■廣東省興寧市第一中學(xué)　藍(lán)云波

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在高考中通常占據(jù)壓軸題的位置,其重要性不言而喻。通過(guò)對(duì)近幾年全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的分析,可發(fā)現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題綜合性強(qiáng),方法多樣,技巧性強(qiáng),難度頗大。這類試題題型多樣,常考常新,但解題的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)思想方法的合理使用。為幫助同學(xué)們突破此類問(wèn)題,下面從四個(gè)視角研究導(dǎo)數(shù)壓軸題的破解策略,以提高同學(xué)們的解題能力。

一、函數(shù)的單調(diào)性、最值

(河北省衡水中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試?yán)砜?已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)常數(shù))。

(1)若a=-2,求證:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);

(2)求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;

(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

若a≥-2,則f'(x)在[1,e]上非負(fù)(僅當(dāng)a=-2,x=1時(shí),f'(x)=0),故函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),此時(shí)f(x)min=f(1)=1。

f(x)min=

若a≤-2e2,f'(x)在[1,e]上非正(僅當(dāng)a=-2e2,x=e時(shí),f'(x)=0),故函數(shù)f(x)在[1,e]上是減函數(shù),此時(shí)f(x)min=f(e)=a+e2。

綜上可知,當(dāng)a≥-2時(shí),f(x)的最小值為1,相應(yīng)的x值為1;

當(dāng)a≤-2e2時(shí),f(x)的最小值為a+e2,相應(yīng)的x值為e。

(3)不等式f(x)≤(a+2)x,可化為a(x-lnx)≥x2-2x。

因?yàn)閤∈[1,e],所以lnx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取,即lnx＜x,故x-lnx＞0。

當(dāng)x∈[1,e]時(shí),x-1≥0,lnx≤1,故x+2-2lnx＞0,從而g'(x)≥0(僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),所以g(x)在[1,e]上為增函數(shù)。

故g(x)的最小值為g(1)=-1,所以a的取值范圍是[-1,+∞)。

點(diǎn)評(píng):求解含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題,關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。對(duì)于第三問(wèn)的能成立問(wèn)題,則是通過(guò)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為新的函數(shù)的最小值求解。在解題中,特別要注意恒成立問(wèn)題與能成立問(wèn)題的區(qū)別。

(湖南省岳陽(yáng)市2017屆高三聯(lián)考理科改編)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在x=e-1處的切線方程;

所以當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在x=e-1處的切線的斜率為

此時(shí)f(x)在(-1,0),(2a-3,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,2a-3)上單調(diào)遞減。

因此g(x)在(0,+∞)上的最大值等于其在(0,1]上的最大值。

由(2)知,當(dāng)a=2時(shí),f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)=ln(1+x)-h(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,于是h(x)≥h(1)=0。

從而函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,進(jìn)而g(x)≤g(1)=2ln2,即g(x)的最大值為ln4。

點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)對(duì)函數(shù)g(x)的細(xì)致觀察,發(fā)現(xiàn)g(x)=g(),從而把研究問(wèn)題的范圍縮小,實(shí)現(xiàn)了化難為易的效果。在求最值的過(guò)程中,還使用了二次求導(dǎo)的技巧。

二、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

因此,當(dāng)m＜0時(shí),h(x)＜0,可得f'(x)＜0,此時(shí)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;

當(dāng)m＞0時(shí),h(x)＞0,可得f'(x)＞0,此時(shí)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。

由②得g'(0)=0,所以當(dāng)x＜0時(shí),g'(x)＜g'(0)=0,g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)x＞0時(shí),g'(x)＞g'(0)=0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

又g(0)＜0,g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故g(x)在(-∞,0)上恰有一個(gè)零點(diǎn)。

另一方面,當(dāng)x＞0時(shí),emx＞1。

又g(0)＜0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故g(x)在(0,+∞)上恰有一個(gè)零點(diǎn)。

