劉 喆， 陶鳳和， 賈長(zhǎng)治， 牟鵬博

(1.68129部隊(duì)，蘭州 730060； 2.軍械工程學(xué)院 火炮工程系，石家莊 050003； 3.裝甲兵學(xué)院 裝備運(yùn)用系，安徽 蚌埠 233050)

履帶車輛是現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中十分重要的地面火力武器裝備，具有機(jī)動(dòng)性好、火力猛、高新技術(shù)含量高和生存力強(qiáng)的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，在難以計(jì)數(shù)的戰(zhàn)爭(zhēng)中主要起著火力打擊作用，可以快速構(gòu)筑發(fā)射場(chǎng)地形成火力壓制，同時(shí)迅速撤出發(fā)射場(chǎng)地，躲避敵軍武器打擊，同時(shí)還可以為己方人員和重型坦克提供火力支援，在信息化、機(jī)械化的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。

履帶車輛傳動(dòng)系統(tǒng)的主動(dòng)輪主要負(fù)責(zé)將發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力傳遞到履帶板從而帶動(dòng)整體車輛運(yùn)動(dòng)，是十分重要的傳動(dòng)部件?？煽慷仁呛饬繖C(jī)械系統(tǒng)質(zhì)量的重要指標(biāo)[1]，研究如何快速準(zhǔn)確分析機(jī)械系統(tǒng)的可靠性，進(jìn)而對(duì)其可靠性進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究具有十分重要的意義[2-4]。

進(jìn)行機(jī)械零部件可靠性分析的研究模型應(yīng)用最多是應(yīng)力—強(qiáng)度模型，它是基于概率統(tǒng)計(jì)方法對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行度量，為現(xiàn)代可靠性分析和機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)做了較好的鋪墊。Lewis等[5-7]在運(yùn)用應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型研究可靠性問(wèn)題時(shí)，將載荷作用過(guò)程用隨機(jī)性模型表示，符合實(shí)際情況，但研究時(shí)卻假設(shè)構(gòu)件強(qiáng)度為確定值或者服從分布已知的概率函數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏大。工程實(shí)際中，機(jī)械零部件由于載荷作用、內(nèi)部微應(yīng)力改變、材料本身缺陷等原因，其構(gòu)件強(qiáng)度是隨著工作時(shí)間增加而逐漸下降的[8-9]，所以在進(jìn)行可靠度分析時(shí)將零部件的強(qiáng)度也作為一種逐漸減小的隨機(jī)過(guò)程來(lái)計(jì)算將會(huì)更加符合工程實(shí)際情況。

機(jī)械零部件的可靠性靈敏度分析，是在可靠性分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行的零部件隨機(jī)參數(shù)的敏感性分析，分析結(jié)果可以評(píng)價(jià)機(jī)械零部件隨機(jī)參數(shù)的改變對(duì)其結(jié)構(gòu)可靠性的影響程度[10]。機(jī)械零部件的可靠性靈敏度分析方法主要有基于矩理論方法和數(shù)值仿真模擬法的可靠性靈敏度分析方法[11]。進(jìn)行機(jī)械可靠性的靈敏度分析對(duì)于其結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)、可靠性優(yōu)化和定壽命可靠性設(shè)計(jì)等方面都有十分重要的應(yīng)用前景[12]。

本文在可靠性理論中應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型的基礎(chǔ)上，考慮機(jī)械系統(tǒng)零部件強(qiáng)度隨時(shí)間存在退化的情況，將機(jī)械部件的強(qiáng)度退化用Gamma隨機(jī)過(guò)程來(lái)近似模擬，運(yùn)用可靠性設(shè)計(jì)的隨機(jī)攝動(dòng)法、四階矩理論和靈敏度分析方法討論了履帶車輛傳動(dòng)系統(tǒng)主動(dòng)輪的可靠性靈敏度分析問(wèn)題。在機(jī)械零部件隨機(jī)參數(shù)變量概率分布特性已知的條件下，可以迅速的獲得主動(dòng)輪各隨機(jī)參數(shù)變量對(duì)其可靠度的靈敏度規(guī)律，從而為主動(dòng)輪的可靠性設(shè)計(jì)、加工制造和使用維護(hù)提供科學(xué)準(zhǔn)確的信息，為其可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)做一定的探索和鋪墊，研究方法可以應(yīng)用到其他機(jī)械產(chǎn)品上，有較好的適用性。

