徐國敏， 周 煒， 何 琳， 帥長庚

(1.海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033； 2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

空氣彈簧作為一類非線性隔振器，承載能力大，固有頻率低，并且其固有頻率在載荷變化時幾乎保持不變，與橡膠隔振器相比性能優(yōu)勢明顯。空氣彈簧剛度不僅與內(nèi)部氣壓有關(guān)，還與體積、有效面積等密切相關(guān)，因此剛度的研究一直是空氣彈簧研究領(lǐng)域的重要問題。

近年來，國內(nèi)外研究者在空氣彈簧研究領(lǐng)域做了大量工作。Ryaboy[1]研究了回轉(zhuǎn)體空氣彈簧的動態(tài)特性與穩(wěn)定性。而Quaglia等[2]從理論上推導(dǎo)了囊式回轉(zhuǎn)體空氣彈簧剛度的表達式。Heertjes等[3]提出了一種空氣彈簧非線性模型。張利國等[4]總結(jié)了目前空氣彈簧的研究現(xiàn)狀，并討論了空氣彈簧的剛度特性、頻率特性和阻尼特性。陳燎等[5]利用多項式擬合空氣彈簧動態(tài)特性，并建立了懸架模型變剛度仿真方法。王家勝[6]建立了帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)的非線性動力學(xué)理論模型，并系統(tǒng)研究了帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)的動剛度問題。成小霞等[7]研究了囊式空氣彈簧載荷模型。葉珍霞等[8]利用Marc有限元軟件中的Rebar單元建立空氣彈簧膠囊模型，并分析了空氣彈簧剛度的垂向和橫向特性。相比常規(guī)回轉(zhuǎn)體空氣彈簧，對長方體形空氣彈簧的系統(tǒng)研究相對少見。樓京俊等[9-10]等研究了某型長方體形空氣彈簧的剛度特性。

本文推廣了傳統(tǒng)的空氣彈簧剛度計算公式，可用于計算不同振動頻率下的垂向剛度值，并可精確描述空氣彈簧垂向靜剛度向動剛度的轉(zhuǎn)變過程。在理論推導(dǎo)中，本文首次提出了絕熱頻率閾值的概念。該物理量只與空氣彈簧本身性質(zhì)有關(guān)，與外界振動頻率無關(guān)。絕熱頻率閾值變化后，空氣彈簧的剛度隨之變化，而載荷基本保持不變。此性質(zhì)可用于空氣彈簧固有頻率的調(diào)控，從而在低頻范圍內(nèi)獲得更理想的隔振性能。

本文提出了一種新型長方體形囊式空氣彈簧的設(shè)計方案，其理想的長寬比與大承載能力，特別適用于狹長空間內(nèi)的整體浮筏隔振裝置。同時，進行了該型空氣彈簧的垂向動態(tài)特性試驗。試驗結(jié)果表明，本文提出的剛度計算理論比較準(zhǔn)確。通過本文研究，可以加深對非回轉(zhuǎn)體空氣彈簧動態(tài)特性的理解，指導(dǎo)后續(xù)優(yōu)化改進工作。

1 模型描述

本文建立的單曲囊式空氣彈簧模型，如圖1所示。圖1(a)為囊體的三維示意圖(不含上下蓋板)，AB為囊體的直邊，CB為囊體的圓弧邊，B為直邊與圓弧相切點。圖1(b)為垂向截面示意圖。該模型主要基于以下假設(shè)：

(1) 囊體材料是柔性材料，只提供切向拉伸力。

(2) 空氣彈簧垂向形變過程中，θ角發(fā)生變化，而徑向囊體長度保持不變。

(3) 額定工況下，空氣彈簧的徑向囊體始終保持圓弧形狀。

(4) 空氣彈簧內(nèi)的空氣腔封閉，與外界環(huán)境不存在氣體交換過程。

(a)囊體三維示意圖(b)垂向截面示意圖

圖1 長方體形單曲囊式空氣彈簧示意圖

Fig.1 Model of rectangular air springs

一般認(rèn)為，空氣彈簧剛度如式所示

(1)

