商科軍 （中鐵上海工程局集團(tuán)有限公司技術(shù)中心，上海 200436）

在盾構(gòu)測量工作中，為保證掘進(jìn)精度，需人工測量盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)及管片姿態(tài)，并對鋼環(huán)定位進(jìn)行人工復(fù)核，確保盾構(gòu)機(jī)順利出洞。

1 盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)人工測量計(jì)算

盾構(gòu)機(jī)在掘進(jìn)過程中應(yīng)進(jìn)行人工復(fù)核，與盾構(gòu)機(jī)導(dǎo)向系統(tǒng)顯示的偏差進(jìn)行對比，防止因?qū)蛳到y(tǒng)參數(shù)輸入錯(cuò)誤、吊籃點(diǎn)誤差或儀器整平誤差引起的盾構(gòu)姿態(tài)偏差超限。

在盾構(gòu)機(jī)掘進(jìn)過程中，因受場地限制，人工無法測量出盾首及中盾位置的盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)，只能通過在盾尾設(shè)置特征點(diǎn)，以特征點(diǎn)坐標(biāo)反推出盾首及中盾位置的盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)。根據(jù)實(shí)測的特征點(diǎn)坐標(biāo)，人工計(jì)算推算出盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)的計(jì)算復(fù)雜且容易出錯(cuò)。本案例提供一種根據(jù)布爾莎七參數(shù)模型線性化公式，計(jì)算出盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)，編制計(jì)算程序，快速解算出盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)。

在盾構(gòu)機(jī)始發(fā)前，測量出盾首中心點(diǎn)坐標(biāo)、中盾中心點(diǎn)坐標(biāo)(掛鋼絲測量)、盾尾中心點(diǎn)坐標(biāo)(掛鋼絲測量)及盾尾特征點(diǎn)坐標(biāo)，獲取特征點(diǎn)與盾首、中盾、盾尾的幾何位置關(guān)系。在掘進(jìn)過程中，測量特征點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，換算出盾首、中盾及盾尾的盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)。

某工程盾構(gòu)施工中，定義的TBM坐標(biāo)系圖1（盾首中心為坐標(biāo)原點(diǎn)）：

圖1 盾構(gòu)機(jī)TBM坐標(biāo)系

坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換采用布爾莎七參數(shù)模型，但由于布爾莎七參數(shù)是基于微量轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)換模型，故首先需要對此模型公式進(jìn)行泰勒級數(shù)線性化，然后進(jìn)行迭代計(jì)算，以求取坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)。

設(shè)轉(zhuǎn)換前坐標(biāo)系一點(diǎn)坐標(biāo)為(x'，y'，z')，在轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x，y，z)，則根據(jù)布爾莎七參數(shù)模型可得：

式（1）中(x0，y0，z0)為平移量，K 為縮放比例系數(shù)，R1(α)，R2(β)，R3(γ)為旋轉(zhuǎn)矩陣，其中：

當(dāng)兩坐標(biāo)系公共點(diǎn)數(shù)大于3個(gè)時(shí)，可以根據(jù)間接平差模型求定以上7個(gè)參數(shù)。對每個(gè)公共點(diǎn)列出誤差方程為：

式中 v=(vx，vy，vz)T 為轉(zhuǎn)換殘差。

將上式寫成間接平差誤差方程的形式為：

可根據(jù)改正數(shù)，按間接平差法X=(BTPB)-1BTPL求解7個(gè)未知參數(shù)，但由于此方法只適用于旋轉(zhuǎn)角較小的情況，故不能直接進(jìn)行求解計(jì)算，需用泰勒級數(shù)對公式進(jìn)行線性化，得：