1 可靠性設(shè)計(jì)的攝動(dòng)法

運(yùn)用概率論分析設(shè)計(jì)方法，在機(jī)械系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)時(shí)考慮各設(shè)計(jì)變量的隨機(jī)性，確定基本的設(shè)計(jì)約束條件，建立交互設(shè)計(jì)模型等，是機(jī)械設(shè)計(jì)理論面臨的基本問(wèn)題。可靠性設(shè)計(jì)攝動(dòng)法可以準(zhǔn)確的提供機(jī)械系統(tǒng)零部件的固有可靠性，提供可以進(jìn)行實(shí)際工程計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，分析零部件在工況條件下的可靠性，給出機(jī)械可靠性的設(shè)計(jì)方法。

要計(jì)算機(jī)械系統(tǒng)零部件的可靠度或者失效概率，需要明確零部件各隨機(jī)參數(shù)的概率密度函數(shù)或聯(lián)合概率密度函數(shù)，工程實(shí)際中，有很多基本隨機(jī)變量，如零部件強(qiáng)度和承受載荷等都是很多基本隨機(jī)變量的函數(shù)，這時(shí)如果計(jì)算其聯(lián)合概率分布函數(shù)又必須知道所有基本隨機(jī)變量各自的分布函數(shù)。但是在工程實(shí)際中往往沒(méi)有足夠的信息去確定它們，即使近似的指定其分布，知道其分布函數(shù)，通常也很難用多重積分算出零部件的可靠度或者失效概率。

當(dāng)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)未知，只能通過(guò)數(shù)據(jù)資料計(jì)算獲得其前四階矩時(shí)，可以通過(guò)可靠性設(shè)計(jì)攝動(dòng)法計(jì)算得到機(jī)械構(gòu)件的可靠性指標(biāo)，從而計(jì)算得到構(gòu)件的可靠度或失效概率值。

零部件隨機(jī)參數(shù)的向量X和其狀態(tài)函數(shù)g(X)分別如下

X=Xd+εXp

(1)

g(X)=gd(X)+εgp(X)

(2)

式中：ε為一個(gè)參數(shù)；下標(biāo)d為隨機(jī)參數(shù)變量中的確定部分；下標(biāo)p為隨機(jī)參數(shù)變量中的隨機(jī)部分，均值為零，且隨機(jī)部分遠(yuǎn)小于確定部分。

由攝動(dòng)關(guān)系理論和相應(yīng)的隨機(jī)分析理論，推導(dǎo)整理機(jī)械零部件狀態(tài)函數(shù)g(X)的均值、方差、三階矩和四階矩的表達(dá)式分別為

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Var(X)，C3(X)，C4(X)為隨機(jī)參數(shù)的方差、三階矩和四階矩向量；(·)[k]=(·)[k-1](·)=(·)?(·)?…?(·)為(·)的Kronecker冪，符號(hào)?代表Kronecker積，定義為(A)m×n?(B)p×q=[aijB]mp×nq。

將機(jī)械零部件的狀態(tài)函數(shù)g(X)對(duì)其隨機(jī)變量的向量X求偏導(dǎo)數(shù)如下所示

(7)

將式(7)代入式(4)～式(6)，可以得到零部件狀態(tài)函數(shù)相應(yīng)的表達(dá)式。

矩方法是進(jìn)行可靠性分析時(shí)十分實(shí)用的方法之一，應(yīng)用矩方法可以很有效的對(duì)機(jī)械系統(tǒng)零部件進(jìn)行可靠性分析，已知基本隨機(jī)參數(shù)的前兩階矩時(shí)，機(jī)械零部件可靠性指標(biāo)的數(shù)學(xué)定義為

(8)

式中：βSM為標(biāo)準(zhǔn)化坐標(biāo)系中原點(diǎn)至曲面切平面的最短距離。

如果機(jī)械零部件的各個(gè)隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布，則可以獲得其可靠度的估計(jì)量為

RSM=Φ(βSM)

(9)

式中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布函數(shù)。

如果已知零部件基本隨機(jī)參數(shù)的前四階矩，其可靠性指標(biāo)定義為

(10)

要計(jì)算可靠度或失效概率，需要知道概率密度函數(shù)或聯(lián)合概率密度函數(shù)。但在工程實(shí)際中很難有足夠的數(shù)據(jù)資料來(lái)確定它們的。因此，當(dāng)概率密度函數(shù)未知，只能確定它們的前四階矩(即均值、方差、三階矩和四階矩)時(shí)，可以采用四階矩理論計(jì)算零部件的可靠性指標(biāo)βFM，進(jìn)而可以計(jì)算得到機(jī)械零部件的可靠度估計(jì)量RFM為

