材料的材料性能采用函數(shù)過(guò)渡，單元管路中材料參數(shù)過(guò)渡函數(shù)如式(3)所示[9]

(3)

式中：ψA-B和ψB-A分別為圖1(b)管路單元中兩段功能梯度材料接管的材料屬性，ψA和ψB是材料A和材料B的材料屬性(密度和楊氏模量等)，la、lb分別為單材料管路長(zhǎng)度和功能梯度材料管路長(zhǎng)度，z是管路上的點(diǎn)的Z坐標(biāo)值。如圖1(b)所示的功能梯度材料管路單元，當(dāng)式(3)中的n取值為1時(shí)，材料參數(shù)按照一個(gè)一次函數(shù)進(jìn)行變化，隨著管路上點(diǎn)的z坐標(biāo)變化，管路的材料參數(shù)從一種材料過(guò)渡到另一種材料。當(dāng)n取值變化時(shí)，過(guò)渡函數(shù)將呈現(xiàn)出如圖2所示的不同函數(shù)特性。

圖2 功能梯度材料密度在不同n值下沿軸向變化示意圖Fig.2 Variation of density along the beam axis with different exponent n

3.1 功能梯度材料周期管路帶隙特性

計(jì)算中，材料A采用鋼，材料B采用環(huán)氧樹脂，兩者的性能參數(shù)，見表1。

表1 材料結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 功能梯度材料管路結(jié)構(gòu)參數(shù)

根據(jù)表2的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行建模與仿真，采用n=1的情況，材料性質(zhì)以一次函數(shù)過(guò)渡。利用COMSOL軟件計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)，如圖3所示，圖3色散曲線從波矢0處出現(xiàn)三條色散曲線，分別對(duì)應(yīng)縱向、扭轉(zhuǎn)和彎曲振動(dòng)波。在計(jì)算其頻響曲線時(shí)，選用五個(gè)管路單元，在管路的管壁上分別施加相應(yīng)的單位激勵(lì)(彎曲，扭轉(zhuǎn)，軸向)，在另一端的管壁上進(jìn)行信號(hào)拾取，利用拾取的信號(hào)獲得相應(yīng)振動(dòng)的頻響曲線。根據(jù)帶隙曲線得知，能帶結(jié)構(gòu)圖中包含了多種類型振動(dòng)的帶隙，結(jié)合振動(dòng)頻響曲線與能帶結(jié)構(gòu)圖綜合分析得知，圖中2 000 Hz以下有三個(gè)彎曲振動(dòng)帶隙，分別為97.48 ～141 Hz，429.7～900.1 Hz，1226～1 490 Hz；有兩個(gè)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)帶隙分別為343～900.9 Hz，1 231～1 696 Hz；有兩個(gè)軸向振動(dòng)帶隙565～907 Hz，1 231～1 490 Hz。

通過(guò)分析能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)曲線，可以發(fā)現(xiàn)在563.1 ～900.1 Hz，1 226 ～1490 Hz頻率范圍內(nèi)三種振動(dòng)帶隙都共存，可以有效抑制各種振動(dòng)模式的傳播。

圖3 功能梯度材料以一次函數(shù)過(guò)渡Fig.3 The vibration band structures and FRF of periodic pipe with FGMs for n=1

鑒于彎曲振動(dòng)控制在管路減振中的重要意義，我們主要考慮彎曲振動(dòng)的帶隙位置以及寬度的變化。為了進(jìn)一步驗(yàn)證功能梯度材料管路的帶隙特性，將其與經(jīng)典周期管路進(jìn)行比較。

表3 經(jīng)典周期管路結(jié)構(gòu)參數(shù)

利用COMSOL計(jì)算出經(jīng)典周期管路的能帶曲線，對(duì)比兩者彎曲振動(dòng)帶隙的變化。

圖4 經(jīng)典周期管路與功能梯度材料管路帶隙圖與頻響曲線比較Fig.4 The comparison of vibration band structures and the flexural vibration FRF between periodic pipe with FGMs and classic periodic pipe

分析比較其帶隙特性，經(jīng)典周期管路三個(gè)帶隙分別為84.32～95.18 Hz，302.4～634 Hz，792.4～1 286 Hz在帶隙范圍內(nèi)，管壁的彎曲振動(dòng)均不能傳播。相較于經(jīng)典管路，含功能梯度材料的管路第一帶隙的位置雖然沒產(chǎn)生太大的變化，但是帶隙的寬度拓寬了，帶隙內(nèi)振動(dòng)衰減也明顯得到增強(qiáng)。由于經(jīng)典周期管路的第一帶隙頻率范圍只有10 Hz左右，所以其頻響曲線中第一帶隙的衰減特性很弱，但是從含功能梯度材料的周期管路的頻響曲線可以很明顯的看出第一帶隙位置和其衰減特性。第二帶隙中心頻率向高頻偏移，但是寬度卻增加了。