式中V=(Vx，Vy，Vz)T為轉(zhuǎn)換殘差。將上式寫成間接平差誤差方程的形式為：V=BX-l

賦予7個(gè)參數(shù)初始值，按間接平差法X=(BTPB)-1BTPl求解7個(gè)未知參數(shù),進(jìn)行迭代計(jì)算，直至x0+y0+z0誤差小于規(guī)定的限差，結(jié)束迭代計(jì)算，結(jié)束迭代計(jì)算時(shí)的7個(gè)參數(shù)值即為求取的轉(zhuǎn)換參數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)換參數(shù)，求取盾構(gòu)機(jī)盾首、中盾及盾尾的掘進(jìn)姿態(tài)。

案例計(jì)算：已知合肥地鐵2號線9標(biāo)玉蘭大道至天柱路站左線盾構(gòu)機(jī)TBM坐標(biāo)系特征點(diǎn)坐標(biāo)及盾構(gòu)機(jī)推進(jìn)至169環(huán)實(shí)測特征點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。

根據(jù)（3）式，編制程序，可迅速解算出7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù),經(jīng)過8次迭代計(jì)算，求解7參數(shù)結(jié)果如表2所示。

根據(jù)求出的7參數(shù)，反算出特征點(diǎn)的坐標(biāo)，并和實(shí)測坐標(biāo)對比，確認(rèn)轉(zhuǎn)換無誤。

特征點(diǎn)TBM坐標(biāo)系坐標(biāo)與實(shí)測施工坐標(biāo)系坐標(biāo) 表1

七參數(shù)求解值 表2

反算坐標(biāo)值較差及盾首、中盾中心反算坐標(biāo) 表3

圖2 管片姿態(tài)測量

根據(jù)反算出的盾首及中盾中心的三維坐標(biāo)，可計(jì)算出目前盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)偏差，并與盾構(gòu)導(dǎo)向系統(tǒng)顯示偏差作比較，防止掘進(jìn)出現(xiàn)偏差。

2 管片姿態(tài)人工復(fù)核測量計(jì)算

為保證管片拼裝姿態(tài)，應(yīng)對拼裝后的管片姿態(tài)進(jìn)行測量，以復(fù)核管片姿態(tài)誤差。外業(yè)測量結(jié)束后，進(jìn)行內(nèi)業(yè)計(jì)算，人工內(nèi)業(yè)計(jì)算勞動(dòng)強(qiáng)度大且容易出錯(cuò)，本案例提供一種根據(jù)隧道中心三維軸線和實(shí)測管片檢測尺中心坐標(biāo)推算管片姿態(tài)的方法，并用編程實(shí)現(xiàn)。管片姿態(tài)外業(yè)測量如圖2所示，在操作時(shí)，實(shí)測出反光片中心坐標(biāo)。

根據(jù)實(shí)測反光片中心坐標(biāo)和隧道圓心至反光片的垂直距離，推算出實(shí)際的隧道中心三維坐標(biāo)，利用推算出的隧道中心三維坐標(biāo)，進(jìn)行管片姿態(tài)內(nèi)業(yè)計(jì)算。計(jì)算理論如下。

2.1 實(shí)測隧道中心點(diǎn)距設(shè)計(jì)隧道三維軸線坐標(biāo)點(diǎn)最短距離分析

圖3 實(shí)測點(diǎn)與線路距離關(guān)系

一般按1m間距計(jì)算設(shè)計(jì)隧道三維軸線。計(jì)算實(shí)測隧道中心點(diǎn)距設(shè)計(jì)隧道三維軸線上所有實(shí)測點(diǎn)的距離（如圖 3 所示），分別為 D1、D2…Dn-1、Dn，分析出最短的距離。假設(shè)最短距離為設(shè)計(jì)隧道三維軸線上第P個(gè)點(diǎn)與實(shí)測隧道中心點(diǎn)的連線，則存在下列3種情形：