RFM=Φ(βFM)

(11)

工程實(shí)際計(jì)算時(shí)，前四階矩已經(jīng)可以很準(zhǔn)確的逼近隨機(jī)參數(shù)的真實(shí)分布情況，而且隨機(jī)參數(shù)的N(N>4)階矩是難于獲取的。

2 Edgeworth級(jí)數(shù)

機(jī)械零部件各隨機(jī)參數(shù)并不都服從正態(tài)分布，如果運(yùn)用上式計(jì)算，可能會(huì)得到不準(zhǔn)確甚至錯(cuò)誤的結(jié)果，而運(yùn)用Edgeworth方法可以將不服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量隨機(jī)展開成標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布形式，進(jìn)而便于進(jìn)行可靠性分析計(jì)算，將隨機(jī)變量y近似展如下所示

(12)

式中：φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；HJ-1為Hermite多項(xiàng)式，且

Hj+1(y)=yHj(y)-jHj-1(y)

H0(y)=1

H1(y)=y

(13)

這時(shí)，機(jī)械零部件的可靠度R可以運(yùn)用下式來(lái)計(jì)算

R(β)=P[g(X)>0]=1-F(-β)

(14)

由于計(jì)算時(shí)只取Edgeworth級(jí)數(shù)的前四項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果有時(shí)會(huì)出現(xiàn)零部件可靠度>1的錯(cuò)誤情況，這時(shí)可以運(yùn)用下面的修正公式來(lái)計(jì)算機(jī)械零部件的可靠度

(15)

3 基于Gamma過(guò)程的強(qiáng)度退化

機(jī)械零部件的強(qiáng)度服從隨著時(shí)間t增大而逐漸退化的函數(shù)，針對(duì)某個(gè)具體零部件在任一時(shí)刻來(lái)說(shuō)，強(qiáng)度退化量的數(shù)值大小是不確定的，即強(qiáng)度退化過(guò)程是時(shí)間t的隨機(jī)過(guò)程；且強(qiáng)度退化是單向的，零部件抵抗應(yīng)力作用的能力是逐漸降低的，即機(jī)械零部件的強(qiáng)度退化具有單調(diào)性。

Gamma過(guò)程是一個(gè)具有獨(dú)立的非負(fù)增量隨機(jī)過(guò)程，且服從同一尺寸參數(shù)，能夠較好的擬合機(jī)械零部件強(qiáng)度的退化過(guò)程。

Gamma過(guò)程的數(shù)學(xué)模型為：假設(shè)所有參數(shù)隨機(jī)變量服從形狀參數(shù)ν>0和尺寸參數(shù)u>0的Gamma分布，其概率密度函數(shù)為

(16)

1)X(0)=0且概率為1；

2)X(τ)-X(t)～Ga(xv(τ)-v(t),u)，?τ>t≥0；

3)X(t)具有獨(dú)立的增量。

X(t)代表t時(shí)刻機(jī)械零部件強(qiáng)度的退化量，由Gamma過(guò)程函數(shù)的數(shù)學(xué)模型可知，X(t)的概率密度函數(shù)為fX(t)(x)=Ga(xv(t),u)，其均值和方差的計(jì)算公式如下

(17)

(18)

經(jīng)過(guò)分析計(jì)算可知(對(duì)比參考文獻(xiàn)[4])，時(shí)刻t的期望劣化數(shù)值與指數(shù)成正比，即

∝tb

(19)

式中：b，c，u為Gamma過(guò)程的參數(shù)，其具體值可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)理論運(yùn)用最大似然法估計(jì)法獲得。

4 可靠性靈敏度分析

機(jī)械系統(tǒng)零部件的可靠度對(duì)其隨機(jī)參數(shù)均值和方差的靈敏度可以通過(guò)求偏導(dǎo)的方法計(jì)算

(20)

(21)

