論證視角下的“三角形內(nèi)角和”教材理解與教學設計（一）

◇宋煜陽

“三角形內(nèi)角和”由“三角形”“內(nèi)角和”兩個具體概念構(gòu)成。既然是討論三角形內(nèi)角和，內(nèi)角自然成為重要的研究對象。而對于內(nèi)角概念，除浙教版教材有一個舉例描述（如圖1）外，大陸其他版本教材都沒有給出具體定義，對內(nèi)角概念只字未提。值得我們進一步思考的是：需要出示內(nèi)角概念嗎？需要專門進行內(nèi)角概念教學嗎？筆者認為，無論是對三角形內(nèi)角和的理解還是應用，都有必要進行內(nèi)角概念的教學。

圖1

一、在三角形拼組或分割中理解內(nèi)角和，內(nèi)角的指認需要以定義為依據(jù)

有人認為，學生在學習三角形內(nèi)角和時對內(nèi)角指認困難不大，三角形內(nèi)角概念也無須專門出示和教學。其實不然，學生對三角形內(nèi)角的指認如果局限于單個三角形，不涉及外角，指認正確率確實較高。一旦這個三角形是由幾個小三角形拼組或由平面圖形分割而成，學生對它的內(nèi)角指認正確率就會大大降低。

筆者抽取了所在區(qū)域城鄉(xiāng)8個班400名四年級學生，就圖2、圖3、圖4中△ABC的內(nèi)角標注進行了前測。其中，圖2正確率為76.8%，圖3正確率為37.3%，圖4正確率為35%，前測數(shù)據(jù)顯示多數(shù)學生在圖形拼組或分割中指認三角形的內(nèi)角是存在困難的。以圖4為例，這種困難一方面表現(xiàn)為無法準確指認出拼組合成的三角形的內(nèi)角，如內(nèi)角∠BAC不是單個角，是由∠BAD、∠DAC拼組合成的；另一方面表現(xiàn)為無法解釋像∠ADB和∠ADC在△ABC內(nèi)部卻不是它的內(nèi)角。在圖形拼組或分割中指認三角形內(nèi)角，繞不開“為什么它是（不是）內(nèi)角”的解釋，而解釋的依據(jù)恰恰就是內(nèi)角的定義。

圖2

圖3

圖4

二、應用三角形內(nèi)角和探索多邊形內(nèi)角和，內(nèi)角概念成為推算的關(guān)鍵

人教版、蘇教版、北師大版等教材都編排了利用三角形內(nèi)角和來探索多邊形內(nèi)角和的教學內(nèi)容。如人教版教材中呈現(xiàn)了兩種方法（如圖5）:方法一是用撕拼方法將四個內(nèi)角拼成周角，直觀得出結(jié)論；方法二是連接對角線將四邊形分割為兩個三角形，通過轉(zhuǎn)化得出四邊形內(nèi)角和。

圖5

實際教學顯示，學生最為常用的方法是以下兩種（如圖6、圖7）。多數(shù)學生能將四邊形分割為三個或四個三角形，卻在后續(xù)的推算中出現(xiàn)困難。因為面對這兩種分割方法的推算，學生必須明確圖6構(gòu)成平角的三個角、圖7構(gòu)成周角的四個角不是四邊形的內(nèi)角，從而理解為什么要從多個三角形內(nèi)角總和中減去180°（360°）。也就是說，在四邊形內(nèi)角和整個探索過程中，一旦具有了轉(zhuǎn)化思路，內(nèi)角概念就成為解決問題的關(guān)鍵。

圖6

圖7

三、多位名師重視內(nèi)角概念教學，采用直觀方式對內(nèi)角進行了定義

特級教師朱樂平、朱德江、顧志能、蘇明強等在“三角形內(nèi)角和”一課教學中均給出了內(nèi)角概念，開展了相應的教學活動。不過，這些名師在內(nèi)角概念描述上略有不同，主要有以下三種方式。

方式一，結(jié)合圖示舉例描述。如顧志能老師，教學中結(jié)合三角形圖形指出“三角形內(nèi)的三個角叫作內(nèi)角，每個內(nèi)角都有度數(shù)，三個內(nèi)角度數(shù)的和就叫三角形的內(nèi)角和”，在描述方式上與浙教版教材基本一致。

方式二，結(jié)合圖形內(nèi)外部給出內(nèi)角、外角概念。如蘇明強老師，教學中先結(jié)合長方形的四個直角，引導學生討論得出“這些角都長在這個圖形之內(nèi)稱為內(nèi)角”“如果角長在圖形之外就稱為外角”；將長方形的一條邊延長，找到它的外角；然后類比找出三角形的內(nèi)角與外角。

方式三，結(jié)合圖示給出直觀定義。如朱樂平老師，教學中結(jié)合三角形圖指出：“∠1、∠2、∠3都在三角形的內(nèi)部，我們稱它們是三角形的三個內(nèi)角?！庇秩缰斓陆蠋?，教學中結(jié)合已學平面圖形指出：“這些平面圖形中都有角，我們把圖形中相鄰兩邊的夾角稱為內(nèi)角?！?/p>

上述四位名師的教學中，盡管對三角形內(nèi)角描述方式上并不完全相同，但都采用了直觀的方式對內(nèi)角概念進行了定義，并專門安排了概念教學。

綜上所述，內(nèi)角是三角形內(nèi)角和相關(guān)內(nèi)容學習不可或缺的重要概念，建議教材出示內(nèi)角概念，并開展必要的概念教學。在內(nèi)角概念教學中，建議給出直觀描述性定義，可以將內(nèi)角、外角概念對比呈現(xiàn)進行區(qū)分，同時要加強對若干個三角形拼組或分割后內(nèi)角的指認。