朱慶垚，余諒

（四川大學計算機學院，成都 610065）

0 引言

一般來說，現(xiàn)實中的信號都是帶噪信號，由于干擾噪聲的影響，這些信號很可能產(chǎn)生畸變，甚至可能面目全非，所以，在對信號進行進一步的分析以前，需要把有效的信號提取出來。如何從強噪聲中恢復原始信號的波形，做到信噪分離是很重要的研究課題。小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，能夠通過變換充分反映出信號某些方面的特性，因此被用于信號的去噪。

小波去噪有多種方法，其中，1992年Donoho和Johnstone提出的小波閾值收縮（WaveShrink）方法在最小均方誤差意義下可達到近似最優(yōu)并且可以取得較好的視覺效果[1]。該方法的兩個關(guān)鍵因素是閾值的選取和閾值函數(shù)的構(gòu)造，小波去噪的效果直接受到了這兩種因素的影響。傳統(tǒng)的小波閾值去噪算法分為硬閾值函數(shù)去噪法和軟閾值函數(shù)去噪法，但是這兩種閾值函數(shù)方法都存在相應的缺點[2]。文獻[3-7]都對小波閾值去噪函數(shù)進行相應的研究和改進，但是部分還存在著硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性以及軟閾值函數(shù)的固定偏差的問題。文獻[6]提出了一種新雙閾值函數(shù)下的小波去噪方法，去噪效果相對于軟、硬閾值方法有著很大的提升，但是還是存在固定偏差的問題；因此，本文針對這一問題，對新雙閾值函數(shù)進行了改進，保證了函數(shù)的連續(xù)性并且去除了函數(shù)的固定偏差，從信噪比SNR和均方誤差MSE兩項數(shù)據(jù)來看，改進后的閾值函數(shù)效果有著明顯的提升。

1 小波去噪原理

經(jīng)過小波分解后，信號的能量在小波域集中在一些大的小波系數(shù)中；而噪聲的能量卻分布于整個小波域內(nèi)，可以認為，幅值比較大的小波系數(shù)以信號為主，而幅值比較小的系數(shù)很大程度上是噪聲。因此，可以選取合適的閾值，將大于閾值的部分作為信號予以保留（硬閾值），或者是以一個固定量向零收縮（軟閾值），而小于閾值的信號視為噪聲予以舍棄從而達到去噪的目的。

假設(shè)原始信號為 f(t)，被污染后的噪聲信號為s(t)，那么基本的噪聲模型就可以表示為：

其中e(t)為噪聲，σ為噪聲強度，一般來說可以假設(shè)e(t)為高斯白噪聲。對染噪信號進行離散的小波變化可以得到：

其中，ws( j，k) 、wf(j ，k) 、we( j，k)分別為染噪信號、原始信號和噪聲在第j層上的小波系數(shù)，分別記為wj,k、uj,k、ej,k，J表示小波變換最大分階層；N表示信號長度。

由上式可知，經(jīng)過小波變換后，小波系數(shù)可以由原始信號小波系數(shù)uj,k以及噪聲小波系數(shù)ej,k組成。因此，選取合適的閾值λ對小波系數(shù)wj,k進行處理，得到處理后的小波系數(shù)，最后將處理后的小波系數(shù)w?j,k進行重構(gòu)，就可以得到去噪過后的信號s?j,k，具體的處理過程如下：

圖1 小波去噪算法流程圖

經(jīng)過上述流程圖和描述可知，閾值的選取和閾值函數(shù)的設(shè)計對于最終的去噪處理效果有著非常大的影響。

2 閾值函數(shù)

2.1 傳統(tǒng)的閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)中，由于結(jié)構(gòu)簡單并且去噪效果良好，軟、硬閾值去噪方法得到比較廣泛的應用。

（1）硬閾值

硬閾值函數(shù)將小波系數(shù)絕對值大于閾值的小波系數(shù)予以保留而小于閾值的小波系數(shù)置零。

（2）軟閾值

軟閾值函數(shù)將小波系數(shù)絕對值大于閾值的小波系數(shù)置為它與閾值的差值，而小于閾值的小波系數(shù)置零。

軟、硬閾值法雖然應用廣泛，但是它們?nèi)匀淮嬖谥恍┤秉c。硬閾值法得到的在±λ處是不連續(xù)的，然后利用不連續(xù)的重構(gòu)得到的信號很有可能造成Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，導致最終得到的信號在不連續(xù)點處以及快速變化處存在震蕩；軟閾值法得到的雖然連續(xù)性比較好，并且去噪后的信號相對平滑但是和wj,k總是存在恒定偏差，導致了信號在某些尖峰點處過于光滑，也會丟掉原始信號的某些特征。