φ(βFM)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

5 數(shù)值算例

為驗(yàn)證本文分析計(jì)算方法的適用性，以履帶車輛底盤傳動(dòng)系統(tǒng)的主動(dòng)輪為例進(jìn)行計(jì)算。履帶底盤系統(tǒng)主動(dòng)輪是其傳動(dòng)系統(tǒng)中重要的傳動(dòng)部件之一，它將發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力經(jīng)過(guò)側(cè)減速器系統(tǒng)傳遞到履帶系統(tǒng)，通過(guò)輪齒的齒圈與履帶板嚙合，撥動(dòng)履帶運(yùn)動(dòng)，從而推動(dòng)履帶車輛整體前進(jìn)或者后退，運(yùn)行過(guò)程中只承受扭矩載荷，如圖1和圖2所示。

圖1 主動(dòng)輪三維實(shí)體模型圖Fig．1 Solidmodelsofcapstan 圖2 主動(dòng)輪輪齒結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖 Fig．2 Structuresketchofagearoncapstan

若已知主動(dòng)輪所傳遞的扭矩為P，危險(xiǎn)截面處的直徑為D1，分度圓處直徑為D0，主動(dòng)輪厚為h，各個(gè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)值在表1中給出，Gamma過(guò)程的參數(shù)分別取為u=5，b=0.5，c=0.4，應(yīng)用可靠性應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型對(duì)主動(dòng)輪進(jìn)行可靠性靈敏度分析。

表1 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性

根據(jù)巴赫法，將主動(dòng)輪的輪齒采用懸臂梁結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以求得在D1直徑處為危險(xiǎn)應(yīng)力截面，且此處的切應(yīng)力值為

(29)

則考慮強(qiáng)度隨時(shí)間退化情況的應(yīng)力極限狀態(tài)方程可以表示為

g(X)=r(t)-τ

(30)

式中：r(t)為t時(shí)刻主動(dòng)輪結(jié)構(gòu)許用強(qiáng)度隨時(shí)間退化后的值，其均值、方差等可以運(yùn)用Gamma隨機(jī)過(guò)程函數(shù)計(jì)算得到；基本隨機(jī)變量參數(shù)向量為

X=(bcuD0D1hP)T

主動(dòng)輪的可靠度計(jì)算結(jié)果，如圖3曲線所示。圖3對(duì)比了四階矩方法和Monte-Carlo數(shù)值模擬方法的計(jì)算結(jié)果，從圖3可知，這兩種方法的計(jì)算結(jié)果比較接近，故運(yùn)用四階矩理論計(jì)算考慮強(qiáng)度退化主動(dòng)輪的可靠度，其計(jì)算結(jié)果是可以接受的，可靠度的變化規(guī)律符合工程實(shí)際情況。

圖4和圖5分別為主動(dòng)輪可靠度對(duì)其各個(gè)隨機(jī)參數(shù)均值和方差的靈敏度變化曲線。

從圖4和圖5可知，隨著主動(dòng)輪許用扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度r、幾何尺寸D1和h均值的增加而可靠度增加，而主動(dòng)輪承受的扭矩載荷P和幾何尺寸D0均值的增加將使主動(dòng)輪可靠性降低；可靠度的變化率最大為主動(dòng)輪的輪齒厚度h，其次依次為危險(xiǎn)截面直徑D1，分度圓直徑D0，主動(dòng)輪的許用扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度r，最小的為主動(dòng)輪承受的扭矩載荷總和P，即令主動(dòng)輪趨于更加可靠(或使其失效)的速度大小排序?yàn)閹缀纬叽?、材料?qiáng)度和載荷；靈敏度的絕對(duì)值都隨時(shí)間而逐漸增大，各參數(shù)方差的增加都會(huì)使主動(dòng)輪趨于更加不可靠(失效)。

圖3 強(qiáng)度退化的主動(dòng)輪可靠度曲線

圖4 主動(dòng)輪對(duì)隨機(jī)參數(shù)均值的靈敏度曲線

圖5 主動(dòng)輪對(duì)隨機(jī)參數(shù)方差的靈敏度曲線

圖6為傳動(dòng)系統(tǒng)主動(dòng)輪可靠度對(duì)Gamma隨機(jī)過(guò)程參數(shù)的靈敏度變化曲線。

圖6 可靠度對(duì)Gamma過(guò)程參數(shù)的靈敏度

從圖6可知，Gamma隨機(jī)過(guò)程參數(shù)的靈敏度在初始時(shí)刻都比較小，隨著時(shí)間的增加，參數(shù)b，c對(duì)可靠度的影響在逐步增大。