從而當(dāng)m＞1時(shí),g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)。

同理可證當(dāng)m＜-1時(shí),g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)。

綜上可知,滿足題意的m的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞)。

(貴陽(yáng)市2017屆高三上學(xué)期期末測(cè)試卷)已知函數(shù)f(x)=2a2lnx-x2(a＞0)。

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)討論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,e2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

又因?yàn)閒(1)=2ln1-12=-1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=-1。

因?yàn)閤＞0,a＞0,所以當(dāng)0＜x＜a時(shí),f'(x)＞0;當(dāng)x＞a時(shí),f'(x)＜0。

因此,f(x)在(0,a)上是增函數(shù),在(a,+∞)上是減函數(shù)。

(3)由(2)得:

f(x)max=f(a)=a2(2lna-1)。

下面討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)情況。

①當(dāng)a2(2lna-1)＜0,即0＜a＜e時(shí),函數(shù)f(x)在(1,e2)上無(wú)零點(diǎn)。

②當(dāng)a2(2lna-1)=0,即a=e時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)a,又1＜a=e＜e2,故函數(shù)f(x)在(1,e2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。

③當(dāng)a2(2lna-1)＞0,即a＞e時(shí),由題意知f(1)=-1＜0,f(a)=a2(2lna-1)＞0,f(e2)=2a2lne2-e4=4a2-e4=(2ae2)(2a+e2)。故當(dāng)2a-e2＜0,即 e＜a＜時(shí),1＜e＜a＜＜e2,f(e2)＜0,由單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)在(1,a)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x1,在(a,e2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x2,所以f(x)在(1,e2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)。

當(dāng)2a-e2≥0,即a≥＞e時(shí),f(e2)≥0,而且f(e)=2a2·-e=a2-e＞0,f(1)=-1＜0,由單調(diào)性可知,無(wú)論a≥e2還是a＜e2,f(x)在(1,e)內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn),在(e,e2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),從而f(x)在(1,e2)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述,當(dāng)0＜a＜e時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)a=e或a≥,函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng) e＜a＜,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。

例3和例4是函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵。在研究函數(shù)時(shí),二次求導(dǎo)是常見(jiàn)的策略。函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定,往往要借助零點(diǎn)存在定理,使用零點(diǎn)存在定理的難點(diǎn)在于利用單調(diào)性后,區(qū)間內(nèi)兩個(gè)函數(shù)值的乘積小于零的確定,往往要結(jié)合放縮法以確定函數(shù)值的符號(hào)。

三、證明不等式

(2016年廣州市一模理科數(shù)學(xué)卷)已知函數(shù)f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2。

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)m的值;

(2)當(dāng)m≥1時(shí),請(qǐng)證明:f(x)＞g(x)-x3。

解析：(1)因?yàn)閒'(x)=ex+m-3x2,所以f'(0)=em-3×02=1,解得m=0。

(2)f(x)＞g(x)-x3等價(jià)于ex+mln(x+1)-2＞0。

當(dāng)m≥1時(shí),ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2。

所以要證ex+m-ln(x+1)-2＞0,只需證明ex+1-ln(x+1)-2＞0。

設(shè)h(x)=ex+1-ln(x+1)-2。

當(dāng)x∈(-1,x0)時(shí),h'(x)＜0;

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h'(x)＞0。

故當(dāng)x=x0時(shí),h(x)取得最小值h(x0)。

所以h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)

綜上所述,當(dāng)m≥1時(shí),f(x)＞g(x)-x3成立。

解析：由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。

令F'(x)＞0,得0＜x＜1;

令F'(x)＜0,得x＞1。

所以F(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞)。

所以g'(x)＞0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)＜0,G(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)＞0,G(x)單調(diào)遞增。所以G(x)≥G(x0)=x0lnx0-e-x0=x0lnx0+lnx0+1。