2.2 改進的閾值函數(shù)

為了克服軟、硬閾值各自的缺點，大量學者或者提出了改進方案，或者提出了新的閾值函數(shù)，文獻[5]提出了一種新的閾值函數(shù)：

但是該函數(shù)在±λ處是不連續(xù)的，容易產(chǎn)生Pseudo-Gibbs現(xiàn)象。

文獻[6]提出了一種新的雙閾值法：

其中，λ2為上閾值，λ1為下閾值，滿足 λ1=kλ2，0＜k＜1，該函數(shù)在兩個閾值點均連續(xù)，并且在的情況下，隨著w變大不斷減小，符合指數(shù)衰j,k減特性；但是在的情況下是固定不變的，依然存在差值恒定的問題，所以，針對以上函數(shù)存在的問題，本文提出改進的雙閾值函數(shù)表達式如下：

其中 λ1=kλ2，0＜k＜1。很容易可以得到，改進后的函數(shù)不僅在兩個閾值λ1、λ2處連續(xù)，并且在的情況下，函數(shù)是逼近于的，因此克服了恒定偏差的問題。

如圖2所示，硬閾值函數(shù)在閾值點wj,k=±λ是不連續(xù)的，重構(gòu)的信號容易造成Pseudo-Gibbs現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)連續(xù)性比較好，但是||wj,k≥λ的情況下會有恒定偏差；文獻[6]的連續(xù)性好，并且在閾值處的過度光滑，然而隨著 wj,k值的不斷變大，始終與函數(shù)存在著差值，不利于信號的重構(gòu)；本文的函數(shù)連續(xù)，在閾值點處的過渡區(qū)域保持光滑，另外隨著wj,k變大，不斷逼近函數(shù)達到近似重合，消除了文獻[6]所存在的差值問題，使得重構(gòu)后的信號在突變點處的Pseudo-Gibbs現(xiàn)象得到抑制，而且控制了尖銳點處過度平滑的問題，有效的控制了信號的突變和丟失。

圖2 函數(shù)圖比較

3 閾值選取

它是根據(jù)D.L.Donoho等人所提出的關(guān)于閾值估計風險定理確定的閾值。其中σ表示噪聲信號的標準差（度量噪聲的強弱），N表示信號的長度。由于σ在實際環(huán)境中是一般是未知的，通常需要進行估計。由于噪聲主要集中在最高分辨集J-1，所以我們可以利用小波

對于閾值函數(shù)而言，如果閾值取得過大，就會導致在過濾掉噪聲的同時也把一部分關(guān)于信號的信息也過濾掉了，造成去噪后的信號過度平滑；而閾值選取過小，又會保留噪聲，達不到去噪的目的，目前常用的閾值選取方法有[8]：

（1）固定閾值：系數(shù){wj-1,k，k=1,2，…，2J-1}估計噪聲標準差[1]，取

（2）Stein無偏似然估計閾值

（3）啟發(fā)式閾值

啟發(fā)式閾值是前兩種閾值的綜合，所選擇的是最優(yōu)預測變量閾值。如果信噪比很小時，選取固定閾值，如果信噪比很大時，選取Stein無偏似然估計閾值。假設(shè)sum為N個小波系數(shù)的平方和，令 μ=(sum-N)/N，ν=(lbN)3/2×N1/2，則：（4）最小最大準則閾值

最小最大準則閾值也是一種固定的閾值選擇形式，它所產(chǎn)生的是一個最小均方差的極值，而不是無誤差。

4 閾值函數(shù)仿真分析

4.1 去噪性能評價標準

為了驗證改進閾值函數(shù)的去噪效果，一般來說有兩種方法：主觀評論和客觀評論。主觀評論是人的主觀感受來判斷去噪信號的還原程度?？陀^評價是指輸入信號與輸出信號之間誤差來判斷去噪的質(zhì)量[11]。本文引入信噪比和均方誤差來評價去噪性能。信噪比的公式為：