2.2 帶隙影響因素

2.2.1 過(guò)渡函數(shù)對(duì)帶隙特性的影響

功能梯度材料管路的結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，采用表2的相應(yīng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，改變過(guò)渡函數(shù)的指數(shù)值，使得n的值為0.1、1、10。分別計(jì)算其彎曲振動(dòng)的頻響曲線，分析不同過(guò)渡函數(shù)對(duì)于管路帶隙特性的影響。

圖5(a)中，三種n值的管路第二帶隙對(duì)彎曲振動(dòng)的衰減程度有相應(yīng)的差異，n=10時(shí)衰減程度最強(qiáng)，并且?guī)兜闹行淖畹?，n=0.1衰減程度最弱，n=1帶隙中心最高且?guī)蹲顚?。第三帶隙?duì)振動(dòng)衰減的區(qū)別更為明顯，與第二帶隙的規(guī)律相似，n=10時(shí)衰減程度最大帶隙中心最低，但是n=1時(shí)振動(dòng)衰減效果最差，帶隙中心最高且?guī)蹲钫?/p>

圖5(b)中，放大了0～200 Hz位置的頻響曲線，n=1時(shí)衰減程度最強(qiáng)，帶隙寬度也最寬，而其他兩組的帶隙都比較窄，衰減也較弱。

2.2.2 功能梯度材料管路長(zhǎng)度對(duì)帶隙特性的影響

晶格常數(shù)不變，改變的值，改變功能梯度材料管路在單元管路中的配比，過(guò)渡函數(shù)選用一次函數(shù)(n=1)，lb的值分別為0.25 m，0.2 m，0.1 m，分別計(jì)算其彎曲振動(dòng)的頻響曲線。

圖5 不同過(guò)渡函數(shù)指數(shù)n頻響曲線比較Fig.5 The flexural vibration FRF of periodic pipe with FGMs for different exponent n

圖6 不同功能梯度材料管路長(zhǎng)度頻響曲線比較Fig.6 The flexural vibration FRF of periodic pipe with different length FGMs

圖6(a)中，隨著lb值的增加，單元管路內(nèi)功能梯度材料管路的配比增加，二、三帶隙的帶隙中心向高頻偏移，對(duì)于振動(dòng)的衰減能力削弱。

圖6(b)中，放大了0～200 Hz位置的頻響曲線，隨著lb值的增加，第一帶隙中心向高頻偏移，帶隙變寬，并且對(duì)于振動(dòng)的衰減作用變強(qiáng)。

通過(guò)上述仿真，可以得出結(jié)論：功能梯度材料對(duì)于管路的帶隙有一定的影響，通過(guò)改變不同的功能梯度材料在單元管路中所占的比例，以及不同的指數(shù)函數(shù)，可以綜合的分析功能梯度材料對(duì)周期管路的帶隙特性的影響。仿真中選用三種功能梯度材料管路長(zhǎng)度配比，分別取值為：lb=0.25 m，lb=0.2 m，lb=0.1 m。指數(shù)n值分別取0.1、0.3、0.5、0.7、0、3、5、7?？紤]前兩個(gè)帶隙的位置，分析管路的彎曲振動(dòng)帶隙的位置和寬度變化(見圖7)。

圖7 不同長(zhǎng)度配比下帶隙的變化Fig.7 The flexural vibration band gaps of periodic pipe with different length FGMs and different exponent n

圖7是帶隙的位置分布圖，兩類標(biāo)記不同的曲線分別代表第一帶隙和第二帶隙的位置。從帶隙的分布圖中可以看出不同的占比的功能梯度材料管路在指數(shù)n變化時(shí)，所表現(xiàn)出的規(guī)律基本一致，n=0時(shí)，管路為經(jīng)典管路，第一帶隙較窄，寬度約為10 Hz，第二帶隙起始點(diǎn)為300 Hz，截止約600 Hz，寬約300 Hz。n值從0升至7時(shí)，第一帶隙和第二帶隙的起始首先向高頻偏移，到了n≥1時(shí)，起始頻率開始向低頻偏移；第一帶隙和第二帶隙的寬度也隨著n值的變化發(fā)生相應(yīng)的變化，n≤1時(shí)，帶隙的寬度與n值的大小成正相關(guān)，n≥1時(shí)，帶隙的寬度與n值的大小成負(fù)相關(guān)。對(duì)于不同的lb值，也就是不同的功能梯度材料管路長(zhǎng)度，當(dāng)lb值減小時(shí)，第一帶隙和第二帶隙的起始頻率向低頻移動(dòng)，但是帶隙的寬度也同樣出現(xiàn)了減小。第一帶隙的起始頻率隨著n值和lb值的影響相較于第二帶隙來(lái)說(shuō)比較小，但是其帶隙寬度影響卻較為明顯，對(duì)比與經(jīng)典周期管路的10 Hz，lb=0.25 m，n=1時(shí)，第一帶隙的帶隙寬度可以達(dá)到57 Hz左右。