G(x)≥G(x0)=φ(x0)＞-1-2e-2。

例5和例6是高考中利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的熱點(diǎn)問(wèn)題,常見(jiàn)的做法是構(gòu)造函數(shù),通過(guò)函數(shù)的最值進(jìn)行證明。試題通過(guò)作差構(gòu)造函數(shù),并通過(guò)多次求導(dǎo),以確定函數(shù)的最值,但由于函數(shù)的極值點(diǎn)難以求解,故可借助設(shè)而不求,整體代換的技巧實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)證明不等式,除直接作差構(gòu)造之外,還可通過(guò)下列技巧求解:

①分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù);

②通過(guò)代數(shù)變形(如取對(duì)數(shù))后構(gòu)造函數(shù);

③換元構(gòu)造,聲東擊西;

④構(gòu)造雙函數(shù),各個(gè)擊破;

⑤主元構(gòu)造,定主略從;

⑥放縮構(gòu)造,化繁為簡(jiǎn);

⑦多次構(gòu)造,多次求導(dǎo)。

四、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

(2016年甘肅省蘭州市高三診斷考試)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a為常數(shù)),曲線y=f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為-1。

(1)求a的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若x1＜ln2,x2＞ln2,且f(x1)=f(x2),試證明:x1+x2＜2ln2。

解析：(1)因?yàn)閒'(x)=ex-a,又f'(0)=1-a=-1,所以a=2。

故f(x)=ex-2x-1,f'(x)=ex-2。

由f'(x)＞0,得x＞ln2;由f'(x)＜0,得x＜ln2。

所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)設(shè)x＞ln2,所以2ln2-x＜ln2,f(2ln2-x)=e(2ln2-x)-2(2ln2-x)-1=

所以g(x)在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增。

又因?yàn)間(ln2)=0,所以當(dāng)x＞ln2時(shí),g(x)=f(x)-f(2ln2-x)＞g(ln2)=0。故f(x)＞f(2ln2-x)。

因此,f(x2)＞f(2ln2-x2)。

又因?yàn)閒(x1)=f(x2),所以f(x1)＞f(2ln2-x2)。

由于x2＞ln2,所以2ln2-x2＜ln2,又因?yàn)閤1＜ln2,由(1)知函數(shù)y=f(x)在(-∞,ln2)上單調(diào)遞減,所以x1＜2ln2-x2。

因此,x1+x2＜2ln2,得證。

(1)討論f(x)的單調(diào)性。

(2)設(shè)a＞0,證明:當(dāng)0＜x＜a時(shí),f(a+x)＜f(a-x)。

(3)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明

解析：(1)由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。

①若a≤0,則f'(x)＞0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

②若a＞0,則由f'(x)=0得x=a,當(dāng)0＜x＜a時(shí),f'(x)＜0,當(dāng)x＞a時(shí),f'(x)＞0,此時(shí)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

當(dāng)0＜x＜a時(shí),g'(x)＜0,所以g(x)在(0,a)上是減函數(shù)。

而g(0)=0,所以g(x)＜g(0)=0,故當(dāng)0＜x＜a時(shí),f(a+x)＜f(a-x)。

(3)由(1)可知,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)y=f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),故a＞0,從而f(x)的最小值為f(a),且f(a)＜0。

不妨設(shè)0＜x1＜x2,則0＜x1＜a＜x2,所以0＜a-x1＜a。

由(2)得f(2a-x1)=f(a+a-x1)＜f(x1)=f(x2)=0。

例7和例8是經(jīng)典的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,所謂極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,就是:已知函數(shù)y=f(x)是連續(xù)函數(shù),f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x2),不少極值函數(shù)由于極值點(diǎn)左右的增減速度不同,函數(shù)圖像不具對(duì)稱性,常常有極值點(diǎn)x0≠的情況。解決這類問(wèn)題首先應(yīng)確定零點(diǎn)的大致范圍,從所證結(jié)論出發(fā),構(gòu)造差函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與等量代換,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。