☉山西省教育科學(xué)研究院 常 磊
☉山西省汾西縣第一中學(xué)校 申明生
將問(wèn)題的條件特殊化(退化),或是挖掘問(wèn)題中蘊(yùn)含的特殊性條件,并由此切入作為探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的突破口,是最常見的一種直觀性的數(shù)學(xué)思想方法.尤其是學(xué)生在有限的考試時(shí)間內(nèi)將其運(yùn)用于對(duì)某些選擇題、填空題乃至解答題結(jié)論的快速判斷和獲取,常常能起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、一針見血、直奔結(jié)論的事半功倍的獨(dú)特效果.因此,特殊化的數(shù)學(xué)思想方法倍受師生的青睞.請(qǐng)看下例:
例1 已知實(shí)數(shù)a、b、c,下列結(jié)論正確的是( ).
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2<100
C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c2<100
解析:本題若直接推導(dǎo)判斷,顯然難度較大;若特殊化間接解決,即選取特殊的實(shí)數(shù)代入排除掉錯(cuò)誤的選項(xiàng),則可輕松獲得正確的結(jié)果.如:對(duì)于A,取c=-10,a=b且a2+b=9.6,則a+b2=9.6,顯然滿足條件但不滿足結(jié)論,排除之;對(duì)于B,取a2+b=0.4,c=0.2,當(dāng)a2=100,b=-99.6時(shí),顯然不合,排除之;對(duì)于C,取a+b=0.2,c2=0.3,當(dāng)a=10,b=-9.8時(shí),顯然不合,排除之.所以正確結(jié)論為D.
可以預(yù)見,本題若用其他方法,難度會(huì)大大增加,甚至?xí)?dǎo)致無(wú)果而終.而使用特殊化的方法,即可一掃疑云,輕松獲解,又符合數(shù)學(xué)之求簡(jiǎn)主旨.
但是,若思維不慎,無(wú)理無(wú)據(jù)地貿(mào)然使用特殊化的方法,則會(huì)讓同學(xué)們誤入歧途,反倒加速了錯(cuò)誤的行進(jìn)步伐,如下例:
例2 若方程|x2-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,則2(x4-x1)+(x3-x2)的取值范圍是( ).
解析:解答本例時(shí),就有學(xué)生信心滿滿地采用了特殊化的方法予以解答,其解法如下:如圖1所示,當(dāng)直線y=t向下或向上平移至與x軸重合、與拋物線頂點(diǎn)P(1,2)相切的兩個(gè)極限位置時(shí),式子2(x4-x1)+(x3-x2)取得最值.當(dāng)直線y=t與x軸重合時(shí),x1=x2=1-,x3=x4=1+,則2(x4-x1)+(x3-x2)=;當(dāng)直線y=t與拋物線相切于點(diǎn)P時(shí),x1=-1,x2=x3=1,x4=3,則2(x4-x1)+(x3-x2)=8,由于x1<x2<x3<x4,所以2(x4-x1)+(x3-x2)≠8,比較二者大小可得答案應(yīng)選A.
事實(shí)上,稍加分析就不難知道以上解答是錯(cuò)誤的.因?yàn)楫?dāng)將直線y=t由下向上移動(dòng)時(shí),x4-x1的值逐漸增大;而x3-x2的值在逐漸減小,所以不能判斷2(x4-x1)+(x3-x2)的值是增大還是減小.
其實(shí),由圖1可知,x1,x4是方程x2-2x-1=t的兩根,x2,x3是方程x2-2x-1=-t的兩根,由韋達(dá)定理可得2(x4-x1)+(x3-x2)=2(2+)(0<t<2),由柯西不等式可知2(x4-x1)+(x3-x2)≤4,顯然與上述結(jié)論不符.
圖1
以上錯(cuò)解產(chǎn)生的原因,即是想當(dāng)然、無(wú)理?yè)?jù)的猜測(cè)所導(dǎo)致.因此,正確地使用特殊化思想方法解題的前提是要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)真分析,確保符合數(shù)學(xué)之推理邏輯.
那么,用特殊化的思想方法解決問(wèn)題,有哪些方面的應(yīng)用呢?本文試以高考題為主,談?wù)劰P者運(yùn)用特殊化思想方法解題的若干思考.旨在拋磚引玉,引起廣大讀者的重視與進(jìn)一步探究的欲望.但限于水平,所述定有謬誤,敬請(qǐng)方家批評(píng)指正!
