代數(shù)和模的控制維數(shù)

惠昌常

(1. 首都師范大學 數(shù)學科學學院， 北京 100048; 2. 河南師范大學 數(shù)學與信息科學學院, 河南 新鄉(xiāng) 453007)

1 控制維數(shù)的定義和著名的Nakayama猜想

在環(huán)與代數(shù)的研究中，利用同調(diào)性質(zhì)或維數(shù)來分類代數(shù)和模是一個常用而且非常有效的方法.控制維數(shù)的引入就是一個典型的例子.早在1958年，Nakayama[1]就提出利用代數(shù)的控制維數(shù)來分類代數(shù).我們回顧一下控制維數(shù)定義的歷史和最終的定義.

總假設A是域k上的一個有限維代數(shù)，并限定在代數(shù)A的有限生成左模范疇A-mod中討論問題.將代數(shù)A的有限生成的右模范疇記作mod-A，或Aop-mod，其中Aop表示A的反代數(shù)；代數(shù)A的有限生成A-A-雙模范疇記作A-mod-A，或Ae-mod， 這里Ae表示代數(shù)A的包絡代數(shù)A?kAop.在雙模范疇Ae-mod中考察代數(shù)A的一個雙模正合序列

0→AAA→I0→I1→…→In-1,

其中I0,I1,…,In-1作為雙模,既是投射的也是內(nèi)射的.Nakayama在文獻[1]中提出按照這種分解的長度來分類代數(shù)，并猜想:如果一個代數(shù)存在一個無限長的這種內(nèi)射分解，則這個代數(shù)必定是自入射的，即AA是一個內(nèi)射模.隨后，Tachikawa[2]研究了具有這種分解的代數(shù)，證明了在長度n>0的情況下它們都是QF-3代數(shù)，即具有極小忠實投射-內(nèi)射模的代數(shù).Tachikawa在文獻[3]中放松了上述的分解條件，即只在A-mod中來討論上述問題，也給出了相應的猜想.這樣，一個代數(shù)A的控制維數(shù)記作

dom.dim(A)，

就定義為：在AA的極小內(nèi)射分解

0→AA→I0→I2→…→In→…

中使得I0,I1,…,In-1為投射模的最大的自然數(shù)n.嚴格地講，這樣定義的控制維數(shù)應該叫做“左控制維數(shù)”.當然這里一個很自然的問題是：如果用右模來定義，得到的右控制維數(shù)又會是怎樣的呢？左、右控制維數(shù)相等嗎？在文獻[4]中，Müller證明了對于一個有限維代數(shù)A來說，它的左控制維數(shù)、右控制維數(shù)和Nakayama定義的雙邊控制維數(shù)都是相等的.這就是為什么今天在討論代數(shù)的控制維數(shù)時，只用左模來定義控制維數(shù)就夠了.顯然，自入射代數(shù)的控制維數(shù)是無限的.這句話的逆命題就是Nakayama猜想了，它可以敘述為：

Nakayama猜想設A是域上的一個有限維代數(shù)，如果dom.dim(A)=∞，則A是自入射代數(shù)，即AA是內(nèi)射模.

這個猜想也列在著名代數(shù)表示理論專家Auslander等在1995年出版的專著中(文獻[5]的猜想(8))，已有60年的歷史了，但它依然是公開問題.對于分次的代數(shù)，這個猜想是成立的[6-7].

為了敘述方便，將控制維數(shù)的定義擴展到任意的A-模X上.設

0→AX→I0(X)→I1(X)→…→In(X)→…

是X的一個極小內(nèi)射分解.設I是一個內(nèi)射A-模，0≤n ≤∞.如果n是使得所有I0,I1,…,In-1都屬于add(I)的最大者，就說X關于I的控制維數(shù)是n，記作

I-dom.dim(X)=n,

這里add(I)表示在A-mod中由I生成的可加滿子范疇.當add(I)是所有投射-內(nèi)射模構(gòu)成的范疇時，把

I-dom.dim(X)

簡單寫作dom.dim(X)，并稱它為X的控制維數(shù).

2 控制維數(shù)對代數(shù)的分類

在20世紀60年代的后期，Müller在控制維數(shù)方面做了大量有意義的工作[8-9]，包括前面提到的一些工作.這里介紹利用控制維數(shù)對代數(shù)分類的一些結(jié)果.先回憶一些概念.

