三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的新記法

上海市華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院(200062)　黃健

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,是高中生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ),其目的是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù),便于計算.為后續(xù)的三角函數(shù)求值化簡、簡單證明以及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí)等打好基礎(chǔ).由此可看出三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的重要性.然而,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式繁多而且復(fù)雜,學(xué)生在初學(xué)三角函數(shù)的時候,很容易把一些公式混淆,并且總感覺記不牢.由于公式多,即使現(xiàn)在記住了,過后也可能很快忘掉,很多高中生都感到十分頭痛.那有沒有可以讓學(xué)生很容易記住這些公式的方法呢?在此簡單歸納誘導(dǎo)公式的記憶方法,同時提出在后期回顧復(fù)習(xí)和記憶時,可利用后續(xù)學(xué)習(xí)的三角函數(shù)圖像幫助記憶誘導(dǎo)公式的新方法.

一、誘導(dǎo)公式記憶方法

1.口訣記憶法

“變”與“不變”是相對處于互余關(guān)系的函數(shù)而言的,sinα與cosα互余、tanα與cotα互余.

“向前看”就是根據(jù)“一正二正弦三切四余弦”(第一象限所有三角函數(shù)都是正的;第二象限正弦是正的;第三象限正切、余切是正的).

2.單位圓記憶法 [2]

新課標(biāo)下三角函數(shù)的概念是放在直角坐標(biāo)系下的單位圓中來定義的,為此,三角函數(shù)的所有的誘導(dǎo)公式都可以借助單位圓利用“角的終邊的對稱關(guān)系”的思想來理解和記憶.

又如,(2k+1)π+α(k∈)與α的終邊關(guān)系,即π+α與α為的關(guān)系,而從α→π+α相當(dāng)于把角的終邊以坐標(biāo)原點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)π,于是(2k+1)π+α(k∈)與α的終邊關(guān)于原點對稱,設(shè)α的終邊上一點P(x,y),則在(2k+1)π+α(k∈Z)的終邊上的對應(yīng)點P′(?x,?y).根據(jù)三角函數(shù)的定義,我們可以得到:sin((2k+1)π+α)=?sinα,cos((2k+1)π+α)=cosα.

類似其他幾組誘導(dǎo)公式也可以用“角的終邊的對稱關(guān)系”來記憶,充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.

二、利用函數(shù)圖像記憶誘導(dǎo)公式的新方法

除了上面兩類方法,我們還有其他的小方法可以幫助我們記憶,如利用周期性和奇偶性進行記憶等.不過相對來說較為局限,無法應(yīng)用于所有誘導(dǎo)公式.

下面介紹的新方法是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖像的基礎(chǔ)上進行的,所以可以在單元末復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)或高考前加強記憶時進行教學(xué).

1.函數(shù)平移法

函數(shù)平移法可以在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖像變換之后進行理解記憶.如記憶sin時,只需看成sinα的圖像向左平移個單位長度,觀察所得圖像是 sinα、?sinα、cosα還是?cosα即可.如圖所示,可得sin=cosα.

若α前為復(fù)號,則需認識到對稱的含義.如cos的誘導(dǎo)公式,可看成是在cosα的基礎(chǔ)上,先關(guān)于y軸對稱,再向左平移個單位長度,得到?sinα.

2.函數(shù)繪制法

函數(shù)繪制法的原理同樣是三角函數(shù)的圖像變換,或者說是函數(shù)圖像的本質(zhì).以前面兩個誘導(dǎo)公式為例,先考慮sin我們可以將其看成在sinα圖像的基礎(chǔ)上,以為起點,向x軸的正向描繪函數(shù)圖像,如圖:

由此描繪出來的,即是以函數(shù)值1為起點,先遞減至?1再遞增的圖像,明顯為cosα的圖像(如下圖),故sin=cosα.

由此描繪出來的,即是以函數(shù)值0為起點,先遞減至?1再遞增的圖像,明顯為?sinα的圖像(如下圖),故cos=?sinα.

只要熟練掌握以上圖像記憶方法,便可輕松得到任意誘導(dǎo)公式的結(jié)果,更可以加深對函數(shù)圖像和三角函數(shù)函數(shù)平移的本質(zhì)理解.以上方法為筆者高中時理解所得,一直沿用至今.且在多次家教和小班教學(xué)期間嘗試用此方法幫助高二、高三學(xué)生(大部分學(xué)生忘記了誘導(dǎo)公式或者記混了誘導(dǎo)公式)記憶和理解三角誘導(dǎo)公式,并不定期進行記憶情況和運用情況的調(diào)查皆取得良好的效果.學(xué)生普遍認為,此方法能夠很好地記憶誘導(dǎo)公式,比起一開始記憶時用的“口訣記憶法”(奇變偶不變,符號看象限)進行機械記憶來說,圖像法的記憶更加牢固也更加準(zhǔn)確.因此,新方法對記憶誘導(dǎo)公式、理解圖像變換或者函數(shù)圖像中自變量與因變量的關(guān)系等都有著巨大的作用.

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)一章中的重要性是不容忽視的.方法只是為掌握知識本身服務(wù)的,不管利用哪種方法來記憶誘導(dǎo)公式,我們的最終目標(biāo)是能巧妙并準(zhǔn)確地記憶公式本身,并能熟練地使用它來解決問題.

[1]廖佛成.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的三類記憶法[J].考試周刊,2014,31:61.

[2]杜彥軍.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式記憶新說[J].新課程學(xué)習(xí)(中),2012,04:136.