1.特值剔假,間接求真
數(shù)學(xué)選擇題一般是按“四選一”來(lái)設(shè)計(jì)的,即在四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的.因此,某些選擇題可用剔除法間接求得正確的選項(xiàng).即選用特殊值代入只要能夠判斷出其中三個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng),那么所剩即為正確選項(xiàng)(如例1).
例3 (2016年全國(guó)Ⅰ卷理8)若a>b>1,0<c<1,則( ).
A.ac<bcB.abc<bac
C.alogbc<blogac D.logac<logbc
例4(2015年浙江卷(理)7)存在函數(shù)f(x)滿足:對(duì)于任意x∈R都有( ).
A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|
眾所周知,只要是有關(guān)函數(shù)圖像的選擇題,大多須采用此法.而這類問(wèn)題近年來(lái)時(shí)有考查(如2015年安徽卷(理)9;2016年全國(guó)Ⅰ卷(理)7等).
2.因果互參,由果導(dǎo)果
對(duì)于選擇題來(lái)說(shuō),選項(xiàng)也是已知條件的一部分,解題時(shí)不能視而不見,置之不理.某些選擇題可以把選項(xiàng)當(dāng)做條件來(lái)檢驗(yàn)是否符合題目的要求,從而逐一檢驗(yàn)得到正確的結(jié)果.此法雖顯笨拙,但終可下手.況若講究技法,亦可以拙制巧.
A.11 B.9 C.7 D.5
解析:依據(jù)選項(xiàng),從大到小驗(yàn)證取得.
若ω=11為最大值時(shí),則(fx)=sin(11x+φ),依已知有且,可求得所以f(x)=顯然,y=sinx在上不單調(diào),與已知條件矛盾,所以排除A.
3.著眼特殊,內(nèi)涵突破
解題的關(guān)切,首先就是看其有無(wú)特殊性.大凡問(wèn)題均有其自身之特殊性蘊(yùn)含其中.抓住特性,切入要害,攻其一點(diǎn),取得突破.
例6(2015年全國(guó)Ⅰ卷理12)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是( ).
解析:觀察函數(shù)式特點(diǎn),取特殊值x=0,得到(f0)=a-1<0,所以,根據(jù)題意知x0=0即為唯一存在的整數(shù).為此應(yīng)該有(f-1)>0且(f1)>0,解得,故選A.
4.普適結(jié)論,特例亦然
普遍條件(全集)下適用的數(shù)學(xué)命題,在特殊情形(子集)下也是成立的.因此,解答一些普適條件(全集)下的數(shù)學(xué)客觀問(wèn)題時(shí),只考慮其特殊情形(子集)就可以得到其正確的結(jié)果.主觀題也可以通過(guò)將條件特殊化而預(yù)測(cè)到問(wèn)題的可能結(jié)果.
例7 (2012年全國(guó)Ⅰ卷理16)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)的和為________.
解析:本題未給出a1的值,說(shuō)明其為任意值時(shí)不影響問(wèn)題的結(jié)果.故特殊化賦值,令a1=1,根據(jù)遞推式得a2=2,a3=1,a4=6,a5=1,a6=10,a7=1,a8=14,…,發(fā)現(xiàn)a1,a3,a5,…,a59是各項(xiàng)都為1的常數(shù)列;a2,a4,a6,…,a60是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列.所以a1+a2+…+a60=1830.
5.以動(dòng)制靜,極限探究
對(duì)運(yùn)用特殊化思想解題能力的考查,以2015年全國(guó)Ⅰ卷(理)的試題最為突出.除選擇題有所考查外(如例7),填空題中共四道就有三道予以考查,可謂集中火力,重磅出擊.
解析:線性規(guī)劃問(wèn)題就是特殊化思想中“以動(dòng)制靜,極限探究”運(yùn)用的典型代表.本題由約束條件畫出可行域,如圖2,的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)O連線的斜率k.于是,將直線y=kx繞O點(diǎn)在可行域內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OA的極限位置時(shí)最大.由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為
圖2
6.零點(diǎn)問(wèn)題,特值破解
高考中很多壓軸題(如判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù))最終的歸因,即判斷函數(shù)值的大小或正負(fù),而判斷的利器之一,就是尋求合適的特殊值利用單調(diào)性來(lái)間接獲得.
例9(2017年全國(guó)Ⅰ卷理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
解析:(1)若a≤0,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;若a>0,f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增.(過(guò)程略)
(2)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).
若a>0,由(1)知,當(dāng)x=-lna時(shí),(fx)取得最小值,最小值為(f-lna)=1-+lna.
