西安高新第三中學(xué)(710075) 呂二動(dòng)

分式函數(shù)最值的多種求法

西安高新第三中學(xué)(710075) 呂二動(dòng)

分式函數(shù)的最值題型是多樣的,因而求分式函數(shù)的最值的方法是多樣的.本文主要總結(jié)了函數(shù)(a,b,c,d,m,n均為常數(shù),且ad＞0,的最值的各種求解方法.

分式 函數(shù) 最值

求分式函數(shù)最值的方法很多,從不同角度入手,則可得到不同的解法,本文主要從不等式法、判別式法、構(gòu)造等差數(shù)列法、代換法、向量法、求導(dǎo)法、構(gòu)造圖形模型法的思想出發(fā),得到下列的各種解法.

一.不等式法

解法一均值不等式法(課本必修五的知識(shí))

①當(dāng)a, d 與m, n 同號(hào)時(shí), a(c?dx) ＞ 0, d(ax+b) ＞ 0,由ac + bd ＞ 0, 故

②當(dāng)a, d 與m, n 異號(hào)時(shí), a(c?dx) ＜ 0, d(ax+b) ＜ 0,由ac + bd ＜ 0, 故

解法二柯西不等式法( 課本選修4-5 的知識(shí))

①當(dāng)a,d與m,n同號(hào)時(shí),a(c?dx)＞0,d(ax+b)＞0 md＞0,an＞0,由ac+bd＞0,

②當(dāng)a,d與m,n異號(hào)時(shí),a(c?dx)＜0,d(ax+b)＜0 md＜0,an＜0,由于ac+bd＜0,

二、判別式法

解法三 (函數(shù)值域的方法)

由于

①當(dāng)a,d與m,n同號(hào)時(shí),a(c?dx)＞0,d(ax+b)＞0,由于ac+bd＞0,又y＞0,從而t＞0.故

三.構(gòu)造等差數(shù)列法

②當(dāng)a,d與m,n異號(hào)時(shí),a(c?dx)＜0,d(ax+b)＜0,因?yàn)閍c+bd＜0.又y＞0,所以t＜0.從而

四.代換法

解法五 三角代換法,課本必修四知識(shí)

①a,d與m,n同號(hào)時(shí),md＞0,an＞0,故ac+bd＞0.所以

②當(dāng)a,d與m,n異號(hào)時(shí)md＜0,an＜0,所以ac+bd＜0.所以

所以

解法六 整體代換法,課本必修五的方法

①a,d與m,n同號(hào)時(shí),md＞0,an＞0,所以ac+bd＞0.因?yàn)閜＞0,q＞0,所以

解法七 局部代換法,課本必修四的方法

①a,d與m,n同號(hào)時(shí),md＞0,an＞0,所以ac+bd＞0.因?yàn)閜,q,同號(hào),所以

②a,d與m,n異號(hào)時(shí),ma＜0,dn＜0,所以ac+bd＜0.因?yàn)閜,q,同號(hào),所以

五.向量法

解法八 課本必修四知識(shí)

六.導(dǎo)數(shù)法

①a,d與m,n同號(hào)時(shí),ma＞0,dn＞0,所以ac+bd＞0.令 y′=0得即

②a,d與m,n異號(hào)時(shí),ma＜0,dn＜0,所以ac+bd＞0.令 y′=0得即得

七.構(gòu)造圖形模型法

解法十 (課本選修2–1的方法)

①a,d與m,n同號(hào)時(shí),md＞0,an＞0,所以ac+bd＞0.所以所以則

可化為

所以?=[(an?dm)?(ac+bd)y]2?4(ac+bd)dmy=0.

所以[(an+dm)?(ac+bd)y]2=4admn＞ 0,所以所以

所以

②a,d與m,n異號(hào)時(shí),md＜0,an＜0,所以ac+bd＜0.所以則

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于u,v的方程組

在條件

圖1

可化為(ac+bd)u2+[(an?dm)?(ac+bd)y]u+dmy=0.所以?=[(an?dm)?(ac+bd)y]2?4(ac+bd)dmy=0.所以[(an+dm)?(ac+bd)y]2=4admn＞ 0,所以(ac+bd)y?(an+dm)=?所以

所以

以上各種解法的解題角度各不相同,從而各種解法有自己的巧妙和獨(dú)特之處,都能達(dá)到解題目的,同時(shí)也可以鍛煉思維能力,在學(xué)習(xí)過程中會(huì)所幫助.