①當(dāng)D(p-1)=D(p+1)時(shí)，說明實(shí)測隧道中心點(diǎn)對應(yīng)的里程與Dp里程相同；

②當(dāng)D(p-1)＞D(p+1)，說明實(shí)測隧道中心點(diǎn)對應(yīng)的里程在P點(diǎn)里程與P+1點(diǎn)里程之間；

③當(dāng)D(p-1)＜D(p+1)，說明實(shí)測隧道中心點(diǎn)對應(yīng)的里程在P-1點(diǎn)里程與P點(diǎn)里程之間。

2.2 實(shí)測隧道中心點(diǎn)偏距計(jì)算及位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)或左側(cè)判斷

實(shí)測隧道中心點(diǎn)偏距計(jì)算：假設(shè)根據(jù)求出的實(shí)測隧道中心點(diǎn)距設(shè)計(jì)隧道三維軸線坐標(biāo)點(diǎn)最短距離，如圖4所示，判斷出實(shí)測隧道中心點(diǎn)對應(yīng)的設(shè)計(jì)隧道三維軸線里程在R點(diǎn)里程與P點(diǎn)里程之間（R點(diǎn)里程＜P點(diǎn)里程），根據(jù)余弦定理求出夾角α，實(shí)測隧道中心點(diǎn)相對于設(shè)計(jì)隧道三維軸線的偏距=D|R點(diǎn)→采集點(diǎn) |×SIN（α）。

圖4 實(shí)測點(diǎn)與線路上R點(diǎn)與P點(diǎn)關(guān)系

實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)或左側(cè)的判斷：設(shè)R點(diǎn)至P點(diǎn)方位角為F1，R點(diǎn)至采集點(diǎn)方位角為F2，則：

①當(dāng) F1≥270。且 ＜360。時(shí)

情形一：當(dāng)F2＞F1且＜360時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)；

情形二：當(dāng)F2≥0且F2≤90。時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)；

情形三：當(dāng)F2≥180。且F2＜F1時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線左側(cè)。

②當(dāng) F1=0。時(shí)

情形一：當(dāng)F2≤90。時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)；

情形二：當(dāng)F2＞270。時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線左側(cè)。

③當(dāng) F1＞0。且 ＜90。時(shí)

情形一：當(dāng) F2＞F1 且 F2＜180。時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)；

情形二：當(dāng) F2＞0，且 F2＜F1時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線左側(cè)；

情形三：當(dāng) F2＞270。且 F2＞F1 時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線左側(cè)。

④當(dāng) F1=90。時(shí)

情形一：當(dāng)F2＞F1時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)；

情形二：當(dāng)F2＜F1時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線左側(cè)。

⑤當(dāng) F1＞90。且 ＜270。時(shí)

情形一：當(dāng)F2＞F1時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線右側(cè)；

情形二：當(dāng)F2＜F1時(shí)，實(shí)測隧道中心點(diǎn)位于設(shè)計(jì)隧道三維軸線左側(cè)。

2.3 高程偏差計(jì)算

設(shè)R點(diǎn)高程為HR，P點(diǎn)高程HP，則實(shí)測隧道中心點(diǎn)對應(yīng)設(shè)計(jì)隧道三維軸線里程的設(shè)計(jì)高程H采集點(diǎn)設(shè)計(jì)=HR+[（HP-HR）÷D|RP|]×[D|R點(diǎn)→采集點(diǎn)|×COS（α）]，若：

①H采集點(diǎn)實(shí)測-H采集點(diǎn)設(shè)計(jì)＞0，則實(shí)測隧道中心點(diǎn)高程高于對應(yīng)設(shè)計(jì)隧道三維軸線里程的高程；

②H采集點(diǎn)實(shí)測-H采集點(diǎn)設(shè)計(jì)＜0，則實(shí)測隧道中心點(diǎn)高程低于對應(yīng)設(shè)計(jì)隧道三維軸線里程的高程；

③H采集點(diǎn)實(shí)測-H采集點(diǎn)設(shè)計(jì)=0，則實(shí)測隧道中心點(diǎn)高程等于對應(yīng)設(shè)計(jì)隧道三維軸線里程的高程。