設A是一個k-代數(shù)，M是一個A-模.稱M為極小忠實模,如果它是忠實的(faithful)，并且對任意的忠實模N都有一個直和分解：N?M⊕N′，其中N′是一個A-模.代數(shù)A叫做QF-3代數(shù),如果它有一個極小忠實左模和極小忠實右模.注意，極小忠實模一定是投射的.模AM叫做生成子,如果每個不可分解投射模都同構(gòu)于M的一個直和項；叫做余生成子,如果每個不可分解內(nèi)射模都同構(gòu)于M的一個直和項；叫做生成-余生成子,如果它既是生成子也是余生成子.在一些文獻上，生成-余生成子也叫做完全忠實模(fullyfaithfulmodule).

定理2.1假設A是一個有限維k-代數(shù).

1)dom.dim(A)≥1當且僅當A是QF-3代數(shù)[2].

2)dom.dim(A)≥2當且僅當存在一個代數(shù)B，一個生成-余生成子BV，使得A?EndB(V)[4].

事實上，Müller[4]證明了如下更一般的事實.

Hoshino[10]給出控制維數(shù)至少是2的代數(shù)的另一種刻畫.

命題2.3[10]設R是左、右Noether環(huán)，則dom.dim(R)≥2當且僅當函子()**:R-mod→R-mod是左正合的，這里()*:=HomR(-,R).

Hoshino的上述結(jié)論被Colby在文獻[11]中利用傾斜模(定義見本文第4節(jié))的控制維數(shù)做了大幅度的推廣.

對于任意的n,目前還沒有見到對控制維數(shù)是n的這類代數(shù)的刻劃.如果將控制維數(shù)和整體維數(shù)相結(jié)合來刻劃代數(shù)，這方面的工作首先是Auslander對整體維數(shù)不超過2，控制維數(shù)至少是2的代數(shù)進行的刻劃，他證明了這類代數(shù)是表示有限型代數(shù)的可加生成子的自同態(tài)代數(shù)[12],這類代數(shù)稱為Auslander代數(shù).近年來，Iyama等[13]討論了整體維數(shù)不超過n，控制維數(shù)至少是n的代數(shù).

控制維數(shù)在張量積下有如下的計算公式[4]：對任意的k-代數(shù)R和S，

dom.dim(R?kS)=
min{dom.dim(R),dom.dim(S)}.

對于控制維數(shù)無限的代數(shù)，Martinez-Villa利用函子反變有限子范疇(contravariantlyfinitesubcategory)研究了相關的撓對(torsionpair)和代數(shù)的自入射性，更詳細的討論見文獻[14-15].

最后指出，在Frobenius擴張下，控制維數(shù)與幾乎凝聚環(huán)(almostcoherentring)的關系在文獻[16]中有深入的研究.

3 控制維數(shù)與Schur代數(shù)

控制維數(shù)在Schur代數(shù)或更一般的q-Schur代數(shù)的上同調(diào)群研究中也扮演著一個特別有用的角色.假設k是一個域，n≥r是兩個自然數(shù)，用S(k,n,r)表示域k上關于對稱群Σr的Schur代數(shù)(詳細定義見文獻[17]).在Schur代數(shù)的模范疇和對稱群代數(shù)的模范疇之間有一個Schur函子

F: S(k,n,r)-mod→kΣr-mod，

這個函子把S(k,n,r)-mod中具有Weyl模濾鏈的模范疇F映射到kΣr-mod中具有對偶Specht模濾鏈的模范疇F ′.文獻[18]證明了這類模的上同調(diào)群之間有一個同構(gòu)的關系，他們的結(jié)果是針對更廣泛的一類代數(shù)而證明的，限制到Schur代數(shù)就有如下結(jié)論.

定理3.1[18]設域k是無限域，特征是p>0，n≥r≥p， 對任意的M∈F，任意的X∈S(k,n,r)-mod， 都有:

2)dom.dim(Sk(n,r))=2(p-1).

這個結(jié)果也推廣了文獻[19-20]中的相應結(jié)論， 事實上，在文獻[19-20]中，要求p>5和n≥r.

關于控制維數(shù)與Schur-Weyl對偶的聯(lián)系和一些應用，參見文獻[21].

4 導出等價下控制維數(shù)的變化

在代數(shù)與范疇的研究中，有3種基本的等價關系是比較重要的，它們是Morita等價、穩(wěn)定等價和導出等價.

我們知道如果兩個代數(shù)的模范疇是等價的，就稱這兩個代數(shù)是Morita等價.這個概念最早源于Morita的著名工作[22].但就是這個今天經(jīng)常要用到的工作，在一開始時并沒有受到重視，所以這篇文章就只好發(fā)表在大學學報一級的雜志上了.由Morita等價的定義可以看出，控制維數(shù)在Morita等價下是不變的.