式中：n為多變指數(shù)；A為有效面積。從式(1)可知，空氣彈簧的剛度隨載荷的變化而變化，而系統(tǒng)固有頻率基本保持不變，這也是空氣彈簧最大的優(yōu)點。接下來，本文將從囊體與蓋板的受力分析入手，詳細(xì)討論影響空氣彈簧剛度的因素。

本文理論推導(dǎo)中用到的符號說明，如表1所示。

取徑向囊體為分析對象，囊體受力分析示意圖見圖2。建立囊體所受氣壓壓力和上下蓋板拉力F1的受力平衡方程

θ

(2)

取上蓋板為分析對象，上蓋板受力分析示意圖見圖3。建立受力平衡方程

pA=F+F1sin θ (3)

圖2 囊體受力分析示意圖

圖3 上蓋板受力分析示意圖

聯(lián)立式(2)與式(3)，整理得到

(4)

定義有效面積為

θ

(5)

該有效面積的含義為，空氣彈簧的承載力等于囊體內(nèi)空氣施加于有效面積上的壓力，即

F=p·Aeff

(6)

2 垂向剛度分析

2.1 絕熱頻率閾值

空氣彈簧的垂向剛度，主要由囊體內(nèi)空氣腔提供。根據(jù)剛度定義，易得空氣彈簧垂向剛度的計算公式為

(7)

式(7)的第一項描述了空氣彈簧內(nèi)部氣壓隨壓縮量的變化情況，第二項描述了有效面積隨壓縮量的變化情況，通常涉及空氣彈簧幾何形狀的改變。對于本文研究的空氣彈簧，有效面積的改變意味著高度h和夾角θ發(fā)生了改變。

在空氣彈簧的振動過程中，通常認(rèn)為內(nèi)部氣體氣壓變化遵循多變過程的規(guī)律，即

(p0+p)Vn=常數(shù)

(8)

式中：p0為大氣壓；p為空氣彈簧內(nèi)部的氣體表壓；V為空氣腔體積；n為多變指數(shù)。假設(shè)空氣彈簧作單頻簡諧振動，則多變指數(shù)的取值隨振動頻率的變化而變化。當(dāng)振動頻率很低時，空氣腔的壓強變化近似服從等溫過程，此時n≈1；當(dāng)振動頻率很高時，壓強變化近似服從絕熱過程，此時n≈κ。在常溫低壓下，空氣的絕熱指數(shù)κ=1.4。一般情況下，n=1.3～1.38。

實際上，分析動剛度時，應(yīng)將多變指數(shù)視作空氣彈簧振動頻率的函數(shù)。接下來本文通過分析多變指數(shù)與振動頻率的關(guān)系，研究空氣彈簧動剛度隨振動頻率的變化關(guān)系。

考慮空氣彈簧上蓋板的壓縮過程。設(shè)空氣腔內(nèi)氣體壓縮前為狀態(tài)1，熱力學(xué)參數(shù)為(p1,V1,T1)；壓縮后為狀態(tài)2，熱力學(xué)參數(shù)為(p2,V2,T2)。壓縮過程中外界對系統(tǒng)單位質(zhì)量做功值為(詳細(xì)推導(dǎo)見參考文獻[11])

(9)

式中：cV為氣體定體熱容。壓縮過程中系統(tǒng)單位質(zhì)量內(nèi)能變化值為

dU=cV(T2-T1)

(10)

由熱力學(xué)第一定律，得到壓縮過程中系統(tǒng)單位質(zhì)量與環(huán)境熱交換量為

(11)

另一方面，從材料的導(dǎo)熱系數(shù)出發(fā)，并對溫度變化取線形近似，得到一個壓縮過程中的熱交換量為

(12)

式中：Ts為空氣彈簧作單頻簡諧振動的周期。聯(lián)立式(11)與式(12)，整理得到多變指數(shù)與振動頻率的關(guān)系為

(13)