3 功能梯度材料對(duì)應(yīng)力集中的影響

功能梯度材料對(duì)管路的應(yīng)力集中問(wèn)題有一定的減緩作用。計(jì)算中，建立五個(gè)周期單元的管路模型，在管路的一段加一個(gè)垂直于管路軸線的力，在COMSOL中進(jìn)行掃頻，頻率范圍為1～1 600 Hz，選取幾個(gè)頻率點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，分析彎曲振動(dòng)的應(yīng)力分布情況。

首先建立一個(gè)經(jīng)典周期管路模型，參數(shù)與表1,3一致。選取的觀測(cè)頻率點(diǎn)290 Hz屬于通帶位置，90 Hz，500 Hz屬于帶隙位置，應(yīng)力分布情況如圖8所示。

(a) 頻率90 Hz

(b) 頻率500 Hz

(c) 頻率290 Hz

圖9 有限周期管路應(yīng)力傳輸特性Fig.9 The stress FRF of finitely classic periodic pipe

圖9是有限周期管路另一端管壁的應(yīng)力隨頻率的變化曲線，三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)分別在圖中對(duì)應(yīng)指出。從圖8,9看出，在帶隙范圍內(nèi)，應(yīng)力主要集中在靠近激勵(lì)端的前一個(gè)或者兩個(gè)單元內(nèi)，而后面幾個(gè)單元應(yīng)力集中問(wèn)題比較小，帶隙頻率范圍內(nèi)的管路應(yīng)力集中問(wèn)題可以有效抑制。但當(dāng)激勵(lì)頻率處于通帶位置時(shí)，應(yīng)力在管路系統(tǒng)的所用單元上都有分布，應(yīng)力集中的問(wèn)題很明顯，在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過(guò)對(duì)管路系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以通過(guò)設(shè)計(jì)帶隙位置衰減特定頻率的振動(dòng)傳播以及管路系統(tǒng)的應(yīng)力集中問(wèn)題。

當(dāng)加入功能梯度材料后，管路的帶隙特性發(fā)生了較大的變化，建立一個(gè)lb=0.2 m，n=1的模型，其他參數(shù)與表1,2一致。同樣觀測(cè)這幾個(gè)頻率點(diǎn)的管路的應(yīng)力分布。但是由于帶隙特性發(fā)生變化，90 Hz，290 Hz為通帶位置，500 Hz仍處于帶隙位置，應(yīng)力分布情況如圖10所示。

經(jīng)典周期管路的結(jié)論在功能梯度材料管路上一樣適用，在帶隙范圍內(nèi)，應(yīng)力主要集中于前一個(gè)或者兩個(gè)單元，后面的單元基本上不受到影響。但是在通帶范圍內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的應(yīng)力分布出現(xiàn)了不同于經(jīng)典管路的情況，90 Hz和290 Hz位置的應(yīng)力只集中于前兩個(gè)單元。由于功能梯度材料管路與經(jīng)典周期管路的帶隙特性相差較大，根據(jù)圖4的頻響曲線，選擇0～300 Hz進(jìn)行應(yīng)力的比較分析，在此頻段內(nèi)，兩種管路的能帶結(jié)構(gòu)基本都處于通帶范圍內(nèi)。

(a) 頻率90 Hz

(b) 頻率290 Hz

(c) 頻率500 Hz

兩類管路的應(yīng)力隨頻率變化都基本滿足帶隙規(guī)律，在帶隙范圍內(nèi)，觀測(cè)的應(yīng)力值很小，故應(yīng)力沒有向后方單元傳播。同樣在通帶范圍內(nèi)，含功能梯度材料的管路的應(yīng)力值明顯小于經(jīng)典周期管路。表明功能梯度材料可以有效的消除周期管路單元的應(yīng)力集中問(wèn)題。

4 結(jié) 論

利用有限元法，基于聲子晶體理論，考慮了功能梯度材料在周期直管管路系統(tǒng)中的應(yīng)用，研究了功能梯度材料周期管路的帶隙特性以及對(duì)管路的應(yīng)力集中影響。

與經(jīng)典周期管路相比，包含功能梯度材料的周期管路明顯改變了帶隙的位置與帶隙的寬度。改變函數(shù)的指數(shù)值，改變功能梯度材料在管路單元中所占的比例，可以獲得不同的帶隙效果。

(1)相較于經(jīng)典周期管路，功能梯度材料可有效調(diào)節(jié)周期管路的帶隙特性，使得第一帶隙出現(xiàn)了明顯的拓寬。而其他兩個(gè)帶隙都會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的中心位置的偏移和帶隙寬度的變化。

(2)功能梯度材料能夠很好的消除周期管路不同材料界面處產(chǎn)生的應(yīng)力集中問(wèn)題，可以有效的減緩管路系統(tǒng)的應(yīng)力損傷。

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