兩個代數(shù)叫做穩(wěn)定等價的,如果它們的穩(wěn)定范疇是等價的.這里穩(wěn)定范疇是指模范疇模掉投射模子范疇而得到的商范疇[5].容易看出，穩(wěn)定等價不保持控制維數(shù)：域k上的2×2上三角代數(shù)與代數(shù)k[x]/(x2)是穩(wěn)定等價的，但前者的控制維數(shù)是1，而后者的控制維數(shù)是無限.然而一種特殊的穩(wěn)定等價-Morita型穩(wěn)定等價保持控制維數(shù).域k上的兩個代數(shù)A和B叫做Morita型穩(wěn)定等價，如果存在雙模AMB和BNA使得M和N作為單邊模都是投射的，且有雙模同構(gòu)：M?BM?A⊕P,N?AM?B⊕Q，其中P和Q分別是投射雙A-模和投射雙B-模[23].關于Morita型穩(wěn)定等價有豐富的文獻資料，如文獻[24-30].

下面回顧導出等價的定義,為此先引入一些符號.

設R是一個有單位元的環(huán)，R-模構(gòu)成的復形是指一個如下的序列

稱dX為X?的微分.復形X?到Y(jié)?的態(tài)射是一簇的模同態(tài)(fi)i∈Z，其中fi:Xi→Yi滿足

即對任意的i∈Z,有如下的交換圖:

復形的態(tài)射可按照自然的方法合成.如果令C(R)表示R-模的所有復形的全體，則C(R)就構(gòu)成一個范疇,容易看出，它是一個Abel范疇.利用這個復形范疇，可以定義它上面的同倫范疇(homotopycategory)，記作K(R).如果一個復形

只有有限多個Xi不為0,就稱它是一個有界復形.用Cb(R-proj)表示有限生成投射R-模的有界復形范疇，用Kb(R-proj)表示Cb(R-proj)的同倫范疇.

值得注意的是，D(R)的態(tài)射集合的描述比較復雜，有興趣的讀者可以參考文獻[31].

導出范疇和等價或者更一般的三角范疇和等價(triangulatedcategoryandtriangleequivalence)是由大數(shù)學家Grothendieck和他的學生Verdier在20世紀的60年代引入的[32].1986年，Happel將三角范疇的理論和方法應用于有限維代數(shù)的表示理論的研究，取得了豐碩的成果[33-34].隨后，Cline等[35]推廣了Happel的結(jié)論到一般的環(huán)上，而Rickard[36]將Happel的這一想法做了全面的推廣， 建立了環(huán)的導出范疇的Morita理論.

關于導出等價，Keller[37]從微分分次代數(shù)的角度作了深入的探討，建立了微分分次代數(shù)的導出等價理論.限于篇幅，不在此進行介紹，建議讀者閱讀Keller的有關論文.下面敘述Rickard關于環(huán)的導出等價的一個主要結(jié)論.

兩個環(huán)R和S稱為是導出等價的，如果它們的導出范疇D(R)和D(S)作為三角范疇是等價的.例如，如果AT是一個傾斜A-模,Happel[33]證明了A與EndA(T)導出等價.關于環(huán)的導出等價有下面非常有用的結(jié)論.

定理4.1[36]環(huán)R和S是導出等價的充分必要條件是存在一個復形T?∈Kb(R-proj)使得:

1)HomK b (R-proj)(T?,T?[n])=0,對任意n≠0;

2)Kb(R-proj)可由T?作為可加、三角滿子范疇生成;

3)S?EndKb (R-proj)(T?).

如果Kb(R-proj)中的一個復形T?稱滿足條件1)和2),就稱T?為R的一個傾斜復形(tiltingcomplexoverR).

容易看出，Morita等價的兩個代數(shù)一定是導出等價的.反過來是不對的，這一點可由傾斜模(tiltingmodule)提供的導出等價看出來.現(xiàn)在的問題是:

問題1導出等價是不是保持控制維數(shù)?

對于幾乎Nakayama-穩(wěn)定的導出等價(almostν-stablederivedequivalence)，控制維數(shù)是保持的[38].但一般來說，這個問題的答案是否定的，簡單的例子就是：路代數(shù)k(?→?→?)與路代數(shù)k(?→?←?)是導出等價的，但前者的控制維數(shù)是1,而后者是0,因為這個代數(shù)就沒有投射-內(nèi)射模.于是，進一步的問題就是：

問題2如果2個代數(shù)是導出等價的，它們的控制維數(shù)之間會有什么樣的變化規(guī)律？

問題3在什么條件下導出等價保持控制維數(shù)的有限性(或無限性)？

上述的2個問題，可以在下面2種特殊情況下進行討論：

(a)在任意的代數(shù)類中討論特殊的導出等價下控制維數(shù)的變化規(guī)律和無限性;

(b)在特定的代數(shù)類中討論任意的導出等價下控制維數(shù)的變化規(guī)律和無限性.