①當(dāng)a=1時(shí),由于(f-lna)=0,所以(fx)只有一個(gè)零點(diǎn);
所以(fx)沒(méi)有零點(diǎn);
因?yàn)?lna>0,不妨取特殊值x1=-1,得f(-1)=ae-2+(a-2)e-1+1>(a-2)e-1+1>-2e-1+1>0,所以f(x)在(-∞,-lna)上有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知,a的取值范圍是(0,1).
7.特殊退化,發(fā)現(xiàn)本質(zhì)
當(dāng)一個(gè)問(wèn)題難于處理時(shí),最有效的策略就是“退”,退到特殊的又便于解決的簡(jiǎn)單情形,找出問(wèn)題解決的途徑或發(fā)現(xiàn)有用的結(jié)論,然后以此為基礎(chǔ)通過(guò)聯(lián)想與類比不斷地逼近原問(wèn)題,從而將問(wèn)題完美地解決.
解析:由于“點(diǎn)P在△AOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)”的條件顯得較為抽象,不易下手.但是當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),就比較具體容易了.為此,先把問(wèn)題變式為以下特殊情形進(jìn)行探索,以便獲取解決問(wèn)題的途徑.
圖3
上述解答過(guò)程,有兩點(diǎn)啟示:一是將向量坐標(biāo)化,使問(wèn)題易于描述;二是利用點(diǎn)P的軌跡,建立了λ,μ的相應(yīng)關(guān)系.借鑒這兩個(gè)優(yōu)勢(shì),嘗試解決原問(wèn)題.
圖4
如圖4所示,當(dāng)點(diǎn)P在△AOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),延長(zhǎng)OP交AB于點(diǎn)Q.設(shè)因?yàn)樗运杂捎邳c(diǎn)Q在線段AB上(不含端點(diǎn)),所以,即λ+μ=(t0<t<1,0≤λ≤t,0≤μ≤t).
對(duì)于滿足0<t<1的每一個(gè)t值,動(dòng)點(diǎn)M(λ,μ)構(gòu)成的圖形是線段λ+μ=(t0≤λ≤t,0≤μ≤t).于是可知,當(dāng)點(diǎn)P在△AOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)M(λ,μ)構(gòu)成的圖形是以(0,0)、(0,1)、(1,0)為頂點(diǎn)的直角三角形內(nèi)部.故動(dòng)點(diǎn)M(λ,μ)構(gòu)成的圖形的面積為
選取特殊的角度進(jìn)行探究,果然抓住了問(wèn)題的本質(zhì)特性,形成了破竹之勢(shì),難點(diǎn)瞬間崩潰,問(wèn)題順利解決.
辯證法認(rèn)為,觀察事物,首先要注意到事物中矛盾的特殊性,從特殊入手探求一般.因?yàn)榉治雒艿奶厥庑允钦_認(rèn)識(shí)事物的基礎(chǔ);同時(shí),分析矛盾的特殊性也是正確解決矛盾的關(guān)鍵.一般而言,對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,總會(huì)或多或少存在它自身區(qū)別于其他問(wèn)題的特殊性.只要認(rèn)真挖掘,就會(huì)有所發(fā)現(xiàn);只要善于思考和利用,就會(huì)有所作為,有所收獲.因此,用特殊化思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,是巧取,而不是逃避,不是不可登大雅之堂;是一種智慧,而不是旁門左道,羞于表述;是一種簡(jiǎn)約思維,而不是偶然之遇;是一種視角,而不是無(wú)為之僥幸.是探究、嘗試、歸納、猜想、論證過(guò)程的前奏,是不以人的主觀意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的素養(yǎng)之一.邏輯固然重要,但打開解題局面,則常常需要數(shù)學(xué)直觀能力,而直觀能力又來(lái)自于問(wèn)題中特殊化的捕捉,由此不斷升華解題境界.同時(shí),特殊化思想既符合數(shù)學(xué)之求簡(jiǎn)精神,也符合學(xué)生之認(rèn)知規(guī)律.它有利于學(xué)生大膽而審慎地破框思考,質(zhì)疑現(xiàn)狀.因此,教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視并需要引導(dǎo)學(xué)生深入地進(jìn)行研究,形成一種思維品質(zhì),運(yùn)用于問(wèn)題解決之中.
1.李啟超,潘國(guó)雙.北京高考數(shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)實(shí)踐與反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2017(1).
2.張千明.運(yùn)用聯(lián)想與類比開展探究性學(xué)習(xí)——用向量解決一類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月),2017(5).F