鑲嵌：從平面到空間

倉萬林

說起鑲嵌，大家可能都很陌生，但生活中常見的鋪瓷磚，就是典型的鑲嵌問題.

在幾何中，平面鑲嵌又稱為“平面密鋪”，指能用一種或多種幾何圖形覆蓋整個(gè)平面，且每個(gè)幾何圖形之間不存在空隙、也不重疊的幾何結(jié)構(gòu).鑲嵌的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：在每個(gè)公共頂點(diǎn)處，各角的和是360。.在平面鑲嵌中，最簡單的是正鑲嵌，即由同一種正多邊形構(gòu)成的鑲嵌，只有正三角形、正方形、正六邊形3種，

下面我們來討論，只用一類全等形鑲嵌平面.動(dòng)手操作l 用全等的任意三角形鑲嵌平面

把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個(gè)全等的三角形。用這些全等的三角形可鑲嵌平面.因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，用6個(gè)全等的三角形即可鑲嵌出一個(gè)平面，如圖2.當(dāng)然，鑲嵌的方法不止一種，如圖3.動(dòng)手操作2用全等的任意四邊形鑲嵌平面仿上面的方法可剪出多個(gè)全等的四邊形，用它們可鑲嵌平面.因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和是360°，用4個(gè)全等的四邊形即可鑲嵌出一個(gè)平面.

小伙伴們不妨自己動(dòng)手嘗試一下，用全等的四邊形Q的確可以鋪滿整個(gè)平面，如圖4.

在剛才的操作中，我們還得到了的一個(gè)命題：若平行四邊形P的邊平行且等于四邊形Q的對(duì)角線，則四邊形Q的面積=2/1×平行四邊形P的面積.有意思的是，操作中還隱含了一個(gè)“無字證明”，哈哈，好高大上呀，“無字證明”問題起源于20世紀(jì)90年代末美國《數(shù)學(xué)雜志》（《Mathematics Magazine》）開辟的一個(gè)專欄：沒有文字的證明（Proof Without Words），粉絲遍布全球.小小鑲嵌，還大有文章.

更為復(fù)雜的特殊五邊形或者特殊六邊形等鑲嵌結(jié)構(gòu)，請(qǐng)移步《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫》.令人驚嘆的是一位叫瑪喬里·賴斯的家庭主婦，對(duì)平面鑲嵌有很深的研究，尤其對(duì)五邊形鑲嵌提出了很多全新的結(jié)論，令許多一流的數(shù)學(xué)家也大為驚嘆，有些懸案到目前還沒有完全解決.聰明的你，好好去琢磨一下，相信你也會(huì)成為她的粉絲的.

下面我們來點(diǎn)新鮮的，用多種正多邊形鑲嵌.

動(dòng)手操作3用正三角形和正六邊形的組合進(jìn)行鑲嵌

動(dòng)手之前，我們要先做一些準(zhǔn)備工作.

先研究這樣的情形：設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有M個(gè)正三角形的角，有個(gè)正六邊形的角.因?yàn)檎切蔚拿總€(gè)角是60。，正六邊形的每個(gè)角是120。.所以有

可見具有公共頂點(diǎn)的用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類型：一種是在一個(gè)頂點(diǎn)的周圍有4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形，如圖5；另一種是在一個(gè)頂點(diǎn)的周圍有2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形，如圖6.

如果在局部正三角形和正六邊形不是圍繞公共頂點(diǎn)分布，還有其他鑲嵌方法，如圖7.小伙伴們可探究用其他兩種甚至更多種正多邊形鑲嵌的問題.

平面鑲嵌中，好玩的東西還真不少，如埃舍爾繪畫（如圖8）和彭羅斯飛鏢（如圖9）等.

平面鑲嵌升級(jí)版

看多了二維平面的鑲嵌結(jié)構(gòu)后，是不是有將問題升級(jí)到三維空間的沖動(dòng)呢？數(shù)學(xué)家們還就是這樣想的.更多討論請(qǐng)小伙伴們查閱開普勒猜想（Kepler's Conjecture）等相關(guān)材料.

從平面鑲嵌到空間鑲嵌，由手工操作到科技前沿的計(jì)算機(jī)證明，數(shù)學(xué)應(yīng)用的魅力體現(xiàn)得淋漓盡致.