關于這2種特殊情況，最新的結(jié)果是文獻[39-40]，其中文獻[39]討論情況(a)，而文獻[40]針對的是情況(b).現(xiàn)在對其中的一些結(jié)果進行介紹.

文獻[39]首先給出構(gòu)造導出等價的兩個代數(shù)的方法，使得其中一個的控制維數(shù)至少是2，而另一個的控制維數(shù)是1.其次，討論了傾斜模給出的導出等價下控制維數(shù)的變化規(guī)律.我們知道一個A-模T∈A-mod稱為是傾斜模(tiltingmodule)[41]，如果它滿足:

1)T的投射維數(shù)有限，即pd(AT)=n<∞;

3) 存在一個正合列

0→AA→T0→…→Tn→0,Tj∈add(T),

這里add(T)表示在A-mod中由T生成的可加子范疇.

傾斜模的一個例子：設A的控制維數(shù)為n≥1,E(A)為AA的內(nèi)射包，則U:=E(A)⊕(E(A)/A)就是一個投射維數(shù)小于等于1的傾斜模，且

dom.dim(AU)≥n-1,

見文獻[11]中的命題5.如果dom.dim(A)=n,即有AA的一個極小內(nèi)射分解

使得I0,I1，…,In-1是投射模，則也可以類似地定義一系列的傾斜模

Tj:=I0⊕…⊕Ij-1⊕Coker(dj-1),j=1,2，…,n,

這些模就稱為典范傾斜模(canonicaltiltingmodules).

設T是一個傾斜模，將T先分解成兩部分：T=P⊕T′,其中P是投射的，T′沒有非零的投射直和項.進一步，將P再細分解：令E表示P的一個直和項，它滿足

add(E)={X∈add(P)|νA(X)∈add(T)},

同文獻[39]一樣，稱E是傾斜模T的心座(heart).令B:=EndA(T).關于A和B的控制維數(shù)，有下面的結(jié)論.

定理4.2[39]1) 如果ω∈add(νA(E)),則dom.dim(A) ≤dom.dim(B) +n;

2) 如果νA(E)∈add(ω),則dom.dim(B) ≤dom.dim(A) +n.

根據(jù)這個定理，如果

add(ω)=add(νA(E)),

則dom.dim(A)=∞當且僅當dom.dim(B)=∞.

這個定理將A和B的控制維數(shù)在假定的條件下聯(lián)系起來了，那么是否有滿足這些條件的代數(shù)和傾斜模呢？下面給出一類這樣的代數(shù).根據(jù)文獻[42]，一個k-代數(shù)A叫做Morita代數(shù)如果它同構(gòu)于EndB(BB⊕M)，其中B是自入射代數(shù)，M是一個B-模.

命題4.3設A是一個Morita代數(shù)，E0是AA的內(nèi)射包，令

T:=E0⊕Ω-j(AA)，

這里Ω-j(M)表示M的第j個余合沖(cosyzygy)， 則:

1)傾斜模T:=E0⊕Ω-j(A)滿足add(E)=add(ω)，對任意1≤j

2)B:=EndA(E0⊕Ω-j(A))是Morita代數(shù)，對任意1≤j

3)dom.dim(B)=dom.dim(A),對任意

1 ≤j

關于Morita代數(shù)有以下命題.

命題4.4[39]設A是Morita代數(shù)，T是投射維數(shù)不超過n的傾斜模，令B:=EndA(T)，則

dom.dim(A) ≤dom.dim(B)+n.

進而，如果B也是Morita代數(shù)，則

|dom.dim(A)-dom.dim(B)|≤n.

一般說來，Morita代數(shù)上的傾斜模的自同態(tài)代數(shù)不一定是Morita代數(shù).

為了給出自同態(tài)代數(shù)的控制維數(shù)的下界，下面引入梯度的概念[39].根據(jù)傾斜模的知識，對給定的傾斜模T以及任意的投射模X,存在正合列

它是νA(X)的極小右add(T)-逼近,記

定義4.5[39]設T是一個傾斜A-模，E是T的心座，0→Pn→…→P0→T→T→0是T的一個極小投射分解，X是一個投射A-模.