式中；λ為材料導(dǎo)熱系數(shù)；Ac為空氣腔與囊體蓋板的接觸面積；Dc為接觸材料的厚度。常溫下，空氣的定體熱容與絕熱指數(shù)分別為cV=0.718 kJ·kg-1·K-1，κ=1.4。多變指數(shù)n與振動頻率f的關(guān)系如圖4所示。本文將η命名為絕熱頻率閾值，當(dāng)f=η時，多變指數(shù)恰好等于1.2。此時，若提高振動頻率，則多變指數(shù)迅速趨近于絕熱指數(shù)1.4；若減小振動頻率，則多變指數(shù)迅速≈1.0。

在多變過程中，任意體積對應(yīng)的氣壓為

(14)

圖4 多變指數(shù)n與振動頻率f的關(guān)系

當(dāng)空氣彈簧垂向形變量x較小時，體積變化可近似認(rèn)為隨形變量線形變化，即V=V1-Ax。在式(14)中，等式兩邊對位移求導(dǎo)，得到

(15)

將式(15)代入剛度計算式(7)，得到空氣彈簧動剛度的計算公式

(16)

式(16)描述了空氣彈簧內(nèi)容積變化對剛度特性的影響，接下來討論有效承載面積的變化對空氣彈簧剛度特性的影響。

2.2 有效承載面積

在剛度計算式(7)中，第二項描述了有效承載面積隨空氣彈簧形變而變化的情況。有效面積的計算公式為

θ

(17)

在式(17)中，等式兩邊對位移求導(dǎo)，得到

(18)

(19)

將式(19)化簡，得到夾角θ隨空氣彈簧額定工作高度和形變量變化的關(guān)系

(20)

式(20)為超越方程，難以求得嚴(yán)格解析解。當(dāng)空氣彈簧處于額定工作高度時(x=0)，利用牛頓法可求得夾角與空氣彈簧額定高度的關(guān)系，如圖5所示。在囊壁徑向長度L不變的情況下，夾角隨額定高度增大而增大，當(dāng)h=L時，夾角達到最大值90°。

圖5 夾角θ與空氣彈簧額定高度的變化關(guān)系

(21)

圖6 額定高度下導(dǎo)數(shù)dθ/dx與夾角θ的變化關(guān)系

圖7 空氣腔與蓋板接觸面積變化的示意圖

設(shè)平衡位置處，囊體與蓋板接觸長度CD=l，壓縮后接觸長度C′D′=y(見圖8)。存在幾何關(guān)系

(22)

整理式(22)得到接觸長度隨壓縮量的變化關(guān)系

(23)

圖8 空氣腔與蓋板接觸面積變大的示意圖(俯視)

此時，蓋板與囊體接觸面積為

(24)

在式(24)中，等式兩邊對位移求導(dǎo)，得到描述接觸面積變化速率的公式

(25)

2.3 動態(tài)剛度

綜合前文計算，當(dāng)夾角θ>0°時，空氣彈簧剛度表達式為

(26)

當(dāng)夾角θ=0°時，空氣彈簧剛度表達式為

(27)

當(dāng)空氣彈簧處于額定工作高度，計算垂向靜剛度時，式(27)可化簡為

(28)

由上述描述空氣彈簧剛度的公式可以看出，蓋板與囊體接觸部分的周長S和夾角θ，也是影響剛度的重要因素。周長越大，或者夾角越大，均使有效面積變小，從而使剛度變小。

在實際應(yīng)用中，為了簡化計算，可先行計算空氣彈簧的絕熱頻率閾值η。若關(guān)心的振動頻率f<η，則將該頻率下的剛度近似為靜剛度，令n=1代入公式計算；若f>η，則將該頻率下的剛度近似為動剛度，令n=κ代入公式計算。

