立足原題,磨出精彩—一道“雙曲線”壓軸題的磨題過程

江蘇省海門市東洲國際學(xué)校(226100)　蔣健

近期,筆者有幸參與九年級數(shù)學(xué)期末試卷審核工作,試卷的壓軸題是一道以“雙曲線”為載體的綜合題.考慮到是全卷的壓軸題,教研員建議我關(guān)注①問題的思維層次與相互關(guān)聯(lián);②學(xué)生的能力考查與試題的區(qū)分度;③試題蘊含的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法等.旨在通過打磨呈現(xiàn)好題.現(xiàn)把磨題過程與同行交流、研討.

第1稿如圖1,雙曲線y=經(jīng)過點A(1,2),過點A作y軸的垂線,垂足為B,交雙曲線y=?于點C.

圖1

(1)求k的值;

(2)點P為雙曲線y=上的一點,若△OAP為直角三角形,求點P的坐標(biāo);

(3)點Q為雙曲線y=?上一點,且△OCQ的面積為,求點Q的坐標(biāo).

1　研讀分析

1.問題設(shè)置關(guān)聯(lián)性不強(qiáng),有“拼”之嫌.如過點A作y軸的垂線,對于問題(2)(3)解決無實質(zhì)意義,且(2)(3)問題獨立,看不出有聯(lián)系的跡象.

2.第(2)(3)問題計算繁瑣,無“思”之向.如(2)(3)的解題過程中出現(xiàn)高次方程,運算要求高,不能體現(xiàn)多思簡算.

3.第(2)(3)都涉及分類,有“泛”之感.雖然關(guān)注了數(shù)學(xué)思想的滲透,但在分類過程中涉及象限較多,顯過分追求分類而無自然生長.

4.圖形混合,指向不明,導(dǎo)致學(xué)生思維混亂,無“簡”之美.在解決(2)(3)兩問題過程中,需要在不同的分支來回考慮,不利用學(xué)生常態(tài)思維的發(fā)揮,不能很好的尊重學(xué)生的個體差異.

2　逐層推進(jìn)

2.1　磨題干

思考1如何讓過點A直線不是一種擺設(shè)?改變點P的出現(xiàn)方式,增加一條直線,平行于定直線,使點P是動直線與雙曲線的交點,這樣一來,兩直線相得益彰,整體圖形的呼應(yīng)更緊密,體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.

第2稿雙曲線y=經(jīng)過點A(1,2),過點A作y軸的垂線,垂足為B,交雙曲線y=?于點C,點M(0,m)為y軸上一動點,過點M作y軸的垂線,分別交雙曲線y=?y=于點P、Q.

思考2完稿再讀,題干的敘述顯的還啰嗦拖沓,不夠簡潔.考慮到數(shù)據(jù)?6無特殊作用,及文字簡明扼要,可以把一些條件作一隱含或作為分問題的已知,更能考察學(xué)生讀題、審題的能力.

第3稿如圖2,平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點A(1,2),反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點B(?4,2).

圖2

2.2　磨問題

思考1根據(jù)題干中已知的點,可以求出k1、k2的值,思考O、A、B三點形成一種默契.

第4稿(1)作射線OA、OB.求證:OA⊥OB;

思考2在原問題(2)的解決過程中,過點M(0,m)的動直線在x上方時,△OAP為直角三角形是明顯不成立的,同時還需考慮m?=0,設(shè)想直接給出m的范圍,讓學(xué)生自我畫圖簡捷,問題突破更易.

第5稿(2)若m＜0,連接OA、OP、AP,若△OAP為直角三角形,求點P的坐標(biāo);

思考3為了進(jìn)一步讓原題(2)(3)有一定的聯(lián)系,思考過M點的動直線,在運動過程中如何與過A點的定直線產(chǎn)生探究的味道?動直線在y軸負(fù)半軸平移過程中,兩直線與兩反比例函數(shù)圖象的四個交點,可以形成平行四邊形.此時S△OCQ與S△OAP相等,聯(lián)想特殊到一般,可以產(chǎn)生不等情況,讓學(xué)生比較相關(guān)三角形的面積大小,使問題具有一定的區(qū)分度.這樣既保留了原有第(3)問對于面積的考察,又能使試題的立意更新,讓答題思路在需要預(yù)測、需要直覺、需要轉(zhuǎn)換視角中產(chǎn)生,提升了學(xué)生的思維品質(zhì).同時考慮問題(2)形成主線串聯(lián),限定m的取值,體現(xiàn)“內(nèi)斂藏鋒”的命題取向,形成終稿.

第6稿(2)設(shè)直線y=m(m＜0)分別交曲線y=于點Q、P.①連接OA、OP、AP,若△OAP為直角三角形,求點P坐標(biāo);②分析△OBQ與△OAP面積大小.

終稿如圖3,平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(1,2),反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點B(?4,2).

圖3

(1)作射線OA、OB.求證:OA⊥OB;

(2)設(shè)直線y=m(m＜0)分別交曲線y=于點Q、P.①連接OA、OP、AP,若△OAP為直角三角形,求點P坐標(biāo);②分析△OBQ與△OAP面積大小.

2.3　解法呈現(xiàn)

解(1)OA解析式:y=2x,OB解析式:y=可證OA⊥OB;

(2)①分兩種情況,如圖3OP1解析式:y=聯(lián)列,解之得x=±4,因為m＜0,所以點P1(4,?2).同理可得綜上,P1(4,?2),P2

②如圖4,當(dāng)m=?2時,四邊形ABQP為平行四邊形,此時S△OBQ=S△OAP;當(dāng)m＜?2,此時S△OBQ＞S△OAP;當(dāng)?2＜m＜0,此時S△OBQ＜S△OAP.

圖4

3　磨題感悟

磨題是藝術(shù),對于磨題的過程,如何讓試題有較寬的思維入口與較好的試題梯度?如何讓試題能呈現(xiàn)通式、通法?如何讓學(xué)生有多角度思考、有多策略選擇?值得我們每個教師在磨題過程中善于換位思考,從學(xué)生的角度出發(fā),自我否定、“自以為非”.如本題第(1)問,問題設(shè)置起點低,方法多樣,學(xué)生容易上手,第(2)①問注重與問題(1)解決方法的聯(lián)系,同時滲透數(shù)學(xué)思想方法的考察.問題②設(shè)置新穎,具有區(qū)分度,體現(xiàn)選拔功能.總之,三個設(shè)問層次分明,相輔相成,各問設(shè)計環(huán)環(huán)相扣,解答過程步步深入,轉(zhuǎn)化、分類、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想盡顯其中.

磨題出新顏,體現(xiàn)三大基性①引導(dǎo)性,前一個問題是后一個問題的基礎(chǔ)與鋪墊,前一個問題的解題思路對后一個問題的解決有一定的引導(dǎo)作用;②層次性,即思維是逐步深入的,學(xué)生“入手”容易,“收手”難.③策略性,問題的解決,思維入口寬,可以從不同的角度尋找與篩選出最佳路線.縱觀以上,可以體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》中“不同學(xué)生可以達(dá)到不同的層次,收獲不同的體驗”.