兩絕緣線懸掛兩帶電小球靜止時(shí)的不變量

趙 軍 李 力 蔡源園

(1. 重慶市清華中學(xué),重慶 400054; 2. 重慶市融匯清華實(shí)驗(yàn)中學(xué),重慶 400054)

如圖1(a)所示,兩絕緣細(xì)線懸掛兩同號(hào)帶電小球,如果靜止時(shí)兩球位于同一高度,容易證明m1tanθ1=m2tanθ2,即m·tanθ是不變量.于是偏角大小與兩球帶電荷量無(wú)關(guān),且質(zhì)量大則偏角小,反之亦然,這是眾所周知的結(jié)論.

進(jìn)而考慮如圖1(b)的兩細(xì)線長(zhǎng)度相等的情況,偏角是否仍然僅與質(zhì)量存在上述關(guān)系?

圖1

對(duì)此也不難用平衡條件(比如拉密定理)推得m1sinθ1=m2sinθ2,即m·sinθ是不變量.同樣有“偏角大小與兩球帶電荷量無(wú)關(guān),且質(zhì)量大則偏角小,反之亦然”的結(jié)論.

圖2

于是不禁要問(wèn):如果線長(zhǎng)不等(分別為L(zhǎng)1,L2)且靜止時(shí)兩球亦不在同一高度,如圖2所示,那么還有此結(jié)論么?這種一般情況下不變量又是什么呢?

這時(shí)再逐個(gè)研究單個(gè)小球的平衡,就稍嫌繁瑣了．因兩小球均平衡,則體系所受外力對(duì)O點(diǎn)的力矩代數(shù)和應(yīng)該為0．兩球間的庫(kù)侖力是一對(duì)內(nèi)力,而線對(duì)球的拉力均過(guò)O點(diǎn)從而力矩為0,故有m1L1sinθ1=m2L2sinθ2,可見(jiàn)不變量是m·Lsinθ.雖然偏角大小仍然與兩球帶電荷量無(wú)關(guān),但是“質(zhì)

量大則偏角小”不再成立,因?yàn)檫€與線長(zhǎng)有關(guān)．容易看出,在靜止時(shí)兩球位于同一高度或線長(zhǎng)相等的條件下,不變量m·Lsinθ分別轉(zhuǎn)化為m·tanθ、m·sinθ,這說(shuō)明圖1的兩種情況是特例.

由于線長(zhǎng)不等,同號(hào)兩球排斥作用產(chǎn)生的偏離程度,顯然不能用線與豎直方向的偏角大小來(lái)表示了．注意到d=Lsinθ,故不變量可寫成m·d,d為靜止時(shí)小球到過(guò)懸點(diǎn)O的豎直線的距離(如圖2),它正是這種一般情形中代替偏角描述小球偏離程度的幾何量.所以,得到如下普遍成立的定理.

定理:兩絕緣線同懸點(diǎn)懸掛兩帶電小球靜止時(shí),小球質(zhì)量與其到過(guò)懸點(diǎn)的豎直線的距離的乘積m·d是不變量,與小球帶電荷量無(wú)關(guān)．

此結(jié)論還可推廣,當(dāng)兩同號(hào)帶電小球懸掛點(diǎn)不同甚至不等高時(shí)[如圖3(a)],或者兩異號(hào)帶電小球相吸引的情況[如圖3(b)],上述結(jié)論也是成立的.因?yàn)槿删€延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為O點(diǎn),則前面的證明過(guò)程同樣是成立的.不過(guò)必須提醒的是,這時(shí)d應(yīng)該是靜止時(shí)小球到過(guò)O點(diǎn)豎直線的距離(如圖3)．這樣,在圖3(a)中因d1m2;圖3(b)因d1>d2,則m1

圖3