均方誤差MSE的公式為：

其中信噪比SNR的單位為dB；yi為原始信號為去噪過后的信號；N表示信號的長度。去噪后的信號信噪比越大，說明去噪效果越好。MSE為均方誤差，MSE越小，去噪后的信號能更好地重現(xiàn)原始信號。

4.2 不同閾值函數(shù)之間的去噪性能比較

為了檢驗本文與其他閾值函數(shù)之間的去噪性能，本文選取小波函數(shù)在db2，分解層數(shù)為5層，上閾值函數(shù)選取改進后的閾值，下閾值系數(shù)選取為k=0.5。

為了更有效地比較本文閾值函數(shù)與其他閾值函數(shù)的性能，本文分別選取blocks信號、bumps信號以及heavy sine信號來進行比較。

首先生成信號長度為1024的blocks信號，然后加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號、加噪信號以及不同閾值函數(shù)對blocks加噪信號的處理效果如圖所示：

圖3 blocks加噪信號不同閾值函數(shù)去噪比較

其次生成信號長度為1024的bumps信號，加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號、加噪信號以及不同閾值函數(shù)對bumps加噪信號的處理效果如圖所示：

圖4 bumps加噪信號不同閾值函數(shù)去噪比較

最后生成信號長度為1024的heavy sine信號，加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號、加噪信號以及不同閾值函數(shù)對heavy sine加噪信號的處理效果如圖所示：

圖5 heavy sine加噪信號不同閾值函數(shù)去噪比較

由圖 3（c）、圖 4（c）、圖 5（c）可以看出，硬閾值函數(shù)方法容易出現(xiàn)明顯的震蕩點，這是由于硬閾值函數(shù)不連續(xù)造成的；又由圖 3（d）、圖 4（d）、圖 5（d）可以看出，信號整體都非常平滑，并且在尖銳處也過于平滑，這是由于軟閾值函數(shù)存在固定偏差所造成的；三圖中的（e）、（f）、（g）分別代表文獻[5]、文獻[6]以及本文的閾值函數(shù)去噪結(jié)果，可以看出，三者去噪效果都要強于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，并且本文的方法相較于其他兩種閾值函數(shù)方法也較為優(yōu)秀，下面從客觀角度，也就是信噪比和均方誤差來考察閾值函數(shù)如表1所示。

表1 三種信號在不同閾值函數(shù)下的去噪效果分析表

查看表1中的數(shù)據(jù)可以得到以下的信息，（1）軟閾值函數(shù)在blocks信號以及bumps信號中的處理效果明顯的弱于其他的閾值函數(shù)，因為blocks信號以及bumps這兩種信號所含的凸點較多，軟閾值函數(shù)將大部分凸點處理的過于平滑，這就導致了軟閾值效果較差；（2）文獻[5]所提出的改進方案相對于軟、硬閾值函數(shù)來說雖然有一定的提升，但是提升較少，并且不夠穩(wěn)定，例如blocks信號下，文獻[5]的性能就弱于硬閾值函數(shù)；（3）文獻[6]以及本文所提出的改進的閾值函數(shù)性能都比較穩(wěn)定，基本優(yōu)于其他閾值函數(shù)，并且k=0.5的情況下性能明顯優(yōu)于k=0.7的情況，另外，本文所提出來的改進閾值函數(shù)提升效果明顯。

5 結(jié)語

首先，本文說明了小波閾值去噪的基本原理，解釋了傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)處理方法。針對閾值函數(shù)的設(shè)計以及閾值的選取對去噪效果的影響，本文以近年來提出的雙閾值方法為基礎(chǔ)，提出了優(yōu)化改進方案，從數(shù)學角度進行驗證，克服了軟、硬閾值的缺點并且彌補了原雙閾值函數(shù)的固定偏差的問題。仿真實驗表明，本文所提出的改進的雙閾值函數(shù)有效的抑制了Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，并且能盡量保持信號的光滑性。從信噪比SNR來看，本文的改進閾值函數(shù)有了明顯提升，并且有效地降低了均方誤差MSE，實用性較高。

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