3 算例研究

本文設(shè)計了某型長方體形囊式空氣彈簧，額定工況下主要參數(shù)如表2。根據(jù)前文理論，計算了該空氣彈簧的動態(tài)剛度特性。

3.1 垂向靜剛度計算

本算例考察了兩種載荷下(6 t和7 t)，空氣彈簧在平衡位置附近的垂向靜剛度。計算靜剛度時，空氣彈簧內(nèi)部氣體經(jīng)歷的是等溫過程，因此取多變指數(shù)n=1。由于蓋板與囊體夾角θ=0°，選用式(27)來計算垂向靜剛度。將表2中相關(guān)參數(shù)代入式(27)，計算結(jié)果，如圖9所示。圖9中，實線表示外加6 t載荷時靜剛度在平衡位置附近的變化情況，虛線表示外加7 t載荷時靜剛度的變化情況。計算結(jié)果表明該空氣彈簧具有非線性硬特性，隨著壓縮量增大，垂向靜剛度隨之增大。

表2 空氣彈簧額定工作狀態(tài)參數(shù)

圖9 垂向靜剛度理論計算結(jié)果

3.2 垂向動剛度計算

理論計算中，首先利用式(13)計算多變指數(shù)與頻率的關(guān)系。由于空氣彈簧金屬蓋板的導(dǎo)熱系數(shù)遠(yuǎn)大于橡膠囊體，因此理論上只考慮了空氣彈簧內(nèi)部空氣通過上下蓋板與外界的熱交換量。將表2中相關(guān)參數(shù)代入式(13)，計算得到絕熱頻率閾值η=1.079 Hz。

算例中空氣彈簧多變指數(shù)與頻率的關(guān)系，如圖10所示。計算結(jié)果顯示，當(dāng)振動頻率等于絕熱頻率閾值時，多變指數(shù)恰好等于1.2，此時空氣彈簧內(nèi)部氣體的壓縮膨脹介于等溫過程與絕熱過程之間，正是一個典型的多變過程。當(dāng)振動頻率從1.079 Hz減小時，多變指數(shù)迅速趨近于1；當(dāng)振動頻率從1.079 Hz增大時，多變指數(shù)迅速趨近于1.4。在工程實踐中，可利用絕熱頻率閾值來解決振動處于某一頻率下，多變指數(shù)的取值問題。例如振動頻率為10 Hz時，多變指數(shù)為1.36，實際計算中即可取n=1.4，近似用絕熱過程描述氣體行為。

計算垂向動剛度時，由于整個振動過程蓋板與囊體夾角θ=0°，依然選用式(27)計算結(jié)果，如圖11所示。圖11中，虛線表示6 t載荷下空氣彈簧垂向剛度隨振動頻率的變化關(guān)系，實線表示7 t載荷下的變化關(guān)系。計算結(jié)果顯示，隨著振動頻率不斷增大，空氣彈簧剛度由靜剛度向動剛度過渡。在振動頻率處于0.1～10 Hz時，不能簡單將空氣彈簧剛度視為靜剛度或者動剛度，否則會引入較大誤差。

圖11 空氣彈簧剛度隨振動頻率的變化關(guān)系

4 試驗研究

本文制造了一個參數(shù)與算例相同的長方體形囊式空氣彈簧。利用美國MTS公司通用液壓動態(tài)試驗系統(tǒng)進行試驗，試驗裝置如圖12。該型空氣彈簧在額定高度下，夾角θ=0°，并且囊體與蓋板的接觸長度為8 mm。

圖12 試驗照片

4.1 氣壓-載荷性能試驗

試驗前將空氣彈簧以額定高度(180 mm)固定在試驗機上，緩慢充氣至氣壓預(yù)設(shè)值，待壓力和載荷穩(wěn)定后記錄相應(yīng)的壓力和載荷值。每個試驗產(chǎn)品進行兩組測試。

利用式(24)計算，得到額定工作高度下空氣彈簧的有效面積為0.086 7 m2。利用有效面積，可計算得到載荷隨氣壓變化的線性關(guān)系，如圖13中實線所示。試驗數(shù)據(jù)點基本落于直線附近，與理論預(yù)測值符合良好，這說明本文對有效面積的分析計算比較準(zhǔn)確。