1)X的T-梯度，記作?T(X)，定義為

2)代數(shù)A的T-梯度定義為?T(AA),代數(shù)A的整體T-梯度定義為

?(A,T) :=min{?T(Pi) +i|0≤i≤n}.

利用T-梯度，可以給出T的自同態(tài)代數(shù)的控制維數(shù)的一個下界,見文獻[39]中的推論 4.12.

命題4.61)dom.dim(B) ≥?(A,T)≥?T(A);

2)?T(A)=dom.dim(TB)=νA(E)-dom.dim(AT).

下面介紹在Morita代數(shù)類上導出等價對控制維數(shù)的影響規(guī)律.

定理4.7[40]假設A和B都是Morita代數(shù)，

F: Db(A)→Db(B)

是一個三角等價,它對應的傾斜復形的非零項個數(shù)是n,則

|dom.dim(A)-dom.dim(B)| ≤n-1.

事實上，文獻[40]討論的特殊代數(shù)類要比Morita代數(shù)類廣泛一些.命題4.4的第二個結(jié)論是定理4.7的一個特殊情況.

有例子表明，傾斜模自同態(tài)代數(shù)的控制維數(shù)不能用傾斜模的投射維數(shù)來界定.究竟它們應該是怎樣的關系，依然是一個有待進一步考慮的問題.

5 Nakayama猜想與其他同調(diào)猜想的聯(lián)系

1)Nakayama猜想的一些進展：對廣義單列代數(shù)(generalizeduniserialalgebra)的生成-余生成子的自同態(tài)代數(shù)，Tachikawa[3]證明了Nakayama猜想成立.

2) 有限維數(shù)猜想,見文獻[43]中的猜想(11)：給了一個有限維代數(shù)A,定義A的有限維數(shù)為

fin.dim(A)=sup{pd(M)|

M∈A-mod,pdA(M)<∞}.

有限維數(shù)猜想指fin.dim(A)<∞,這個猜想也是至今懸而未解.它與Nakayama猜想的關系是：如果fin.dim(A)<∞,則Nakayama猜想對A成立.因為如果

是A的一個極小內(nèi)射分解，且所有Ij都是投射模，那么每個di的余核(Cokernel)如果不是投射模，那它就是一個投射維數(shù)為i+1的模.由于fin.dim(A)<∞,所以必有一個n使得dn的余核是投射模.這樣，整個正合列

0→AA→I0→I1→…→Coker(dn)→0

就可裂，從而A是自入射代數(shù).

所以，對有限維數(shù)有限的代數(shù)，Nakayama猜想成立.關于有限維數(shù)猜想的一些進展見文獻[44].

3)Tachikawa在文獻[45]的第八章中還提出了與Nakayama猜想相關的一些猜想：

(a) 域k上的代數(shù)A如果滿足

對所有的i≥1都成立，則A必是自入射代數(shù);

猜想(b)成立的情況在文獻[45]中對p-群代數(shù)做了驗證.這個猜想與下面的廣義Nakayama猜想有關系.

4) 廣義Nakayama猜想(generalizedNakayamaconjecture)是Auslander[46]在1975年研究Nakayama猜想時提出的一個猜想.如果

0→AA→I0→I1→…

關于這些猜想之間的蘊含關系，Yamagata在文獻[48]中有詳細的敘述.例如，任何一個猜想對代數(shù)A成立都意味著Nakayama猜想對代數(shù)A也成立,建議讀者參看Yamagata的原文.這些猜想都沒有完全解決，依然是公開問題.對特殊情況，已有一些驗證.限于篇幅和本文的主題，在這里對它們不做介紹.

6 一些公開問題

1) 設兩個有限維代數(shù)A和B是導出等價的.如果A是Morita代數(shù)且dom.dim(B)≥2，那么B也是Morita代數(shù)嗎？

2) 若兩個有限維代數(shù)A和B是導出等價的，是否有A的控制維數(shù)是無限的,當且僅當B的控制維數(shù)是無限的？

3) 在什么條件下,導出等價的兩個代數(shù)A和B有相同的控制維數(shù)?

4) 對導出等價下的一個代數(shù)等價類，是否存在控制維數(shù)的一個上界函數(shù)？如果有，是否有一個估算公式？

致謝本文的最后一稿是在2017年7—8月參加南方科技大學代數(shù)專題暑期學校期間完成的，對北京大學的張繼平教授、南方科技大學的李才恒教授在暑期學校期間給予的幫助和支持，在此表示衷心地感謝.在此也感謝北京師范大學的劉玉明老師閱讀初稿，并提出一些修改意見.

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