根據(jù)計(jì)算理論編制計(jì)算程序，可迅速計(jì)算出管片姿態(tài)偏差。

3 洞門鋼環(huán)位置復(fù)測計(jì)算

為保證盾構(gòu)機(jī)順利出洞，需復(fù)核接收井鋼環(huán)位置，復(fù)測鋼環(huán)位置時(shí)，利用全站儀測量鋼環(huán)內(nèi)徑點(diǎn)。根據(jù)實(shí)測內(nèi)徑點(diǎn)坐標(biāo)，一般利用CAD畫圖進(jìn)行三點(diǎn)圓心的擬合，工作量較大。本案例提出一種利用空間解析幾何知識，根據(jù)實(shí)測內(nèi)徑點(diǎn)坐標(biāo)擬合出圓心坐標(biāo)和內(nèi)徑，編制計(jì)算程序，可快速確定鋼環(huán)位置是否超限。內(nèi)業(yè)擬合鋼環(huán)圓心坐標(biāo)和內(nèi)徑理論如下：

已知空間三點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x2，y2，z2)，求這3個(gè)點(diǎn)所確定的空間圓的圓心坐標(biāo)和半徑。解算過程如下：令圓心坐標(biāo)為(x，y，z)，半徑為R，空間三點(diǎn)確定的平面方程為：

根據(jù)圓心到三點(diǎn)的距離均等于半徑長度，可列出下列3式

由（5）=（6）得：2(x2-x1)x+2(y2-y1)y+2(z2-z1)z+x+y+z-x-y-z=0，記為：

由（5）=（7）得：2(x3-x1)x+2(y3-y1)y+2(z3-z1)z+x+y+z-x-y-z=0，記為：

聯(lián)立（4）、（8）、（9）式，可得：

案例計(jì)算：已知武漢地鐵27號線1標(biāo)新大區(qū)間右線始發(fā)洞門鋼環(huán)內(nèi)徑點(diǎn)三維坐標(biāo)如下（表4）。

鋼環(huán)內(nèi)徑測量坐標(biāo)點(diǎn) 表4

根據(jù)（10）和（11）式，編制程序，可迅速解出所有點(diǎn)組合的圓心坐標(biāo)及圓心半徑。求解結(jié)果如下（表5）。

圓心坐標(biāo)及半徑擬合結(jié)果 表5

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，剔除粗差較大的數(shù)據(jù)，取其余點(diǎn)平均值作為圓心坐標(biāo)及半徑，分析洞門鋼環(huán)的偏差。

4 結(jié)論

在盾構(gòu)機(jī)姿態(tài)人工測量計(jì)算中，本文給出了一種適用于大旋轉(zhuǎn)角的空間三維直角坐標(biāo)基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換方法。該方法解決了針對大角度的空間三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題,適用于任意角度的旋轉(zhuǎn),計(jì)算收斂速度快、易于編制程序?qū)崿F(xiàn)。在管片姿態(tài)人工復(fù)核測量計(jì)算中，本文給出了坐標(biāo)反算的各種情形，利用推出的公式，編制程序，可迅速計(jì)算管片姿態(tài)。在洞門鋼環(huán)位置復(fù)測計(jì)算中，本文推出了根據(jù)鋼環(huán)內(nèi)徑點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算鋼環(huán)中心坐標(biāo)公式，根據(jù)公式，編制計(jì)算程序，可迅速計(jì)算出所有內(nèi)徑點(diǎn)組合反推出的鋼環(huán)中心三維坐標(biāo)，進(jìn)而分析鋼環(huán)中心位置是否超限。

根據(jù)本文推導(dǎo)出的計(jì)算公式，編制計(jì)算程序，可解決盾構(gòu)測量中的難題，減輕測量人員計(jì)算強(qiáng)度，提高盾構(gòu)測量管理水平。

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