圖13 載荷隨氣壓的變化關(guān)系

4.2 垂向靜剛度試驗

試驗前將空氣彈簧以額定高度(180 mm)固定在試驗機上，緩慢充氣，直到垂向載荷達到預(yù)設(shè)值時停止充氣，記錄載荷預(yù)設(shè)值對應(yīng)的氣壓作為氣壓預(yù)設(shè)值，然后進行垂向靜剛度試驗。根據(jù)力-位移數(shù)據(jù)擬合出力-位移曲線。將力-位移試驗數(shù)據(jù)對位移求導(dǎo)，得到了靜剛度數(shù)據(jù)，如圖14所示。

圖14中，虛線表示兩種載荷下垂向靜剛度的理論預(yù)測值，實線表示試驗測量值。由于空氣彈簧自身的非線性硬特性，隨著壓縮量增大，空氣彈簧剛度逐漸變大。在試驗范圍內(nèi)(空氣彈簧形變范圍-4～+4 mm)，試驗數(shù)據(jù)與理論計算吻合良好，相對誤差<5%。這充分驗證了剛度計算式(27)的準(zhǔn)確性。

圖14 靜剛度的計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)

4.3 垂向動剛度試驗

動剛度試驗前的準(zhǔn)備工作與靜剛度試驗相同。加載不同頻率的位移激勵后，測量得到周期運動下力與位移的峰峰值數(shù)據(jù)。計算力與位移之比即可得到特定載荷下，不同頻率時的動剛度數(shù)據(jù)，如圖15所示。

在算例研究中，已計算得到了垂向動剛度的理論計算值。圖15中，虛線表示兩種載荷下垂向動剛度的理論預(yù)測值，三角形數(shù)據(jù)點表示試驗測量值，詳細(xì)數(shù)值見表 3和表 4。理論計算與試驗數(shù)據(jù)均表明，隨著振動頻率提高，空氣彈簧多變指數(shù)逐漸變大，動剛度也隨之逐漸增大。比較試驗數(shù)據(jù)與理論預(yù)測值，可知在試驗范圍內(nèi)兩者相對誤差<5%，充分表明本文關(guān)于多變指數(shù)與振動頻率關(guān)系的分析比較準(zhǔn)確。

表3 載荷6 t下動剛度理論計算與試驗數(shù)據(jù)

表4 載荷7 t下動剛度理論計算與試驗數(shù)據(jù)

圖15 動剛度的計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)

4.4 動態(tài)特性對比

本文試制樣機的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)如表5所示。

表5 長方體形囊式空氣彈簧關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)

將本文空氣彈簧的試驗數(shù)據(jù)與商用圓形囊式空氣彈簧的動態(tài)特性對比，結(jié)果如表6所示(數(shù)據(jù)來源：ContiTech官網(wǎng)[13-14]，F(xiàn)irestone官網(wǎng)[15])。通過對比可知，在狹長空間內(nèi)，現(xiàn)有商用空氣彈簧無法兼顧空間適用性與大承載能力兩方面需求，而本設(shè)計可以同時滿足上述兩項需求，同時未損失過多低頻隔振性能，在高鐵、船舶等行業(yè)具有廣闊的應(yīng)用前景。

表6 本設(shè)計與商用空氣彈簧動態(tài)特性對比

5 結(jié) 論

本文在理論上推廣了垂向剛度計算公式，通過剛度計算公式可以看出，剛度會隨著內(nèi)部氣壓的增大而增大。在氣壓一定時，不同的幾何參數(shù)也會顯著影響其剛度的大小。同時，詳細(xì)討論了多變指數(shù)和垂向動態(tài)特性同系統(tǒng)振動頻率的關(guān)系，并提出了概念絕熱頻率閾值。通過對空氣彈簧的幾何設(shè)計和材料選用，可以得到理想的絕熱頻率閾值，在低頻振動范圍可獲得更低的固有頻率，從而改善空氣彈簧的隔振性能。