6 結(jié) 論

在機(jī)械零部件可靠性研究的基礎(chǔ)上，提出了一種考慮強(qiáng)度退化過(guò)程的機(jī)械零部件可靠性靈敏度計(jì)算方法，準(zhǔn)確的反映了各因素對(duì)其可靠度的影響變化規(guī)律，結(jié)果表明機(jī)械零部件的強(qiáng)度退化服從Gamma隨機(jī)過(guò)程。以履帶車輛底盤傳動(dòng)系統(tǒng)主動(dòng)輪為例對(duì)考慮強(qiáng)度退化的可靠性靈敏度進(jìn)行分析，結(jié)果表明要提高主動(dòng)輪可靠度，首先應(yīng)該增大主動(dòng)輪的厚度。機(jī)械零部件的可靠度受Gamma隨機(jī)過(guò)程中參數(shù)b和c的影響較大，且隨參數(shù)b的增大而提高，隨參數(shù)c的減小而降低。

[1] 張義民，呂昊. 考慮載荷作用次數(shù)的機(jī)械零部件可靠性靈敏度分析方法[J]. 工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2014, 21(2):119-123.

ZHANG Yimin, Lü Hao. An analytical methodology of reliability and sensitivity analysis for mechanical components considering the times of load action[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2014, 21(2):119-123.

[2] 王正，謝里陽(yáng)，李兵. 考慮載荷作用次數(shù)的零部件可靠性模型[J]. 機(jī)械強(qiáng)度，2008, 30(1): 68-71.

WANG Zheng, XIE Liyang, LI Bing. Reliability model of component considering times of random load acting[J]. Journal of Mechanical Strength, 2008, 30(1): 68-71.

[3] 岳玉梅，王正，謝里陽(yáng). 考慮載荷作用次數(shù)的齒輪可靠度計(jì)算模型[J]. 東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，29(12)：1754-1756.

YUE Yumei, WANG Zheng, XIE Liyang. Reliability calculation model of a gear considering frequency of random loading actions[J]. Journal of Northeastern University(Natural Science), 2008, 29(12)：1754-1756.

[4] 賀向東，張義民，聞邦椿. 連續(xù)梁彎非正態(tài)分布參數(shù)的壓桿穩(wěn)定可靠性靈敏度設(shè)計(jì)[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2007, 28(5):1401-1404.

HE Xiangdong, ZHANG Yimin, WEN Bangchun. Stable reliability sensitivity design of compressive bar with non-normal distribution parameters[J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(5):1401-1404.

[5] LEWIS E E. A load-capacity interference model for common-model failures in 1-out-of-2: G system[J]. IEEE Transaction on Reliability, 2001, 50(1):47-51.

[6] LI Jianping, THOMPSON G A. Method to take account of in-homogeneity in mechanical component reliability calculations[J]. IEEE Transactionon Reliability, 2005, 54(1): 159-168.

[7] OVE D. Stochastic model for joint wave and wind loads on offshore structures[J].Structural Safety, 2002, 24: 139-163.

[8] 宋軍，呂震宙. 可靠性靈敏度分析的一種新方法[J]. 航空學(xué)報(bào)，2010, 29(1): 193-195.

SONG Jun, Lü Zhenzhou. A new reliability sensitivity analysis method[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2010, 29(1): 193-195.

[9] NOORTWIJK V J M．A survey of the application of Gamma processes in maintenance[J]．Reliability Engineering and System Safety, 2009, 94(1): 2-21.

[10] 呂春梅，張義民，劉宇，等. 連續(xù)梁彎曲振動(dòng)系統(tǒng)可靠性頻率靈敏度研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2013, 32(18):159-162.

Lü Chunmei, ZHANG Yimin, LIU Yu, et al. Sensitivity analysis for frequency reliability of a random bending vibration system of continuous beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(18): 159-162.

[11] 黃益民，劉偉，劉永壽，等. 充液管道模態(tài)的參數(shù)靈敏度及其共振可靠性分析[J]. 振動(dòng)與沖擊，2010, 29(1): 193-195.

HUANG Yimin, LIU Wei, LIU Yongshou, et al. Parameter sensitivity and resonance reliability of a fluid-filled pipeline[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(1): 193-195.

[12] 李云貴，趙國(guó)藩．結(jié)構(gòu)可靠度的四階矩分析法[J]．大連理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 32(4): 455-459.

LI Yungui, ZHAO Guofan. Fourth-moment technique on structure reliability[J]. Journal of Dalian University of Technology, 2012, 32(4): 455-459.