同時，本文設(shè)計了一種新型長方體形囊式空氣彈簧并進行了試驗研究，驗證了上述理論的準(zhǔn)確性。與常見的商用空氣彈簧相比，長方體形空氣彈簧更加適用于狹長空間內(nèi)的浮筏隔振裝置，在高鐵、船舶等行業(yè)具有廣闊的應(yīng)用前景。

[1] RYABOY V M. Static and dynamic stability of pneumatic vibration isolators and systems of isolators[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(1):31-51.

[2] QUAGLIA G, GUALA A. Evaluation and validation of an air spring analytical model[J]. International Journal of Fluid Power, 2003, 4(2):43-54.

[3] HEERTJES M, VAN DE WOUW N. Nonlinear dynamics and control of a pneumatic vibration isolator[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2006, 128(4):439-448.

[4] 張利國，張嘉鐘，賈力萍，等．空氣彈簧的現(xiàn)狀及其發(fā)展[J]．振動與沖擊，2007，26(2)：146-151．

ZHANG Liguo, ZHANG Jiazhong, JIA Liping, et al. Future and development of air springs[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(2):146-151.

[5] 陳燎，周孔亢，李仲興．空氣彈簧動態(tài)特性擬合及空氣懸架變剛度計算分析[J]．機械工程學(xué)報，2010，46(4)：93-98．

CHEN Liao, ZHOU Kongkang, LI Zhongxing. Dynamic characteristics fitting of air springs and numerical analysis of air suspensions with variant stiffness[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(4):93-98.

[6] 王家勝．帶附加氣室空氣彈簧動力學(xué)特性研究[D]．南京：南京農(nóng)業(yè)大學(xué)，2009．

[7] 成小霞，李寶仁，楊鋼，等．囊式空氣彈簧載荷建模與實驗研究[J]．振動與沖擊，2014，33(17)：80-84．

CHENG Xiaoxia, LI Baoren, YANG Gang, et al. Modeling and tests for load of a cystiform air spring[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(17):80-84.

[8] 葉珍霞，朱海潮，魯克明，等．囊式空氣彈簧剛度特性的非線性有限元法研究[J]．振動與沖擊，2006，25(4)：94-97．

YE Zhenxia, ZHU Haichao, LU Keming, et al. Study on stiffness characteristics of air spring with nonlinear finite element method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2006, 25(4):94-97.

[9] 樓京俊，朱石堅．長方體形空氣彈簧剛度計算[J]．噪聲與振動控制，2001，21(4)：22-26．

LOU Jingjun, ZHU Shijian. Stiffness calculation of rectangular air spring[J]. Noise and Vibration Control, 2001, 21(4):22-26.

[10] 朱石堅，黃映云，何琳．長方體形囊式空氣彈簧剛度特性[J]．中國造船，2002，43(2)：39-46．

ZHU Shijian, HUANG Yingyun, HE Lin. Study on stiffness characteristics for rectangular air springs[J]. Shipbuilding of China, 2002, 43(2):39-46.

[11] 沈維道，蔣智敏，童鈞耕．工程熱力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2001．

[12] SEARS F W, ZEMANSKY M W, YOUNG H D. University physics[M]. Boston: Addison-Wesley, 1987.

[13] ContiTech. FS 960-12 RS data sheet. https://www.contitech.de/catalogs/iap/documents/datasheets/FS_960-12_RS_GB.pdf[EB/OL]. 2016.

[14] ContiTech. FS 330-11 Cl data sheet. https://www.contitech.de/catalogs/iap/documents/datasheets/FS_330-11_Cl_GB.pdf[EB/OL]. 2016.

[15] Firestone. Airide springs selection guide. http://firestoneip.com/-/media/www/fsip/files/CommTruckTrailer/OEM/Selection%20Guides/1975SelectionGuideEN.pdf[EB/OL]. 2016.